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1、第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 1.5 1.5 方阵方阵方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 一一. 逆矩阵逆矩阵(j zhn)的概念的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E, 则称A可逆可逆(invertible), 并称B为A的 逆矩阵逆矩阵(inverse matrix). 第1页/共14页第一页，共15页。第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 1.5 1.5 方阵方阵方阵
2、方阵(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 例例1: En例例2:例例3:第2页/共14页第二页，共15页。第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 1.5 1.5 方阵方阵方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 定理定理1.4. A可逆可逆 A的逆矩阵的逆矩阵(j zhn)唯一唯一. 2. 逆矩阵的唯一性 若AB = BA = E, AC = CA = E, 则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC = C. 当方阵A可逆时, A的逆矩阵记为A 1.注：注
3、： A与与A 1乘法可交换乘法可交换. 第3页/共14页第三页，共15页。第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 3. 逆矩阵的运算(yn sun)性质 设A, B为同阶可逆方阵(fn zhn), 数k 0. 则 (1) (A 1) 1 = A. (2) (AT) 1 = (A 1)T. (3) (kA) 1 = k 1A 1. (4) (AB) 1 = B 1A 1. 要证明(4), 只要验算 (B 1A 1)(AB) = E, 1.5 1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 (AB)(B 1A 1) = E
4、 即可. 第4页/共14页第四页，共15页。第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 二二. 初等矩阵初等矩阵(j zhn)与可逆矩阵与可逆矩阵(j zhn) 1. 初等矩阵的可逆性 (1) E(i, j) 1 = E(i, j), 1.5 1.5 方阵方阵方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 (2) E(i(k) 1 = E(i(k 1 ), (3) E(i, j(k) 1 = E(i, j( k). 小结：初等矩阵 的逆矩阵 仍为 初等矩阵 第5页/共14页第五页，共15页。第一章第一章第一
5、章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 2. 可逆矩阵(j zhn)的分解 1.5 1.5 方阵方阵方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 初等初等 行变换行变换 A可逆 U可逆 行最简形U = P1P2PsA U中不会有零行 = E U = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = P1P2PsA A = Ps 1P2 2 1P1 1 为初等矩阵的乘积. 两边同时左乘两边同时左乘( (P Ps s 1 1P P2 2 1 1P P1 1 1 1) ) 定理定理1.5. A可逆A可写成初等矩阵的乘积. A 第6页
6、/共14页第六页，共15页。第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 3. 矩阵的标准(biozhn)分解 定理定理1.6. 设A是m n矩阵, 则存在m阶可逆 矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得 A = P Q.1.5 1.5 方阵方阵方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 第7页/共14页第七页，共15页。第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 三三. 用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵(j zhn) 1.5 1.5 方阵方阵方阵方阵
7、(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 考虑下面分块矩阵的乘法考虑下面分块矩阵的乘法第8页/共14页第八页，共15页。第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 1.5 1.5 方阵方阵方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 例例4. 设 A = , 求A 1. 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 03 4 3 0 0 1解解: 初等 行变换 1 0 0 1 3 20 1 0 3/2 3 5/2 0 0 1 1 1 1故A 1 = 1 3 2 3/2 3 5/2 1
8、 1 1. 1 2 3 2 2 13 4 3第9页/共14页第九页，共15页。第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 1.5 1.5 方阵方阵方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 类似类似(li s)地，地， 第10页/共14页第十页，共15页。第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 1.5 1.5 方阵方阵方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 四四. 用初等变换解矩阵用初等变换解矩阵(j z
9、hn)方程方程 设有矩阵方程设有矩阵方程AX = B. 则则X = A 1B.第11页/共14页第十一页，共15页。第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 1.5 1.5 方阵方阵方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 1 2 3 2 5 2 2 1 3 13 4 3 4 3解解: 初等 行变换 1 0 0 3 20 1 0 2 3 0 0 1 1 3故X = 3 2 2 3 1 3.例例5. 设A = 1 2 32 2 13 4 3, , B = 2 53 14 3求矩阵(j zhn)X使AX
10、 = B.第12页/共14页第十二页，共15页。第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵(j zhn) (j zhn) (j zhn) (j zhn) 1.5 1.5 方阵方阵方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 类似的，矩阵(j zhn)方程XA = B的解是X = BA 1.第13页/共14页第十三页，共15页。感谢您的欣赏(xnshng)第14页/共14页第十四页，共15页。内容(nirng)总结第一章 矩阵(j zhn)。A = P Q.。1 2 3 1 0 0。2 2 1 0 1 0。3 4 3 0 0 1。1 0 0 1 3 2。1 3 2。1 2 3。2 2 1。3 4 3。1 2 3 2 5。3 4 3 4 3。1 0 0 3 2。0 0 1 1 3。3 2第十五页，共15页。
