期望效用理论课件

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1、 第第1章章 期望效用理论期望效用理论杜杜 晓晓 蓉蓉金融工程系金融工程系教学计划教学计划（一）教学大纲（一）教学大纲期望效用理论方面的文献综述期望效用理论方面的文献综述l期望效用理论期望效用理论l个体风险态度个体风险态度资产定价方面的文献综述资产定价方面的文献综述l经典资产定价理论及其发展经典资产定价理论及其发展l有效市场假说有效市场假说教学计划教学计划公司财务方面的文献综述公司财务方面的文献综述l资本结构之谜资本结构之谜l公司治理公司治理教学计划教学计划 （二）教材及参考文献（二）教材及参考文献陈雨露，汪昌云雨露，汪昌云. 金融学文献通金融学文献通论（微（微观金融卷）金融卷）. 中国人中国

2、人民大学出版社，民大学出版社，2006年年参考文献参考文献 经典典论文（具体文（具体见各章各章PPT附附录） 教学计划教学计划（三）教学方式（三）教学方式专题讲授课堂报告、讨论专题讲授课堂报告、讨论（四）考核方法（四）考核方法平平时成成绩（课堂堂报告、告、讨论、作、作业、出勤）：、出勤）：40期末成期末成绩（课程程论文）：文）：60 （五）（五）联系方式：系方式： 教学计划教学计划课堂堂讨论的的拟定定题目：目： 1、CAPM的缺陷文献的缺陷文献综述述 2、关于、关于APT与与CAPM关系研究的文献关系研究的文献综述述 3、股票价格决定因素、股票价格决定因素 4、梳理中国、梳理中国证券市券市场有

3、效性有效性实证检验的文献的文献 5、债权期限期限结构影响因素的文献构影响因素的文献综述述 6、资本本结构之构之谜的文献的文献综述述 7、 亚洲家族控股企洲家族控股企业的的优缺点，及家族控股如何影响缺点，及家族控股如何影响公司价公司价值 8、中国上市公司不同的股、中国上市公司不同的股权结构与公司价构与公司价值之之间的关系的关系文献文献综述。述。 一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 主流经济学主流经济学新古典理性对新古典理性对消费者的基本假定消费者的基本假定：消：消费者具有良好的偏好或效用函数，追求效用最大化。费者具有良好的偏好或效用函数，追求效用最大化。 满足这一假定的消费者，叫做

4、满足这一假定的消费者，叫做理性消费者理性消费者。一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数（一）消费集合及其特点（一）消费集合及其特点 消费集合：消费集合：商品空商品空间中那些代表可行消中那些代表可行消费活活动的商品的商品向量的全体向量的全体（用（用C表示）。表示）。 1、闭集集 C为闭集集，因此，因此消费具有消费具有连续性连续性 一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 2、凸集、凸集 如果如果 ，在，在S中中任取两点，其任取两点，其连线仍在仍在S中，中，则S为凸集。凸集。 对消消费集合集合C为凸集凸集的意思是，如果两个消的意思是，如果两个消费束束 ，则对于任于任意意实数数 ，

5、消，消费束束一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数非凸非凸一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 消费集合为凸性的经济学含义：凸性明确指出从一种消费集合为凸性的经济学含义：凸性明确指出从一种可行方案过渡到另一种可行方案的可行方案过渡到另一种可行方案的最短路径最短路径。 例如：例如：面临选择为面临选择为 4两米两米饭 vs 4两两馒头一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 （二）偏好及其基本假定（二）偏好及其基本假定 效用：效用：消费者消费一定数量的若干商品后所感消费者消费一定数量的若干商品后所感受到的满足程度。受到的

6、满足程度。 效用是一种纯主观的心理感受，因人因时而异。效用是一种纯主观的心理感受，因人因时而异。 效用与偏好联系在一起。效用与偏好联系在一起。偏好偏好正是消费者对效用进行正是消费者对效用进行自我比较后得出的关于各种消费方案好坏的评价自我比较后得出的关于各种消费方案好坏的评价。 cardinal utility vs. ordinal utility一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数1、消、消费者的偏好关系者的偏好关系 定义定义1 偏好偏好（preference): A preference is a complete ranking of pairs of consumption

7、 (cash flow) streams. 定义定义2 二元关系二元关系(binary relations) ：一个集合上一个集合上的二元关系是确定的二元关系是确定这个集合中两元素之个集合中两元素之间的一种的一种联系。系。 定义定义3 偏好关系偏好关系(preference relationship) ：具有具有完完备性、自反性、性、自反性、传递性的一个二元关系性的一个二元关系 一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 令令x、y、z是是商品集合商品集合C的子集，或者称之的子集，或者称之为商品商品束束（commodity bundle）或者或者消费束消费束（consume boundl

