材料力学课件：第八章 应力状态分析

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1、第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析通知通知作业交老主楼南作业交老主楼南102武小峰助教，电话：武小峰助教，电话：13581824131如需答疑，可与他商量如需答疑，可与他商量1Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析第第八八章章 应力应力应变应变状态分析状态分析上学期回顾：上学期回顾：上学期回顾：上学期回顾：三种基本变形三种基本变形三种基本变形三种基本变形应力应力应力应力强度条件强度条件强度条件强度条件变形变形变形变形刚刚刚刚度条件度条件度条件度条件拉压：拉压：拉压：拉压：扭转：扭转：扭转：扭转：弯曲：弯曲：弯曲：弯曲：强强 度度 条条 件件刚度条件请同学们自行总结刚

2、度条件请同学们自行总结2Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 复杂应力状态下的强度条件？复杂应力状态下的强度条件？c , d 点点: 单向应力；单向应力；a 点点处处: 纯剪切；纯剪切；b 点点: , , 联合作用，联合作用，如何建立强度条件？如何建立强度条件？8 8-1 -1 引言引言引言引言工字梁的横力弯曲工字梁的横力弯曲3Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 螺旋桨轴组合变形的应力螺旋桨轴组合变形的应力: :FFMA A微体微体A4Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析构件的开裂构件的开裂外因：应力，不同方位应力不同外因：应力，不同方位

3、应力不同外因：应力，不同方位应力不同外因：应力，不同方位应力不同 （本章研究）（本章研究）（本章研究）（本章研究） 内因：材料本身的强度内因：材料本身的强度内因：材料本身的强度内因：材料本身的强度 （下一章研究）（下一章研究）（下一章研究）（下一章研究） 结构与构件失效原因探讨结构与构件失效原因探讨5Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态为该点处的应力状态 应力状态应力状态应变状态应变状态构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点处的

4、应变状态点处的应变状态研究方法研究方法环绕研究点切取微体，因微体环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态一点处的应力与应变状态研究目的研究目的研究一点处的应力、应变及其关研究一点处的应力、应变及其关系，为构件的应力、变形与强度系，为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础分析，提供更广泛的理论基础xyzyxdxdydzxxyy 本章本章研究内容、目的与方法研究内容、目的与方法6Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-2 8-2 8-2 8-2 平面应力状态应

5、力分析平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析xyzyxdxdydzxxyy 微体仅有四个面作用有应力；微体仅有四个面作用有应力； 应力作用线均平行于不受力表面应力作用线均平行于不受力表面；什么是平面应力状态？什么是平面应力状态？xyzdz问题：问题：已知已知 x , , y, , x , , y, , 求任求任意平行于意平行于z z轴的轴的斜斜截面上的应力。截面上的应力。平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析微体有一对平行表面不受力的应力状态。微体有一对平行表面不受力的应力状态。由此推断由此推断7Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 应力分析的解析

6、法：应力分析的解析法：微体中取分离体平衡。微体中取分离体平衡。符号规定：符号规定： 拉伸为正；拉伸为正； 使微体顺时针转者为正使微体顺时针转者为正 以以x轴为始边轴为始边，指向沿逆时针转者为正指向沿逆时针转者为正xyxxxyyynyxdAxy8Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析建立在静力学基础上，与材料性质无关。建立在静力学基础上，与材料性质无关。换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。应力转轴公式的适用范围？是否应力转轴公式的适用范围？是否与材料性质

7、相关？与材料性质相关？应力转轴公式（斜截面上的应力公式）应力转轴公式（斜截面上的应力公式）9Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析解：解：问问 可取何值可取何值 （x轴向左）轴向左）例例 求图示求图示 ，已知已知单位：单位：MPa10Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析一、一、应力圆应力圆8-3 8-3 8-3 8-3 应力圆应力圆应力圆应力圆在在 平面上，平面上， 的轨迹？的轨迹？ 应力转轴公式应力转轴公式 应力转轴公式形式变换应力转轴公式形式变换 应力圆应力圆 11Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 坐标系下的圆方程坐标系下的圆方程圆心

