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1、第三章第三章连续时间系统的频域分析连续时间系统的频域分析本章将学习从频域对信号与系统进行分析本章将学习从频域对信号与系统进行分析, ,也称为傅立叶也称为傅立叶分析分析. .傅立叶分析的研究与应用已经经历了一百余年傅立叶分析的研究与应用已经经历了一百余年. .18221822年数学家傅立叶提出并证明了将周期函数展开为正弦年数学家傅立叶提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，其后泊松、高斯等人将其应用到电学中级数的原理，其后泊松、高斯等人将其应用到电学中. .1919世纪末世纪末, ,人们制造出电容器人们制造出电容器, ,到到2020世纪初世纪初, ,谐振电路、滤谐振电路、滤波器、正弦振荡器等
2、的实现为傅立叶分析的进一步应用开波器、正弦振荡器等的实现为傅立叶分析的进一步应用开辟了广阔前景辟了广阔前景. .2020世纪世纪7070年代年代, ,傅立叶分析逐步应用到通信、数字信号处傅立叶分析逐步应用到通信、数字信号处理等领域理等领域, ,出现了快速傅立叶变换出现了快速傅立叶变换. .如今傅立叶技术不仅应用于电力工程、通信和控制领域，如今傅立叶技术不仅应用于电力工程、通信和控制领域，而且还应用于力学、光学、量子物理等其他领域。而且还应用于力学、光学、量子物理等其他领域。本章的主要内容本章的主要内容3.1 3.1 傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱3.2 3.2 非周期信号
3、的频谱非周期信号的频谱-傅里叶变换傅里叶变换3.3 3.3 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质3.4 3.4 周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理3.5 LTI3.5 LTI系统的频域分析系统的频域分析3.6 3.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱第一节第一节 傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱3.1.1 3.1.1 信号正交与正交函数集信号正交与正交函数集1.1.正交定义正交定义定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足: : ( (两函数的内积为两函数的内积为0)0)则称则称 1(t)和和
4、2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交. 2. 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t), , 2(t), , , n(t)构成一个函数集构成一个函数集, ,当当这些函数在区间这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间( t1，t2 )的的正交函数集正交函数集. 3.3.完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t), 2(t), n(t)之外之外,不存在函数不存在函数 (t)(0）满足满足
5、则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集.例如例如: :三角函数集三角函数集1,cos(nt),sin(nt)，n=1,2, 和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt, ,n=0,1,2,是是两组典型的在区间两组典型的在区间(t0, ,t0+T) )(T=2/)上的完备正上的完备正交函数集交函数集. .傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱4 4 信号的正交分解信号的正交分解设有设有n n个函数个函数 1(t), , 2(t), , , n(t)在区间在区间(t1, ,t2)构成一个正交函数空间构成一个正交函数空间. .将任一函数将任一函数f(t)用这用这n个正交函个
6、正交函数的线性组合来近似数的线性组合来近似, ,可表示为可表示为 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区间与近似函数之间误差在区间(t1, ,t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差的方均值( (称为称为均方误差均方误差) )最小最小. .均方误差均方误差: : 傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱现求使得均方误差最小的线性组合系数现求使得均方误差最小的线性组合系数Ci(第第i个系数个系数)展开上被积函数并求导展开上被积函数并求导. .上式中只有两项不为上式中只有两项不为0,0,写为写为 即即:
7、 : 所以系数所以系数傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱代入代入, ,得最小均方误差得最小均方误差( (推导过程见教材推导过程见教材) )在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)f(t)时时, ,所取得项数越多所取得项数越多, ,即即n n越大越大, ,则均方误差越小则均方误差越小. .当当n时时, ,均方误差为零均方误差为零. .此时有此时有 上式称为上式称为(Parseval)巴塞瓦尔巴塞瓦尔( (帕塞瓦尔帕塞瓦尔) )公式公式, ,表明表明: :在在区间区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中在完备正交函数集中分解的各正交分
8、量能量的总和分解的各正交分量能量的总和. . 函数函数f(t)可可分解为无穷多项正交函数之和分解为无穷多项正交函数之和3.1.2 3.1.2 周期函数的周期函数的傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱1 1 傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号f(t)，其周期为其周期为T，角频率角频率 =2 /T，当满足当满足狄里赫利狄里赫利( (狄利克雷狄利克雷) )(Dirichlet)条件时，它可分解为条件时，它可分解为三角级数三角级数-称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 可见可见, ,an 是是