8、e）。则可以在消可以在消费束的集合上建立下面的束的集合上建立下面的偏好偏好关系关系（preference relation）或者或者偏好顺序偏好顺序（preference ordering） ： （1） 被称被称为消消费者在商品者在商品x、y中，中，“弱偏好于弱偏好于”x，即消，即消费者者认为x至少与至少与y一一样好。好。一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 （2） 被称被称为消消费者者“严格偏好于严格偏好于”x，即在任即在任何情况下，消何情况下，消费者者认为x比比y好，即：好，即： ，但，但 不成立不成立 （3）x y 被称被称为消消费者者“无差异于无差异于”商品商品x、y，即消

9、即消费者者认为两两样东西同西同样好，即：好，即： x y 且且 一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 2、偏好、偏好应满足的基本公理（足的基本公理（Axiom)条件：条件：l公理公理1 1 偏好具有偏好具有完备性完备性（completeness）：）： 有有 、 与与 x y 至少一个成立。至少一个成立。l公理公理2 2 偏好有偏好有自反性自反性（reflexivity）：）： ，有，有 。l公理公理3 3 偏好具有偏好具有传递性传递性(transitivity)： ，如果，如果 ， ，则 。有序有序确定序确定序非循环序非循环序例例5 5 不服从传递性公理将导致富翁变穷人的例子不服

10、从传递性公理将导致富翁变穷人的例子张三是穷人，李四是富翁；张三只有一个苹果，而李四不但有张三是穷人，李四是富翁；张三只有一个苹果，而李四不但有一个桃子，还有一个梨子；但李四的偏好不传递，他认为，一个桃子，还有一个梨子；但李四的偏好不传递，他认为，桃比苹桃比苹果好，苹果比梨好果好，苹果比梨好，梨比桃好梨比桃好。(1)(1)张三提出用苹果换梨子，并要求李四张三提出用苹果换梨子，并要求李四找一分钱。仅花一分钱就能换来更大找一分钱。仅花一分钱就能换来更大的满足，李四不会不答应，成交！的满足，李四不会不答应，成交！(2)(2)张三提出用梨子换桃子，并要求李四张三提出用梨子换桃子，并要求李四找一分钱，李四

11、还会答应，成交！找一分钱，李四还会答应，成交！(3)(3)张三提出用桃子换苹果，并要求李四张三提出用桃子换苹果，并要求李四找一分钱，李四依然同意，成交！找一分钱，李四依然同意，成交！交换一直循环进行下去，李四变成穷光蛋，张三变成富翁。显交换一直循环进行下去，李四变成穷光蛋，张三变成富翁。显然，这样的事情不可能发生在理性消费者身上。然，这样的事情不可能发生在理性消费者身上。梨梨桃桃李四的不传递的偏好李四的不传递的偏好苹果苹果Money pump一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 注：注：若一个二元关系同时满足公理若一个二元关系同时满足公理1-3，则称此二元关则称此二元关系为系为等价

12、关系等价关系（equivalence relation) )或或无差异关系无差异关系。这样。这样可以将有等价关系的东西放在一起，得到无差异曲线。可以将有等价关系的东西放在一起，得到无差异曲线。即即对于于 x C，集合，集合 x=y C: y x 称作称作 x 的的等价类等价类或者或者无差无差异类异类或者或者无差异曲线无差异曲线，它由两两无差异，它由两两无差异( (一样好一样好) )的消费方案的消费方案构成。构成。 例如：例如：一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 （三）效用函数的存在性和唯一性三）效用函数的存在性和唯一性 定义：定义：假假设是是 定定义在在X上的一个正上的一个正实数

13、数值函函数，如果数，如果对于于C中的任意两个商品中的任意两个商品组合合x，y， 的的充分必要条件是充分必要条件是 ，那么就，那么就称函数称函数 是是消费者的消费者的效用函数效用函数。 注：注：但是仅在前面三个理性偏好的假定下，这样但是仅在前面三个理性偏好的假定下，这样的效用函数是不一定存在的，例如的效用函数是不一定存在的，例如字典序偏好字典序偏好。一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数衣衣食食ABx字典序偏好字典序偏好一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数l公理公理4 4 偏好具有偏好具有连续性连续性（continuity） ： 如果如果 ，那么与，那么与x“充分接近的充分