8、坐标：圆心坐标：半径：半径：o(x+ y)/2R结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆 应力圆应力圆12Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析二、二、应力圆的绘制及应用应力圆的绘制及应用o(x+ y)/2R绘制方法绘制方法1：为半径作圆为半径作圆为圆心，为圆心，以以缺点：缺点：需用解析法计算圆心坐标和半径（需用解析法计算圆心坐标和半径（作图难作图难）没反映应力圆上的点与微体截面方位对应关系（没反映应力圆上的点与微体截面方位对应关系（用处小用处小）13Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析o x x y yC( x

9、+ y)/2F( ( x- y)/2绘制方法绘制方法2（实际采用）（实际采用）分析分析设设x面和面和y面的应力分别为面的应力分别为故故DE中点坐标为中点坐标为由于由于即为圆心，即为圆心，DE为直径。为直径。DE E14Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析同理：同理：o x xD y yE EC( x+ y)/2 H H2 2 2 2 0 0 0 02 2 2 2 H H ( ( , , ) ) H HF( ( x- y)/2绘图：绘图：以以ED为直径，为直径，C为圆心作圆为圆心作圆 面应力：面应力： 考察考察H点应力点应力15Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态

10、分析l l点面对应：点面对应：点面对应：点面对应：微体截面上的应力值与应力圆上点的微体截面上的应力值与应力圆上点的微体截面上的应力值与应力圆上点的微体截面上的应力值与应力圆上点的坐标值一一对应。坐标值一一对应。坐标值一一对应。坐标值一一对应。应力圆点与微体截面应力对应关系应力圆点与微体截面应力对应关系应力圆点与微体截面应力对应关系应力圆点与微体截面应力对应关系HC16Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析l l 二倍角对应：二倍角对应：二倍角对应：二倍角对应：应力圆半径转过的角度是微体截面方位角应力圆半径转过的角度是微体截面方位角应力圆半径转过的角度是微体截面方位角应力圆半径转

11、过的角度是微体截面方位角变化的两倍，且二者转向相同。变化的两倍，且二者转向相同。变化的两倍，且二者转向相同。变化的两倍，且二者转向相同。 微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边微体平行对边微体平行对边微体平行对边, , , , 对应对应对应对应应力圆应力圆应力圆应力圆同一点同一点同一点同一点2 C17Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 几种简单受力状态的应力圆几种简单受力状态的应力圆xx单向受力状态单向受力状态xy纯剪切受力状态纯剪切受力状态oR=x双向等

12、拉双向等拉ox/2R=x/2Co C18Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 绘制应力圆两例绘制应力圆两例AABBo(A, A)(B, B)o(0, )(0, -)2(-)19Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 8-4 8-4 8-4 平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力一、平面应力状态的极值应力一、平面应力状态的极值应力思考：思考：如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力？最如何从应力圆确定微体内最大与最小正应力？最大与最小切应力？微体内最大正应力与切应力方位？大与最

13、小切应力？微体内最大正应力与切应力方位？20Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-4 8-4 8-4 8-4 平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力平面应力状态的极值应力与主应力一、平面应力状态的极值应力一、平面应力状态的极值应力21Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析思考：思考：对于平面应力：对于平面应力：是否一定存在正应力为是否一定存在正应力为零的截面？零的截面？切应力最大的截面，与正切应力最大的截面，与正应力最大截面夹角多大？应力最大截面夹角多大？是否一定存在切应力为是否一定存在切应力为零的截面？零

14、的截面？正应力最大与最小的截面，正应力最大与最小的截面，切应力有什么性质？切应力有什么性质？22Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 二、主应力二、主应力 主平面主平面切应力为零的截面切应力为零的截面主应力主应力主平面上的正应力主平面上的正应力主应力排序主应力排序主平面微体主平面微体相邻主平面相互垂直，相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体构成一正六面形微体（按代数值排列）（按代数值排列）23Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力状态分类应力状态分类: : 单向应力状态单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态二向