9、n的偶函数的偶函数, ,bn是是n的奇函数的奇函数. .傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱式中式中, ,A0= a0因此周期信号可分解为直流分量和许多余弦分量因此周期信号可分解为直流分量和许多余弦分量. .其中其中, ,A0 /2 2为为直流分量直流分量；A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波, ,它的角频率与原周它的角频率与原周期信号相同期信号相同; ;A2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波, ,它的频率是基波的它的频率是基波的2 2倍倍; ;Ancos(n t+ n)称为称为n n次谐波次谐波. . 可见可见An是是n的偶函数的偶函数,
10、, n是是n的奇函数的奇函数. .将上式同频率项合并将上式同频率项合并,可写为可写为an=Ancos n， bn=-Ansin n，n=1,2,傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱2 2 波形的对称性与谐波特性波形的对称性与谐波特性(1) (1) f(t)为偶函数为偶函数-对称纵坐标对称纵坐标bn=0,展开为余弦级数。(2) (2) f(t)为奇函数为奇函数-对称于原点对称于原点an=0,展开为正弦级数。实际上,任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分,即 f(t)=fo(t)+ fe(t) 其中傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱(3) (3) f(t)
11、为奇谐函数为奇谐函数-f(t)=-f(tT/2), ,也称半波对称也称半波对称.此时其傅里叶级数中只含奇次此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量谐波分量, ,而不含偶次谐波分量而不含偶次谐波分量即即a0=a2= =b2=b4= =0 表示对称区间上表示对称区间上f(t)包含的包含的面积面积, ,可见面积为零可见面积为零, ,因此说明没有直流分量因此说明没有直流分量. .简单证明简单证明: :设设f1(t)为函数为函数f(t)在区间在区间 上的部分上的部分, ,而而f2(t)为区为区间间 上的部分上的部分, ,则有则有: :或者或者傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱换元换元: :可
12、见可见, ,an只有奇次项只有奇次项, ,对于对于bn的证明大家按相同的方法可的证明大家按相同的方法可以证明以证明, ,此处不再证此处不再证. .傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱例题例题1 1 求周期锯齿波的三角函数傅里叶级数求周期锯齿波的三角函数傅里叶级数. .直流直流基波基波谐波谐波傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱例题例题2 2 将将f(t)展开为傅立叶级数展开为傅立叶级数. . 傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱例题例题3 3 将将f(t)展开展开为傅立叶级数为傅立叶级数. .傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱傅
13、里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱2 2 傅立叶级数的指数形式傅立叶级数的指数形式傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱3 3 周期信号的功率周期信号的功率-ParsevalParseval等式等式直流和直流和n n次谐波分量在次谐波分量在1 1 电阻上消耗的平均功率之和电阻上消耗的平均功率之和. . n0 时时, , |Fn| = An/2.4 4 周期函数的有限傅立叶级数周期函数的有限傅立叶级数要用傅立叶级数准确表示周期函数f(t),则n.但是在工程实际应用
14、中,往往用有限多项来近似表示.取n=N,N越大,越逼近f(t).设:一般采用误差的概念来衡量近似表示的逼近程度.误差函数:均方误差:傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱可以看出当可以看出当N N越大越大, ,均方误差越小均方误差越小, ,近似近似表示越逼近表示越逼近f(t). .傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱例如对称方波:偶函数且奇谐函数 只有奇次谐波的余弦项.傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱N=1,一次谐波或基波N=2,二次谐波N=3,三次谐波傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱有限项的N越大，误差越小例如:N=11一
15、般从合成波形当中可以看出有个波峰,则近似表示当中就有几次谐波分量.例如图中有6个波峰,则表明由六个谐波组成.傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱3.1.3 3.1.3 周期信号的频谱周期信号的频谱1 1 什么叫周期信号的频谱什么叫周期信号的频谱从广义上说,信号的某种特征量随信号频率变化的关系,称为信号的频谱,所画出的图形称为信号的频谱图.周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将An和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图,分别称为振幅频谱图和相位频谱图.因为n0,所以称这种频谱为单边谱. 也可画|Fn|和n的关系,称为双边谱.若Fn为实数,也