14、接近的”商品商品组合合z，也也满足足 。 微小变动的序微小变动的序一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 定理：定理：如果消如果消费者的偏好关系者的偏好关系满足公理足公理14的假定，的假定，那么那么这一偏好关系可以由一个一偏好关系可以由一个连续的连续的效用函数来表示，效用函数来表示，即可以得到一个即可以得到一个连续的无差异曲的无差异曲线。 注意：注意：这里得到的效用函数并不唯一，一个效用函这里得到的效用函数并不唯一，一个效用函数通过数通过正单调正单调的变换得到的另一个效用函数与原来的效的变换得到的另一个效用函数与原来的效用函数具有相同的偏好关系。即用函数具有相同的偏好关系。即l公理公

15、理5 5 偏好关系具有偏好关系具有单调性单调性（monotonicity） ： ，如果有，如果有 ，则有有 。 强单调性强单调性 ： ， 例如例如： 1 0 0 1 Time 0 1 Time 多总比少好多总比少好一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数l公理公理6 偏好具有偏好具有凸性凸性（convexity） 严格凸性严格凸性（strict convexity） 其中，其中， 无差异曲线凸无差异曲线凸向原点向原点（四）确定条件下消四）确定条件下消费者效用最大化者效用最大化 max(u), s.t.W 其中其中W是由收入或是由收入或财富

16、构成的富构成的预算算约束，包含收入和束，包含收入和商品价格等方面的要素。假定消商品价格等方面的要素。假定消费集集C中的所有商品都具中的所有商品都具有一个唯一的公开市有一个唯一的公开市场价格：价格： 这通常被称通常被称为瓦尔拉预算集瓦尔拉预算集（walrasian budget set） ，记为： 则最大化问题为：则最大化问题为：一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数消费者效用最大化的解法消费者效用最大化的解法 1、图示法：无差异曲线与预算线的最高切点图示法：无差异曲线与预算线的最高切点 x1 x*1 x*2 x2一、确定条件下的效用函

17、数一、确定条件下的效用函数 2、Lagrangian法法 假定：（假定：（1）消）消费者只消者只消费两种不同商品两种不同商品x1、x2，其，其效用函数效用函数为U（x1.x2)，满足：足： （非（非满足性），足性）， （边际效效 用用递减）。减）。 （2）假定）假定x1、x2的价格分的价格分别为p1、p2，且价格是且价格是外生外生给定的，消定的，消费者的者的财富富为w。 消消费者的者的选择问题可以写成如下：可以写成如下： 一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 Lagrangian函数函数为： F.O.C. 由假定，由假定，U的二的二阶偏偏导小于零，因此一小于零，因此一阶条件是充要条

18、件是充要条件。条件。一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数结论：结论： （边际替代率（边际替代率=价格比）价格比） （无差异曲线斜率（无差异曲线斜率=预算约束线斜率）预算约束线斜率） 常见效用函数的形式：常见效用函数的形式： 完全完全替代替代偏好的效用函数：偏好的效用函数：U（x,y）=ax+by 完全完全互补互补偏好的效用函数：偏好的效用函数：U（x,y）=minax,by 拟线性偏好的效用函数：拟线性偏好的效用函数：U（x,y）=af(x)+by 例如：例如： U（x,y）=2ln(x)+y一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 柯布柯布-道格拉斯偏好的效用函数：道格拉

19、斯偏好的效用函数： 练习：练习：求解如下柯布求解如下柯布-道格拉斯偏好效用函数道格拉斯偏好效用函数 （1） （2）一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数 解：将（解：将（2）式）式带入（入（1）式可得：）式可得： 求一求一阶导数：数： 可得：可得： 一、确定条件下的效用函数一、确定条件下的效用函数（一）不确定性下的理性决策原则一）不确定性下的理性决策原则 1、确定性确定性下的决策原则下的决策原则收益最大准则收益最大准则 收益最大准则广泛应用于收益最大准则广泛应用于完全没有风险完全没有风险的情况下。按的情况下。按照这一法则，只需选取照这一法则，只需选取收益率最高收益率最高的投资机会即可

20、。通过的投资机会即可。通过正确的选择，可以实现投资期末的财富最大化。正确的选择，可以实现投资期末的财富最大化。 经济学中的生产者理论和价值理论使用这一准经济学中的生产者理论和价值理论使用这一准则。则。二、二、VNM期望效用函数期望效用函数二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 问题：不确定条件下效用最大化还适用吗？问题：不确定条件下效用最大化还适用吗？ 例例子子 假假设某人面某人面临两种工作，需要从中两种工作，需要从中选择出一种。出一种。第一种工作是在私第一种工作是在私营公司里搞推公司里搞推销，薪金，薪金较高，但是收入高，但是收入是不确定的。如果干得好，每月可是不确定的。如果干得好，每月可挣得