15、应力状态：两个主应力不为零的应力状态两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态三个主应力均不为零的应力状态复杂应力状态复杂应力状态: : 二向与三向应力状态二向与三向应力状态 三、纯剪切状态的最大应力三、纯剪切状态的最大应力 24Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析圆轴扭转时滑移与剪断发生在圆轴扭转时滑移与剪断发生在 max的作用面的作用面：圆轴扭转时圆轴扭转时断裂发生在断裂发生在 max 的作用面的作用面：例：纯剪应力状态下不同的断裂机理：例：纯剪应力状态下不同的断裂机理：25Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析解：

16、解：1.解析法解析法例例 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向单位：单位：MPa26Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析例例 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向1.解析法解析法(续续)问题：问题：哪一个解是正确的？哪一个解是正确的？根据对应切应力所指方向可判断根据对应切应力所指方向可判断 的方向的方向又解：又解：试比较两个求试比较两个求 的公式的公式27Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析（2）量量A、B两点坐标，两点坐标，BD的方位角得的方位角得2.图解法图解法（1）

17、在在坐标系画上坐标系画上两点，联结两点，联结DE，以，以DE为直径作应力圆为直径作应力圆28Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析思考题：试分析下列平面应力杆件中思考题：试分析下列平面应力杆件中A，B两点的应力两点的应力A点零应力状态，应力圆为位于圆点的点圆点零应力状态，应力圆为位于圆点的点圆B点应力集中点应力集中29Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析作业作业8-28-48-5请用坐标纸作图请用坐标纸作图30Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析xyxxxyyynyxdAxy平面应力转轴公式平面应力转轴公式 上一讲回顾上一讲回顾31Page第

18、八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力圆的画法：应力圆的画法：确定确定x面和面和y面的应力坐标点面的应力坐标点D、E 以以DE为直径作应力圆。为直径作应力圆。应力圆点与微体面对应关系应力圆点与微体面对应关系极值应力极值应力应力应力圆与极值应力应力应力圆与极值应力 32Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析88885 5 5 5 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力实际工程构件和结构通常处于复杂应力状态实际工程构件和结构通常处于复杂应力状态33Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析微体微体AF 分析：截

19、取微元体分析：截取微元体 三向应力状态。三向应力状态。对复杂应力状态，我们最关注对复杂应力状态，我们最关注 什么？如何研究？什么？如何研究？例：例：例：例：火车通过时，导轨面一点的应力分析火车通过时，导轨面一点的应力分析34Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析一一. . 三向应力圆三向应力圆（1）三组特殊的平面应力对应三组特殊的平面应力对应于三个应力圆：平行于三个应力圆：平行 平面，平面，由由 , 作应力圆；由作应力圆；由 , 和和 , 分别作应力圆分别作应力圆（2）三向应力圆三向应力圆35Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析结论：结论：任意斜截面的应力值任

20、意斜截面的应力值位于三向应力圆的阴影区内位于三向应力圆的阴影区内（3）任意斜截面的应力任意斜截面的应力与三向应力圆对应关系与三向应力圆对应关系36Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析二二. . 最大与最小应力最大与最小应力位于与位于与 和和 均成均成 的截面的截面37Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析例例 图示单元体图示单元体最大最大切应力切应力 作用面是图作用面是图_单位：单位：MPa答：答：38Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析例例 试作图示平面应力状态微体的三向应力圆试作图示平面应力状态微体的三向应力圆单位：单位：MPa39Pag

21、e第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析30E(40,30)D(120,-30) 作三向应力圆作三向应力圆例例 试作图试作图a所示微体三向应力圆所示微体三向应力圆,计算微体的计算微体的解：解： 作图作图b所示平面应力微体的应力圆所示平面应力微体的应力圆主应力与第一主应力方位。主应力与第一主应力方位。单位：单位：MPaxyz分析：垂直于分析：垂直于z轴的平面是一个主平面轴的平面是一个主平面 O130-3040Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 计算微体的计算微体的 和主应力和主应力i)图解法图解法 由图量得由图量得(单位：单位：MPa）单位：单位：MPa思考：思考：三

22、向应力圆的三个圆分别代表三向应力圆的三个圆分别代表分别代表微体那组特殊平面的分别代表微体那组特殊平面的应力？应力？极值应力极值应力 对对应于微体哪个方位？在哪应于微体哪个方位？在哪个圆上量取？个圆上量取？30E(40,30)D(120,-30) O130-3041Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析ii)解析法解析法单位：单位：MPaxyz思考：下述计算是否正确？思考：下述计算是否正确？左面计算的是平行左面计算的是平行于于z轴截面的极值应轴截面的极值应力，不一定是微体最力，不一定是微体最大最小应力。大最小应力。 计算微体的计算微体的 和主应力和主应力42Page第八章第八章