16、可直接画Fn .傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱 幅度谱和相位谱合起来称为信号f(t)的频谱,当然信号的频谱还有其他的形式,例如功率谱,能量谱等等. 可以看出对于任意周期信号的频谱有一些共同特点,下面我们来看周期信号频谱的特点.傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱2 2 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点例题例题1:1:周期信号周期信号f(t)=的周期的周期T1=8=8的周期的周期T2=6=6所以所以f(t)的周期的周期T=24T=24，基波角频率基波角频率=2/T=/12=2/T=/12根据帕斯瓦尔等式根据帕斯瓦尔等式, ,其功率为其功率为P= P= 试
17、求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T T, ,基波角频率基波角频率, ,画出它的画出它的单边频谱图单边频谱图, ,并求并求f(t)的平均功率。的平均功率。解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即显然显然1 1是该信号的直流分量是该信号的直流分量. .傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱是是f(t)的的/4/12 =3 3次谐波分量；次谐波分量； 是是f(t)的的/3/12 =4 4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号
18、的频谱例题例题2 2 有一幅度为有一幅度为E,E,脉冲宽度为脉冲宽度为 的周期矩形脉冲的周期矩形脉冲, ,其其周期为周期为T,T,如图所示如图所示, ,求频谱求频谱. .令令 Sa(x)=sin(x)/x ( (取样函数）取样函数） Fn为实数为实数, ,可直接画成一个频谱图可直接画成一个频谱图, ,设设T=4画图画图. .傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱零点为零点为所以所以, , m为整数。为整数。特点特点:(1) 离散频谱,谱线间隔为基波频率,谱线位置是基频的整数倍；(2)各谐波分量的大小与脉幅(E)成正比,与脉宽()成正比,与周期T成反比;(3)幅度谱有收敛性,n时,
19、谐波大小逼近于0,此处谐波大小(谱线)按 包络线收敛.傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱(4)信号能量主要集中在第一个零点 内,因此定义信号带宽为 .谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a) T一定,变小,此时(谱线间隔)不变.两零点之间的谱线数目:1/=(2/)/(2/T)=T/增多.(b) 一定,T增大,间隔减小,频谱变密.幅度减小. 如果周期T无限增长(就成为非周期信号),那么,谱线间隔将趋近于零,周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱.各频率分量的幅度也趋近于无穷小.作业作业P P160-164160-1643-3,3-4,3-7(ace
20、),3-12,3-133-3,3-4,3-7(ace),3-12,3-13傅里叶级数傅里叶级数及周期信号的频谱及周期信号的频谱第二节第二节 傅里叶变换傅里叶变换3.2.1 3.2.1 傅立叶变换傅立叶变换前面已经学习了周期信号的傅立叶级数以及频谱:那么非周期信号的频谱呢那么非周期信号的频谱呢? ?当周期信号的周期T时,则周期信号变为非周期信号.是否简单的将上述变换式中的是否简单的将上述变换式中的T T取取的极限就可以得到的极限就可以得到非周期信号的频谱呢非周期信号的频谱呢? ?前已指出当周期T趋近于无穷大时,谱线间隔趋近于无穷小,从而信号的频谱变为连续频谱.但各频率分量的幅度 也趋近于无穷小!
21、傅里叶变换傅里叶变换考虑到:T,无穷小,记为d;n(由离散量变为连续量),而根据傅里叶级数F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数,简称频谱.f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数.同时, 于是傅里叶变换式傅里叶变换式傅里叶反变换式傅里叶反变换式傅里叶变换傅里叶变换也可简记为: F(j)=Ff(t) f(t)=F 1F(j)或或 f(t) F(j)说明说明(2)用下列关系还可方便计算一些积分(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤.可证明,函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:傅里叶变换傅里叶变换3.2.2 3.2.2 典型非周期信号的傅立叶变换典型非周期信号的傅立叶变换(3) F(j
22、)一般是复函数,写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 其中: | F(j)| 幅度谱(幅度频谱) () 相位谱(相位频谱)(4) 非周期信号的频谱是连续谱.1 1 单边指数函数单边指数函数 f(t) = e tu(t), , 0实数实数傅里叶变换傅里叶变换2 2 双边指数函数双边指数函数f(t) = et , , 0 3 3 直流信号直流信号 f(t) = 1构造 f(t)=e-t ， 0 所以傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换又1212( ( ) ) 4 4 冲激函数冲激函数 (t)、 (t)将t，t-再根据傅里叶变换定义式，得 (t)1(t)1代入
23、反变换定义式，有代入反变换定义式，有直流信号傅立叶变换的另一种求法直流信号傅立叶变换的另一种求法：结论及推论结论及推论傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换5 5 门函数门函数( (矩形脉冲矩形脉冲) )傅里叶变换傅里叶变换6 6 符号函数符号函数7 7 阶跃函数阶跃函数u(t)8 8 sint 以及以及cost ? ?归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对：(t)u(t) e - - t u(t) g(t) sgn (t) e |t| 1 12()傅里叶变换傅里叶变换第三节第三节 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质1 1 线性线性( (Linear
24、 Property) )若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)af1(t)+bf2(t) aF1(j)+bF2(j) 证明证明: : Faf1(t)+bf2(t)= aF1(j)+bF2(j)傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题1 1 已知信号波形如右图已知信号波形如右图, ,求求F(j)=?=?解解: : f (t)= f1(t) g2(t) =1- g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - 2Sa()傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质2 2 时移性质时移性质( (Times
25、hifting Property) )若若 f (t) F(j) 则则证明证明: : F f (tt0 ) 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题2 2 已知信号波形如图已知信号波形如图, ,求求F(j).解解: : 令 f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) 则有 f(t) = f1(t) + f2(t)g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =+傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题3 3 求如图所示三脉冲信号的频谱求如图所示三脉冲信号的频谱. .解：解：则 f(t)=f0(t+T)+f0(t)+f0(t-T)傅里叶变换的基
26、本性质傅里叶变换的基本性质=+ 脉冲个数增多脉冲个数增多, ,频谱包络频谱包络不变不变, ,带宽不变带宽不变. . 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质3 3 对称性质对称性质( (Symmetrical Property) )若若 f (t) F(j) 则则证明证明: :（1）(1) t ，t （2）(2) - then F(j t) 2f ()F( jt ) 2f ()傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题4 4 依据对称性质求下列函数的傅立叶变换依据对称性质求下列函数的傅立叶变换. .解解:(1):(1)(2)(2)(3)(3)傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例
27、题4 4 依据对称性质求下列函数的傅立叶变换依据对称性质求下列函数的傅立叶变换. .傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质(4)(4)a=1例题例题4 4 依据对称性质求下列函数的傅立叶变换依据对称性质求下列函数的傅立叶变换. .F(j) = ? 思考题傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质4 4 频移性质频移性质( (Frequency Shifting Property) )若若 f (t) F(j) 则则证明证明: :F e j0t f(t)= F j(-0)例题例题5 5 f(t)=e j3tF(j)= ?解解: : 1 2() ej3t 1
28、 2(- -3)傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题5 5 试计算下列信号的傅立叶变换试计算下列信号的傅立叶变换. .(1) f1(t) = cos0t (2) f2(t) =sin0t (3) f3(t) =f(t)cos0t (4) f4(t) =f(t)sin0t 解解: :则得:F(j)=(+0)+(-0)例题例题6 6 已知调幅信号已知调幅信号f(t)=Eg(t)cos0t, ,试求其频谱试求其频谱? ?解解: :已知矩形脉冲Eg(t)的频谱为:因为:所以可以看出,信号f(t)的频谱就是将G()一分为二并向左,向右各平移0而得到.傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅
29、里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质若若 f (t) F(j) 则则 5 5 尺度变换性质尺度变换性质( (Scaling Transform Property) )证明证明:当当 a 0 ,Ff(at)当当a 0,Ff(at)傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题7 7 已知已知f (t)F( j), ,求求f (at b)的傅立叶变换的傅立叶变换. .解解: : f(tb)e-jbF( j)则f(atb)orf(at)f(atb) =例题例题8 8 求函数求函数f(t)=1/(jt-1)的傅立叶变换的傅立叶变换. .解解: :提问提问: :如果如果f(t)=1/(t-1)呢呢?
30、 ?傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题9 9 已知已知 , ,求信号求信号 的傅的傅立叶变换立叶变换. .解解:方法一：先尺度变换，再时延方法二：先时延再尺度变换傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质6 6 卷积性质卷积性质( (Convolution Property) )时域卷积时域卷积( (Convolution in time domain) )若若 f1(t) F1(j), , f2(t) F2(j) 则则 f1(t)* *f2(t) F1(j)F2(j)频域卷积频域卷积(Convolution in frequency domain)若若 f1(t)F1(j)，f2
31、(t)F2(j) 则则 f1(t) f2(t) F1(j)* *F2(j)傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题10 10 求信号求信号f(t)=(sint/t)2的傅立叶变换的傅立叶变换. .解解: :两个完全相同的门函数卷积可以得到三角脉冲.即:使用对称性质(Using symmetry)卷积卷积=相同矩形脉冲卷积得到三角脉冲的证明过程如下相同矩形脉冲卷积得到三角脉冲的证明过程如下:傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题11(11(例题例题6) 6) 已知调幅信号已知调幅信号f(t)=Eg(t)cos0t, ,试试求其频谱求其频谱? ?解解: :已知矩形脉冲Eg(t)的