23、应力应变状态分析应力应变状态分析ii)解析法解析法（单位：（单位：MPa)单位：单位：MPaxyz3）计算微体的计算微体的 和主应力和主应力对于垂直于对于垂直于z轴的截面极值应力轴的截面极值应力微体最大最小应力微体最大最小应力微体主应力微体主应力43Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析4) 求求 方位方位i)图解法图解法最大主应力发生在哪个平面？最大主应力发生在哪个平面？单位：单位：MPaxyz发生在发生在xy平面平面30D(120,-30) O130-30D(120,30)直接测量得直接测量得 （在（在xy平面）平面）44Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分

24、析4) 求求 方位方位i)图解法图解法ii)解析法解析法单位：单位：MPaxyz30D(120,-30) O130-30D(120,30)直接测量得：直接测量得： （在（在xy平面）平面）45Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析88886 6 6 6 平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析平面应变状态应变分析平面应力与平面应变状态的工程实例平面应力与平面应变状态的工程实例拦水坝：平面应变状态拦水坝：平面应变状态qq薄板：平面应力状态薄板：平面应力状态46Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析应力应力平面应变状态：平面应变状态：构件某点的变

25、形均平行于某一平面构件某点的变形均平行于某一平面平面应变的应力：平面应变的应力：在垂直于该平面的方向存在正应力在垂直于该平面的方向存在正应力平面应变状态的定义及对应的应力平面应变状态的定义及对应的应力47Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析一、平面应变状态下任意方位的应变分析一、平面应变状态下任意方位的应变分析已知应变已知应变 x , y与与 xy，求求 方位的应变方位的应变 与与 l 使左下直角增大之使左下直角增大之 为正为正规定：规定：l 方位角方位角 以以 x 轴为始边轴为始边，为正为正48Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析分析要点：分析要点：叠加法

26、叠加法切线代圆弧切线代圆弧仅考虑仅考虑仅考虑仅考虑仅考虑仅考虑49Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析单独考虑应变单独考虑应变问题：问题： ? ? 如果如果 ， 怎么计算？怎么计算？答：答：可利用可利用的解析公式计算。的解析公式计算。50Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析分别考虑分别考虑 和和51Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析叠加法求应变叠加法求应变转轴公式转轴公式52Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析小结：小结： 平面应变转轴公式：平面应变转轴公式： 互垂方位切应变：互垂方位切应变：互垂方位的切应变数值相等，正

27、负符号相反互垂方位的切应变数值相等，正负符号相反 上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关。用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关。用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关。用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关。适用范围：适用范围：53Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析平面应力转轴公式与平面应变转轴公式规律的相似性平面应力转轴公式与平面应变转轴公式规律的相似性平面应力转轴公式平面应力转轴公式平面应变转轴

28、公式平面应变转轴公式应力圆应力圆应变圆应变圆对应关系对应关系54Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析二、应变圆二、应变圆对比应力圆对比应力圆55Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析三、最大应变与主应变三、最大应变与主应变(1(1）应力圆与应变圆对照应力圆与应变圆对照56Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析三、最大应变与主应变三、最大应变与主应变(2(2）最大与最小应变最大与最小应变最大应变方位角最大应变方位角57Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析切应变为零方位的切应变为零方位的正应变称为主应变正应变称为主应变一点的三主应

29、变一点的三主应变方方位位两两互垂两两互垂主应变表示：主应变表示： 1 1 2 2 3 3主应变主应变三、最大应变与主应变三、最大应变与主应变(3(3）58Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析解：解： 由应变转轴公式由应变转轴公式例例: 已测得已测得 求求 ， 与与联立求解上述三个方程，得：联立求解上述三个方程，得：59Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析2版版8-88-108-11请用坐标纸作图请用坐标纸作图作业作业3版版8-88-118-12a,b60Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析上一讲回顾上一讲回顾1.三向应力的极值应力三向应力的

30、极值应力2.绘制三向应力圆绘制三向应力圆61Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析3. 应力圆与应变圆对照应力圆与应变圆对照对应关系对应关系62Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析8-7 8-7 8-7 8-7 各向同性材料的应力、应变关系各向同性材料的应力、应变关系各向同性材料的应力、应变关系各向同性材料的应力、应变关系一、广义胡克定律（一、广义胡克定律（1）胡克的实验装置胡克的实验装置Robert Hooke (16351703)，英国科学，英国科学家。少时热爱制作活动玩具与画图，家。少时热爱制作活动玩具与画图，18岁在牛津基督教堂充当唱诗班指挥员，岁在牛

31、津基督教堂充当唱诗班指挥员，27岁获得工艺学硕士，之后致力于显微岁获得工艺学硕士，之后致力于显微术，术，29岁成为岁成为Gresham学院的几何学教学院的几何学教授。他一生中完成大量的实验、发明与授。他一生中完成大量的实验、发明与新仪器。其中著名成果包括：新仪器。其中著名成果包括：历史回顾（历史回顾（1）：）： 载荷大小与变形的关系；载荷大小与变形的关系；弹性能概念；弹性能概念；万有引力与惯性的概念；万有引力与惯性的概念；光的横向振动；光的横向振动；梁弯曲实验中纵向纤维的变形。梁弯曲实验中纵向纤维的变形。63Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析试弓定力图试弓定力图试弓定力图试

32、弓定力图东汉东汉东汉东汉一、广义胡克定律（一、广义胡克定律（2）历史回顾（历史回顾（2）：）：中国古代的相关科学成就与应用中国古代的相关科学成就与应用时间：时间：发展水平：力学知识的综合应发展水平：力学知识的综合应用（胡克定律，杠杆原理用（胡克定律，杠杆原理)遗憾：没有上升到科学理论遗憾：没有上升到科学理论64Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析一、广义胡克定律（一、广义胡克定律（3）单向拉伸：单向拉伸：复杂应力状态：复杂应力状态：为什么？为什么？如何分析？如何分析？65Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析xy xyxxxyyy研究方法：利用叠加原理，研究方

33、法：利用叠加原理，由单向受力和纯剪状态的由单向受力和纯剪状态的胡克定胡克定律律推导复杂应力状推导复杂应力状态的广义胡克定态的广义胡克定律律。xxyy=+66Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析xxxyyy讨论：讨论：对于平面应力微体对于平面应力微体67Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 平面应力状态的广义胡克定律平面应力状态的广义胡克定律 三向应力状态的广义胡克定律三向应力状态的广义胡克定律 以上结果成立的条件：以上结果成立的条件：各向同性材料；各向同性材料；线弹性范围内；线弹性范围内；小变形小变形. .或或68Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应

34、变状态分析zyx123二、主应力与主应变的关系二、主应力与主应变的关系1 2 369Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析yx45 45yx -45 各向同性材料弹性常数之间的关系：各向同性材料弹性常数之间的关系：弹性常数：弹性常数：E，G， 相互独立？相互独立？已知已知： x=0； y=0； xy= , xy= /GoR=x45-4570Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析单向受力单向受力一、回顾：应变能密度的概念：一、回顾：应变能密度的概念：单向受力应变能密度单向受力应变能密度单向受力体应变能：单向受力体应变能：8-8 8-8 8-8 8-8 复杂应力状态

35、下的应变能复杂应力状态下的应变能复杂应力状态下的应变能复杂应力状态下的应变能单位体积内的应变能，单位体积内的应变能，71Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析二、二、 应变能密度应变能密度的一般表达式（的一般表达式（1 1）单向受力单向受力纯剪切纯剪切ydyxzdzdxxyz，dzdydx 单向受力与纯剪应力状态下的单向受力与纯剪应力状态下的应变能密度应变能密度72Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析123dxdydz三向应力状态下的应变能密度（对主应力微体）：三向应力状态下的应变能密度（对主应力微体）：广义胡克定律广义胡克定律应变能密度：应变能密度：对于非主