32、频谱为:而cos0t的频谱为:利用频域卷积定理得:傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质7 7 时域的微分和积分性质时域的微分和积分性质( (Differentiation and Integration in time domain) )若若 f (t) F(j) 则则 证明证明: :f(n)(t)= (n)(t)* *f(t)(j)nF(j) f(-1)(t)= u(t)* *f(t)时域积分性质的另一种证明时域积分性质的另一种证明傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质交换积分顺序 ，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换变上限积分用带时移的单位阶
33、跃的无限积分表示，成为傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题12 12 信号信号f(t)= 1/t2 的频谱函数的频谱函数. .解解: :例题例题1313 已知已知f (t)F1(j), ,求信号求信号f(t)的频谱的频谱. .傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质若若 f (n)(t)Fn(j)且且 f(-)+ f() = 0 则则 f (t) Fn(j)/ (j)n例题例题13 13 求三角函数的频谱密度函数求三角函数的频谱密度函数( (傅立叶变换傅立叶变换).).o( () )tft2t t- -2t tEo( () )tf t2t t
34、- -2t tt tE2解解: :将三角函数两次微分,如下过程,可得三个冲激函数,再利用微分性质则可得到原三角函数的傅立叶变换.傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质注意注意: :du(t)/dt = (t)1u(t) 1/(j)傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质也可以用积也可以用积分性质来求分性质来求解可得到一解可得到一样的结果样的结果傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质8 8 频域的微分和积分频域的微分和积分( (Differentiation and Integration in frequency domain) )频域微分性质:若 f (t) F(j) 则 (jt)nf
35、(t)F(n)(j) 证明：证明：频域微分频域微分傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质频域积分性频域积分性质的证明相质的证明相对比较复杂对比较复杂,请大家自己请大家自己参考证明过参考证明过程自己学习程自己学习和理解和理解.傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质注意注意: :tu(t) =u(t) * u(t) 例题例题14 14 求求f (t) = tu(t)的傅立叶变换的傅立叶变换. .例题例题15 15 求积分求积分 的值的值. .傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题16 16 已知已知 , ,求求 的傅立叶变换的傅立叶变换. .解解: :例题例题17 17 已知已知 ,
36、 ,求其傅立叶变换求其傅立叶变换. .解解: :另解另解: :9 9 帕斯瓦尔关系帕斯瓦尔关系( (Parsevals Relation for Aperiodic Signals) )傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质证明证明: :|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t).即信号单位即信号单位频率上的频谱频率上的频谱( (能量密度谱能量密度谱) )傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质例题例题18 18 求信号求信号 的能量的能量. .解解: :傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质10 10 奇偶虚
37、实性奇偶虚实性(1) f(t)是实函数时是实函数时,则有则有:(f(t)为虚函数呢为虚函数呢?)= R()+jX() R()=R(-), X()=-X (-); |F(j)|=|F(-j)| , ()=-(-); F(-)=R(-)+jX(-)= R()-jX()=F*() If f(t)=f(-t) , then X()=0, F(j)=R(); If f(t)=-f(-t) , then R()=0, F(j)=jX().傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质(2) f(t)为虚函数为虚函数,设设f(t)=jg(t), ,g(t)为实函数为实函数此时频谱密度函数函数以及实部虚部的奇偶虚实
38、性与前面的讨论方法相同，请同学们自己下去讨论。作业题作业题P P166-168166-1683-19(a),3-20,3-21,3-25,3-26,3-293-19(a),3-20,3-21,3-25,3-26,3-29傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质第四节第四节 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换以及取样定理以及取样定理3.4.1 3.4.1 正、余弦信号的傅里叶变换正、余弦信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理3.4.2 3.4.2 一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的
39、傅里叶变换例题例题1 1 周期为周期为T T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T T(t)= (t)= 解：解：周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理例题例题2 2：周期信号如图：周期信号如图, ,求其傅里叶变换求其傅里叶变换. .解解: :周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展.即:f(t) = T(t)* *f0(t) F(j)=()F0(j) 本题 f0(t) = g2(t)与周期信号傅立叶变换定义式比较得 这也给出求周期信号这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种傅里叶级数的另一种方法方法.周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶
40、变换以及取样定理3.4.3 3.4.3 取取( (抽抽) )样定理样定理 取样定理取样定理论述了在一定条件下论述了在一定条件下, ,一个连续信号完全可以一个连续信号完全可以用用离散样本值离散样本值表示表示. .这些样本值包含了该连续信号的全部这些样本值包含了该连续信号的全部信息信息, ,利用这些样本值可以恢复原信号利用这些样本值可以恢复原信号. .可以说可以说, ,取样定理取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁. .为其互为转为其互为转换提供了理论依据换提供了理论依据. . 取样定理是模拟信号变换为取样定理是模拟信号变换为(A/D(A/D转换转换)
41、 )的的理论基础理论基础. .1 1 信号的取样信号的取样 所谓所谓“取样取样”就是利用就是利用取样脉冲序列取样脉冲序列s(t)从连续信号从连续信号f(t)中中“抽取抽取”一系列一系列离散样本值离散样本值的过程的过程. . 这样得到的离散信号称为这样得到的离散信号称为取样信号取样信号. . 周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理如图一连续信号如图一连续信号f(t)用用取样脉冲序列取样脉冲序列s(t)( (开关函数开关函数) )进进行取样行取样, ,取样间隔取样间隔为为TS，fS=1/TS称称为为取样频率取样频率. .得取样信号得取样信号 fS(t) = f(t)s(t
42、)取样信号取样信号fS(t)的频谱函数为的频谱函数为 FS(j )=(1/2 )F(j )* *S(j )(1)(1)时域理想抽样时域理想抽样( (冲激抽样冲激抽样) )若若s(t)是周期为是周期为Ts的冲激函数序列的冲激函数序列 T(t), ,则称为则称为冲激取样冲激取样. . 如果如果f(t)是是带限信号带限信号 即即f(t)的频谱只在区间的频谱只在区间(- m, m)为有限值，而其余区间为为有限值，而其余区间为0. 0. 设设f(t)F(j ), ,取样信号取样信号fS(t)的频谱函数的频谱函数 则取样则取样( (抽样抽样) )信号为信号为: :周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的
43、傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理相乘相卷时域抽样频域周期重复时域理想抽样的傅立叶变换时域理想抽样的傅立叶变换FTFT相乘 相卷积周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理=*=上面在画取样信号上面在画取样信号fS(t)的频谱时的频谱时, ,设定设定S S22m m, ,这时其这时其频谱频谱不发生混叠不发生混叠, ,因此能设法因此能设法( (如利用低通滤波器如利用低通滤波器),),从从FS(j )中取出中取出F(j )，即，即从从fS(t)中中恢复原信号恢复
44、原信号f(t). .否则将发否则将发生混叠生混叠, ,而无法恢复原信号而无法恢复原信号. .乘卷(2)(2)非理想抽样信号的傅立叶变换非理想抽样信号的傅立叶变换周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理-mm关于非理想抽样关于非理想抽样周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理2 2 时域取样定理时域取样定理当当S 2m( (fs2fm) )时时, ,将将fs(t)通过下面的低通滤波器通过下面的低通滤波器其截止角频率其截止角频率mCS -m . .即可恢复原信号即可恢复原信号f(t). .由于由于 fs(t)= f(t)s(t)= f(t) 根据对称
45、性可知根据对称性可知H(j)h(t)=为方便，选为方便，选C = 0.5S , ,则则TsC /=1 此处假设抽样过程为理想抽样：此处假设抽样过程为理想抽样：周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理根据根据f(t)=fS(t)*h(t)，有，有时域取样定理：时域取样定理： 一个频谱在区间一个频谱在区间( (- m, , m) )以外为以外为0 0的带限信号的带限信号f(t), ,可唯可唯一地由其在均匀间隔一地由其在均匀间隔TsTs2fm, ,或者说或者说, ,取样间取样间隔不能太大隔不能太大, ,必须必须T
46、s1/(2fm); ;否则将发生混叠否则将发生混叠. . 只要已知各取样值只要已知各取样值f(nTs), ,就能唯一地确定出原信号就能唯一地确定出原信号f(t)。 周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理把最低允许的取样频率把最低允许的取样频率fs=2fm称为称为奈奎斯特奈奎斯特( (Nyquist) )频频率率, ,把最大允许的取样间隔把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔称为奈奎斯特间隔. . 频域取样定理频域取样定理( (略略) )： 一个在时域区间一个在时域区间(-tm,tm) )以外为以外为0 0的的时限信号时限信号f(t)的频的频谱函数谱函
47、数F(j ), ,可唯一地由其在均匀频率间隔可唯一地由其在均匀频率间隔f fs s f fs s1/(2t1/(2tm m) ) 上的样值点上的样值点F(jn s) )确定确定. . 作业作业P170-172P170-1723-38,3-39(1)(3),3-40(1)(2)(3)(5)(7)3-38,3-39(1)(3),3-40(1)(2)(3)(5)(7)周期信号的傅里叶变换以及取样定理周期信号的傅里叶变换以及取样定理第五节第五节 LTILTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和虚指数函数