36、应力微体：对于非主应力微体：二、二、 应变能密度应变能密度的一般表达式（的一般表达式（2 2）73Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 1 2 3dxdydz(略去高阶小量略去高阶小量)1. 1. 体体应变应变( (微体的微体的体积变化率体积变化率) )三、三、 体应变与畸变体应变与畸变74Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 dxdydz dxdydz 2. 2. 体应变与畸变比较体应变与畸变比较畸变畸变发生畸变的主应力微体发生畸变的主应力微体体应变体应变75Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析平均应力平均应力应力偏量应力偏量 123av

37、avav1-av3-av2-av=+3. 3. 任意应力状态分解为平均应力与应力偏量任意应力状态分解为平均应力与应力偏量应力偏量的平均应力为零应力偏量的平均应力为零76Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 1 2 3dxdydz4. 平均应力与体应变关系平均应力与体应变关系由广义胡克定律由广义胡克定律77Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析avavav1-av3-av2-av体积改变能密度，即平均应力的应变能密度：体积改变能密度，即平均应力的应变能密度：畸变能密度畸变能密度总应变能密度：总应变能密度：令上式令上式注意到左边微体有注意到左边微体有四、四、 体积

38、改变能与畸变能密度体积改变能与畸变能密度78Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析1. 对于主平面微体，应变能密度对于主平面微体，应变能密度对于非主平面微体，应变能密度是否为对于非主平面微体，应变能密度是否为2. 对于主平面微体，平均应力对于主平面微体，平均应力 对于非主平面微体，平均应力是否为对于非主平面微体，平均应力是否为思考题：思考题：79Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析答：答：不等于，漏了剪切应变能。不等于，漏了剪切应变能。1. 对于非主平面微体，应变能密度是否等于对于非主平面微体，应变能密度是否等于 2. 对于非主平面微体，对于非主平面微体，平均

39、应力是否等于平均应力是否等于o x xD y yE EC( x+ y)/2 H H2 2 2 2 0 0 0 02 2 2 2 H H ( ( , , ) ) H HF( ( x- y)/2答：答：等于。等于。2倍倍 轴圆心坐标，轴圆心坐标，3维情形根据转轴公式证维情形根据转轴公式证80Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析xyxxxyyynyxdAxy本章内容回顾本章内容回顾平面应力转轴公式于平面应变转轴公式（物理含义不同）平面应力转轴公式于平面应变转轴公式（物理含义不同） 81Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析平面应力转轴公式与平面应变转轴公式（数学上一

40、一对应）平面应力转轴公式与平面应变转轴公式（数学上一一对应） 平面应变转轴公式：平面应变转轴公式： 平面应力转轴公式：平面应力转轴公式：对应关系对应关系82Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 应力圆与应变圆对照应力圆与应变圆对照应力圆的画法：应力圆的画法：确定确定x面和面和y面的应力坐标点面的应力坐标点D、E 以以DE为直径作应力圆。为直径作应力圆。应变圆的画法：应变圆的画法：自行补充自行补充 重点应力圆重点应力圆83Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 平面应力状态的应力圆、极值应力与主应力平面应力状态的应力圆、极值应力与主应力84Page第八章第八章

41、应力应变状态分析应力应变状态分析最大与最小应变最大与最小应变 平面应变状态的应力圆、极值应变与主应变平面应变状态的应力圆、极值应变与主应变一点的三主应变一点的三主应变方位方位两两互垂两两互垂主应变主应变 1 1 2 2 3 3对于一个各向同性材料，应力主平面与应变主平面重合对于一个各向同性材料，应力主平面与应变主平面重合85Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析任意斜截面的应力值位于三向任意斜截面的应力值位于三向应力圆的阴影区内应力圆的阴影区内 三向应力圆三向应力圆最大应力与主应力最大应力与主应力86Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 三向应力状态的广义胡克

42、定律三向应力状态的广义胡克定律 各向同性材料弹性常数之间的关系：各向同性材料弹性常数之间的关系：87Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析avavav1-av3-av2-av体积改变能密度，即平均应力的应变能密度：体积改变能密度，即平均应力的应变能密度：畸变能密度畸变能密度总应变能密度：总应变能密度： 总应变能密度总应变能密度= =体积改变能体积改变能+ +畸变能密度畸变能密度88Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析例例: (8-21) 测得构件表面测得构件表面求求: 分析：分析：构件表面处于什么应力状态？构件表面处于什么应力状态？解题步骤：解题步骤： 2.

43、由广义胡克定律计算由广义胡克定律计算1. 由应变转轴公式计算由应变转轴公式计算 习题解析习题解析89Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析解：解：1. 由应变转轴计算由应变转轴计算90Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析解：解： 2. 由广义胡克定律计算由广义胡克定律计算91Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析例例: 刚性块刚性块D=5.001cm凹座，内放凹座，内放d=5cm刚性刚性圆柱体，圆柱体，F=300kN, E=200GPa, ,无摩擦，无摩擦，求圆柱体主应力。求圆柱体主应力。解：解：设圆柱体胀满凹座设圆柱体胀满凹座问题：问题：如果

44、如果 和和 计算结果为正，怎样处计算结果为正，怎样处理？理？由对称性，可设由对称性，可设由广义胡克定律由广义胡克定律92Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析93Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析例：例：如右图所示，已知如右图所示，已知 160MPa160MPa， 40 40 MPaMPa，薄板，薄板( (厚度厚度t t10mm)10mm)上画有一半径上画有一半径R R100mm100mm的圆。的圆。试：试： （1）求应变）求应变 x, y , z OR(2) 求求 30, , 30/120 （沿与（沿与x x轴成轴成3030o o和和120120o o方向

45、）方向）(3)计算板厚改变量计算板厚改变量 t, 圆面积改变量圆面积改变量 A(4) 若板上画有与圆面积相等得任意形状图形若板上画有与圆面积相等得任意形状图形, 求此图形变形后的面积变化求此图形变形后的面积变化94Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析OR根据广义胡克定律：根据广义胡克定律：解：解： （1）求应变）求应变 x, y , z95Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析解解:（i）由应变转轴公式）由应变转轴公式 （单位：（单位：MPa）(2) 坐标系转动坐标系转动30o，求，求 30, , 30/120 思考：能否不用应变转轴公式计算思考：能否不用应变

46、转轴公式计算 30, 30/120 96Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析然后由广义胡克定律然后由广义胡克定律(2) 坐标系转动坐标系转动30o，求，求 30, , 30/120 解：解：（ii）由应力转轴公式由应力转轴公式（应力单位：（应力单位：MPa）97Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析OR t= zt=-1.5 10-4 10=-1.5 10-3 mm所画圆变形后成为椭圆所画圆变形后成为椭圆, 长短半长短半轴轴a,b分别为分别为a=(1+ x)R, b=(1+ y)R, A圆圆= ab - R2 ( x + y) R2 = (8.5 10-4 -

47、4 10-4 ) 100 =14mm2 O(3) 计算板厚改变量计算板厚改变量 t, 圆面积改变量圆面积改变量 A解：解：板厚改变量板厚改变量思考思考: 如何求任意形状区域面积改变量如何求任意形状区域面积改变量?98Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析(4) 若板上画有与圆面积相等得任意形若板上画有与圆面积相等得任意形状图形状图形, 求此图形变形后得面积变化求此图形变形后得面积变化OdA解：解：考虑微面积考虑微面积dA在加载后在加载后的改变量的改变量 dA= ( x + y) dA所以总的面积改变量为所以总的面积改变量为:思考思考: 如何求任意区域体积如何求任意区域体积改变量

48、改变量?99Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析(5)计算计算 max, max 1, 1 2, 2解：解：对于各向同性板，沿平行对于各向同性板，沿平行于于X,Y,Z坐标系轴截出的微体坐标系轴截出的微体为主应力微体为主应力微体,又为主应变微又为主应变微体体思考题思考题:(i)如果如果 y也为正值也为正值, max如何计算如何计算?所在所在面面方位如何方位如何?(ii)自行总结本例题对应的平面应变问自行总结本例题对应的平面应变问题题 max= 1= x=8.5 10-4 max= x- y=12.5 10-4100Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析2版版8-