48、之和, ,一般用于求解系统响应一般用于求解系统响应. .对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：其其基本信号基本信号为为 e ej j t t3.5.1 3.5.1 基本信号基本信号e ej j t t作用作用于于LTILTI系统的响应系统的响应说明说明: :频域分析中频域分析中, ,信号的定义域为信号的定义域为(,),),而而t= 总总可认为系统的状态为可认为系统的状态为0 0，因此本章的响应指零状态响应，因此本章的响应指零状态响应，常写为常写为y(ty(t). ). LTILTI系统的频域分析系统的频域分析设设LTILTI系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为h(t), ,当
49、激励是角频率当激励是角频率的的基本信号基本信号ej t时时, ,其响应其响应 而上式积分而上式积分 正好是正好是h(t)的傅里叶变换的傅里叶变换, ,记为记为H(j ), ,常称为系统的频率响应函数。常称为系统的频率响应函数。y(t) = H(j ) ej tH(j )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位的幅度和相位. .y(t) = h(t)* * ej tLTILTI系统的频域分析系统的频域分析3.5.2 3.5.2 信号信号f(t)作用于作用于LTILTI系统的响应系统的响应ej tH(j )ej tF(j )ej td F(j )H(j )ej td 齐次齐次性性可加可加性性f(t
50、)y(t)=F1F(j )H(j ) Y(j )=F(j )H(j )y(t)=f(t)* *h(t)LTILTI系统的频域分析系统的频域分析频率响应频率响应H(j )可定义为系统零状态响应的傅里叶变换可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j )与激励与激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j )之比，即之比，即 |H(j )|称为称为幅频特性幅频特性( (或或幅频响应幅频响应););( )称为称为相频特性相频特性( (或或相频响应相频响应).).|H(j )|是是 的偶函数的偶函数, ,( )是是 的奇函数的奇函数. . 频域分析法步骤：频域分析法步骤：傅里叶变换法傅里叶变换法LTILTI
51、* *h(t)f(t)y(t)=f(t)* *h(t)F(j ) . .H(j ) =Y(j )傅立叶逆变换傅立叶逆变换y(t)LTILTI系统的频域分析系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数法对周期信号还可用傅里叶级数法周期信号周期信号若若则可推导出则可推导出LTILTI系统的频域分析系统的频域分析例题例题1 1 某某LTILTI系统的系统的|H(j )|和和( )如图，如图，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t), ,求系统的响应求系统的响应. .解法一解法一：用傅里叶变换：用傅里叶变换F(j )=4()+4(5) +(+5)+4(10)+ (+10)Y(j )
52、 = F(j )H(j ) = 4() H(0) + 4(5) H(j5 5) + (+5) H(-j5 5)+ 4(10) H(j1010) + (+10) H(-j1010) H(j )= = H(j ) e ejj( ( ) )= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j ) = 2 + 2sin(5t)LTILTI系统的频域分析系统的频域分析解法二解法二：用三角傅里叶级数：用三角傅里叶级数f(t)的基波角频率的基波角频率=5rad/s=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1， H(j) = 0.5e-
53、j0.5， H(j2) = 0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t)LTILTI系统的频域分析系统的频域分析3.5.3 3.5.3 频率响应频率响应H(jH(j ) )的求法的求法1. H(j )=Fh(t) 2. H(j ) = Y(j )/F(j ) (1)由微分方程求由微分方程求, ,对微分方程两边取傅里叶变换对微分方程两边取傅里叶变换. . (2)由电路直接求出由电路直接求出. .例题例题2 2 某系统的微分方程为某系统的微分方程为y(t) + 2y(t) = f(t)求求f(t) = e-tu(t)时的时的响应响应y(t)。解解：微分方程两边
54、取傅里叶变换：微分方程两边取傅里叶变换jY(j) + 2Y(j) = F(j) f(t) = e-tu(t)Y(j) = H(j)F(j)LTILTI系统的频域分析系统的频域分析y(t) = (e-t e-2t )u(t) 例题例题3 3 如图电路如图电路,R=1,C=1F,R=1,C=1F,以以uC(t)为输出为输出, ,求其求其h(t)。解解：画电路频域模型：画电路频域模型所以所以: :h(t)= e- -t u(t) 频域模型频域模型LTILTI系统的频域分析系统的频域分析LTILTI系统的频域分析系统的频域分析3.5.4 3.5.4 无失真传输与滤波无失真传输与滤波系统对于信号的作用大
55、体可分为两类系统对于信号的作用大体可分为两类: :一类是一类是信号的传输信号的传输, ,一类是一类是滤波滤波. .传输要求信号尽量不失真传输要求信号尽量不失真, ,而滤波则滤去或而滤波则滤去或削弱不需要有的成分削弱不需要有的成分, ,必然伴随着失真必然伴随着失真. .1 1、无失真传输、无失真传输 (1)(1)定义定义: :信号信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与输入信是指系统的输出信号与输入信号相比号相比, ,只有只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不同出现时间的先后不同, ,而没有而没有波形上的变化波形上的变化. .即即 输入信号为输入信号为f(t), ,经过无失真传输后经过
56、无失真传输后, ,输出信号应为输出信号应为 y(t) = K f(ttd) 其频谱关系为其频谱关系为 Y(j )=Ke j tdF(j ) LTILTI系统的频域分析系统的频域分析 上述是信号无失真传输的上述是信号无失真传输的理想理想条件条件. .当传输有限带宽当传输有限带宽的信号时的信号时, ,只要在信号占有频带范围内只要在信号占有频带范围内, ,系统的幅频、相系统的幅频、相频特性满足以上条件即可频特性满足以上条件即可. . (2)(2)无失真传输条件无失真传输条件：系统要实现无失真传输系统要实现无失真传输, ,对系统对系统h(t)，H(j )的要求是：的要求是： (a)(a)对对h(t)的