49、168-208-22作业作业3版与版与2版相同版相同8-168-208-22101Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析“虎虎”式武装侦察直升机式武装侦察直升机 NH90中型运输直升机中型运输直升机 复合材料已经大量用于制造飞机的零部件复合材料已经大量用于制造飞机的零部件8-9 8-9 8-9 8-9 复合材料的应力、应变关系复合材料的应力、应变关系复合材料的应力、应变关系复合材料的应力、应变关系102Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析首首个全尺寸复合材料整体机身段个全尺寸复合材料整体机身段( (波音波音) )TAG-M65、TAG-M80 战术航宇集团战术

50、航宇集团(TAG)(TAG) 复合材料钢筋复合材料钢筋103Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析复复合合材材料料制制造造的的体体育育用用品品 104Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析105Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析106Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析107Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析108Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 复合材料的定义：复合材料的定义：由两种或两种以上材料在由两种或两种以上材料在宏观尺度宏观尺度上组成的上组成的材料材料。 复合材料的基本特点

51、复合材料的基本特点：1 1、通常由基体材料和增强材料组成；、通常由基体材料和增强材料组成；3 3、宏观上呈现各向异性。、宏观上呈现各向异性。2 2、不同组分材料之间有明显的界面；、不同组分材料之间有明显的界面；109Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析 复合材料的力学性能特点：复合材料的力学性能特点：1 1、比强度、比刚度大：、比强度、比刚度大：2 2、可设计性好：、可设计性好：复合材料的性能可以随组分材料的组合方式的改变而改变。复合材料的性能可以随组分材料的组合方式的改变而改变。3 3、抗疲劳性能好：、抗疲劳性能好：4 4、复合材料的力学性能分散性较大：、复合材料的力学性能

52、分散性较大：单向复合材料拉伸疲劳极限一般可达单向复合材料拉伸疲劳极限一般可达( (40%70%) b b金属材料拉伸疲劳极限一般为金属材料拉伸疲劳极限一般为( (30%50%) b b5 5、复合材料的层间剪切强度差，容易产生分层：、复合材料的层间剪切强度差，容易产生分层：110Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析13 32一、一、 纤维增强纤维增强复合材料的正轴应力、应变关系复合材料的正轴应力、应变关系材料的材料的主轴：主轴：沿纤维纵向，纤维横向的坐标沿纤维纵向，纤维横向的坐标轴以及在此坐标系下的另外一轴以及在此坐标系下的另外一根坐标轴。根坐标轴。轴轴1 1、轴、轴2 2和

53、轴和轴3 3为材料的主轴。为材料的主轴。 研究所有应力均位于轴研究所有应力均位于轴1 1、2 2坐标坐标平面时的平面应力问题平面时的平面应力问题: :21112212应力应变关系应力应变关系 ？111Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析21 12 分析方法分析方法叠加法叠加法21111222E1与与 12纵向弹性模量纵向弹性模量 与与纵向泊松比纵向泊松比E2与与 21横向弹性模量横向弹性模量 与与横向泊松比横向泊松比G12纵向切变模量纵向切变模量 112Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析可以证明：可以证明：113Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应

54、变状态分析 所有应力均作用于所有应力均作用于正轴正轴坐标平面时的三向应力状态坐标平面时的三向应力状态: :114Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析二、二、 纤维增强纤维增强复合材料的偏轴应力、应变关系复合材料的偏轴应力、应变关系xyox21y12 12应力转换：应力转换： 1 ， 2 ， 12 用用 x ， y ， xy 表示；表示；应变转换：应变转换： 1 ， 2 ， 12 用用 x ， y ， xy 表示；表示；115Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析xx xy三、三、 各向异性与拉剪耦合：各向异性与拉剪耦合： S16与与S26 均不为零均不为零 拉伸与剪切之间存在耦合拉伸与剪切之间存在耦合 S11, S22与与S66 和角度相关和角度相关116Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析xx 应力主轴与应变主轴不重合：应力主轴与应变主轴不重合：x 截面为应力主平面；截面为应力主平面； 弹性常数具有方向性：弹性常数具有方向性：xxxxS11与与S66均与主轴均与主轴的方位角的方位角 有关有关但不为应变主平面。但不为应变主平面。117Page第八章第八章 应力应变状态分析应力应变状态分析谢谢谢谢118Page