57、要求的要求： h(t)=K (t td) (b) (b)对对H(j )的要求的要求： H(j )=Y(j )/F(j )=Ke -j td即即 H(j ) =K ,( )= td LTILTI系统的频域分析系统的频域分析例题例题4 4 系统的幅频特性系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图和相频特性如图(a)(b)(a)(b)所示所示, ,则下列信号通过该系统时则下列信号通过该系统时, ,不产生失真的是不产生失真的是(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t)
58、= cos2(4t)解解: :不失真的条件是不失真的条件是 H(j ) =K ,( )= td 题图题图 H(j ) =K (-10 10), ( )= td (-5 5).所以所以(B)信号经过系统时不会失真信号经过系统时不会失真.2 2 理想低通滤波器理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器.c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为: (1)(1)冲激响应冲激响应 h(t)= -1g2 c( )e-j td =h(t)不是因果信号不是因果信号, ,它实际上是不可实现的非因果系统它实际上是不可实现的非因果系统. .LTILTI系统的频域分析系统的频域分析(2
59、)(2)阶跃响应阶跃响应 g(t)=h(t)*(t)= 经推导,可得称为正弦积分特点特点: :有明显失真,只要c,则必有振荡,其过冲比稳态值高约9%.这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象吉布斯现象. .gmax=0.5+Si()/=1.0895LTILTI系统的频域分析系统的频域分析3 3 物理可实现系统的条件物理可实现系统的条件 ( (略略) ) 就就时域特性时域特性而言而言, ,一个一个物理可实现的系统物理可实现的系统, ,其冲激响应其冲激响应在在t0t0时必须为时必须为0,0,即即h(t)=0 ,t0 即即 响应不应在激励作用之前出现响应不应在激励作用之前出现。 就就频域特性频
60、域特性来说来说, ,佩利佩利( (Paley) )和维纳和维纳( (Wiener) )证明了证明了物理可实现的幅频特性必须满足物理可实现的幅频特性必须满足 并且并且称为称为佩利佩利- -维纳准则维纳准则。（。（必要条件必要条件） 从该准则可看出从该准则可看出, ,对于物理可实现系统对于物理可实现系统, ,其幅频特性可其幅频特性可在某些孤立频率点上为在某些孤立频率点上为0,0,但不能在某个有限频带内为但不能在某个有限频带内为0. 0. LTILTI系统的频域分析系统的频域分析第六节第六节 能量谱和功率谱能量谱和功率谱3.6.1 3.6.1 相关系数相关系数若用 来近似 ，设有误差能量使 最小即
61、时误差能量最小能量谱和功率谱能量谱和功率谱能量谱和功率谱能量谱和功率谱归一化为相对误差能量相关系数为能量谱和功率谱能量谱和功率谱3.6.2 3.6.2 相关函数相关函数- -时移信号的相关性时移信号的相关性由相关系数 求两时移信号的相似性,有如下相关函数,叫互相关函数互相关函数.或 还有另一定义能量谱和功率谱能量谱和功率谱如果x(t)和y(t)都是同一个函数f(t),用 来表示,称为自相关函数自相关函数,记为:若定义中涉及的函数全为实函数,则上述定义可写为:能量谱和功率谱能量谱和功率谱3.6.3 3.6.3 相关与卷积的关系相关与卷积的关系( (实函数时实函数时) )变量变量互换互换 h(t)
62、 h(-t)能量谱和功率谱能量谱和功率谱3.6.4 3.6.4 相关定理相关定理若已知则证明证明: :可以证明可以证明,此定此定理对理对x(t)与与y(t)实实函数和复数函数函数和复数函数都成立都成立.能量谱和功率谱能量谱和功率谱3.6.5 3.6.5 能量谱和功率谱能量谱和功率谱帕斯瓦尔定理能量谱和功率谱能量谱和功率谱两块阴影的面积相等两块阴影的面积相等能量密度谱能量密度谱能量有限信号能量有限信号一般称平均功率为无穷小一般称平均功率为无穷小, ,能量为有限值的信号为能量为有限值的信号为能量能量有限信号有限信号, ,这样的信号才可以用能量大小来描述这样的信号才可以用能量大小来描述. .定义单位
63、频率上的信号能量为定义单位频率上的信号能量为称为称为能量密度函数能量密度函数, ,简称能量频谱简称能量频谱( (能量密度谱能量密度谱) )或能量谱或能量谱. .能量谱和功率谱能量谱和功率谱如果信号平均功率为有限值如果信号平均功率为有限值, ,但能量为无穷大但能量为无穷大, ,则这类则这类信号只能用平均功率来描述信号只能用平均功率来描述, ,称为称为功率有限信号功率有限信号. . 此时相关函数应定义为此时相关函数应定义为: :信号平均功率为信号平均功率为其中其中 为信号为信号 在区间在区间 上的截尾函数上的截尾函数 的频谱的频谱. .当当T时时, , , , , , 趋近于一个极限趋近于一个极限
64、, ,若极限存在若极限存在, ,则定义则定义: :为为功率密度函数功率密度函数, ,简称功率谱简称功率谱. .能量谱和功率谱能量谱和功率谱此时的此时的 可以看作是函数可以看作是函数 在区间在区间 上的截上的截取函数取函数, ,即可表示为即可表示为: :则截取函数的频谱为则截取函数的频谱为: :又由前面功率有限信号自相关函数的定义又由前面功率有限信号自相关函数的定义能量谱和功率谱能量谱和功率谱可见自相关函数与功率谱是一对傅立叶变换可见自相关函数与功率谱是一对傅立叶变换. .能量谱和功率谱能量谱和功率谱例题例题1 1 求信号求信号f(t)=g(t)的信号能量及能量谱的信号能量及能量谱.(.(略略)
65、 ) 例题例题2 2 求信号求信号f(t)=Sa(t)的信号能量及能量谱的信号能量及能量谱.(.(略略) ) 例题例题3 3 求求周期信号周期信号f(t)的功率谱的功率谱, ,周期为周期为T1. .解解: :例题例题4 4 求求周期信号周期信号f(t)=Ecos1t的自相关函数与功率谱的自相关函数与功率谱, ,其其周期为周期为T1. .解法解法1:1:先求自相关先求自相关, ,再求功率谱再求功率谱. .能量谱和功率谱能量谱和功率谱解法解法2:2:先求功率谱先求功率谱, ,再求自相关再求自相关. .能量谱和功率谱能量谱和功率谱作业作业P P369-371369-3716-16,6-17,6-18,6-196-16,6-17,6-18,6-19能量谱和功率谱能量谱和功率谱