21、得2000元；干得一般，元；干得一般，每月就只能每月就只能挣得得1000元。假定他元。假定他挣得得2000元和元和挣得得1000元元的概率各的概率各为1/2。第二种工作是在国。第二种工作是在国营商店当售商店当售货员，每月，每月工工资1510元。但在国元。但在国营商店商店营业状况极差的情况下，每月状况极差的情况下，每月就只能得到就只能得到510元的基本工元的基本工资收入。不收入。不过，一般情况下国，一般情况下国营商店商店营业状况不会极差，出状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能状况极差情况的可能性只有性只有1，因此第二种工作，因此第二种工作获得月收入得月收入1510元的可能性元的可能性为99。

22、二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 2、不确定性下理性决策的原、不确定性下理性决策的原则 （1）数学期望最大化准）数学期望最大化准则 数学期望最大化准数学期望最大化准则是指使用投是指使用投资收益的收益的预期期值比比较各各种投种投资方案方案优劣。劣。 上例的解：上例的解： 计算这两种工作的预期月收入：计算这两种工作的预期月收入： 二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 计算这两种工作月收入的方差计算这两种工作月收入的方差 这个人会选择哪一种工作呢这个人会选择哪一种工作呢？二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 如果第一种工作在如果第一种工作在“干得好干得好”和和“干得一般干得一般”两种情况下

23、两种情况下的月收入都比上面所述的收入要增加的月收入都比上面所述的收入要增加100元，第二种工作的元，第二种工作的收入情况收入情况还是如上，是如上，则: 在在这种种预期收入不同、期收入不同、风险不同的不同的(工作工作)选择面前，人面前，人们究竟如何究竟如何选择呢？呢？ 问题：是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法问题：是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法则呢则呢？ 典型例子：典型例子：“圣彼德堡悖论圣彼德堡悖论”（Saint Petersburg Paradox）问题问题： 有这样一场赌博：掷硬币直到正面朝上为止。第一次有这样一场赌博：掷硬币直到正面朝上为止。第一次就得到正面朝上的结果，则

24、赢得就得到正面朝上的结果，则赢得1 1元，第二次得到正面朝元，第二次得到正面朝上的结果，赢得上的结果，赢得2 2元；第三次时，得元；第三次时，得4 4元，元，.。一般情。一般情形为如果掷形为如果掷n n次，则第次，则第 n n 次赢得次赢得 2 2 的的 n-1 n-1 次方元。问：次方元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平公平”的？的？ 二、二、VNM期望效用函数期望效用函数二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 试验表明为了参加这一游戏，人们愿意付出的金额在试验表明为了参加这一游戏，人们愿意付出的金额在2-32-3元之间。元之间。 圣彼德堡悖论：人们愿意

25、支付有限的价格与其无穷的圣彼德堡悖论：人们愿意支付有限的价格与其无穷的数学期望收益之间的矛盾。数学期望收益之间的矛盾。 （2）期望效用准则）期望效用准则 Daniel Bernoulli （1700-1782)1738 年年发表表对机遇性机遇性赌博的博的分析提出解决分析提出解决“圣彼德堡悖圣彼德堡悖论”的的“风险度量新理度量新理论”。指出用。指出用“钱的数的数学期望学期望”来作来作为决策函数不妥。决策函数不妥。应该用用“钱的函数的数学期望的函数的数学期望”。 Bernoulli用期望效用作为最大用期望效用作为最大化的目标，假设投资者关心的是期化的目标，假设投资者关心的是期末财富的效用，从而成功

26、解决了圣末财富的效用，从而成功解决了圣彼得堡悖论问题。彼得堡悖论问题。二、二、VNM期望效用函数期望效用函数二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 伯努利伯努利选择的期望效用函数的期望效用函数为对数函数，即用数函数，即用alog(x) 表示效用函数，表示效用函数，x表示表示财富。富。则对投投币游游戏的期的期望望值的的计算算应为对其其对数函数期望数函数期望值的的计算：算： 其中，其中， 为一个确定值。为一个确定值。 二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 因此，理性个人为参加该抽奖活动所愿意支付的最因此，理性个人为参加该抽奖活动所愿意支付的最大价格大价格 可以由下列方程解出：可以由下列方程解出：

27、 变形得：变形得： 所以所以“理性决策应以理性决策应以4元为界元为界”。二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 Crammer（1728）采用）采用幂函数的形式的效用函数对这函数的形式的效用函数对这一问题进行了分析。假定：一问题进行了分析。假定： 则则 因此，理性人参加该抽奖所愿意支付的最大价格因此，理性人参加该抽奖所愿意支付的最大价格 可由可由下列方程解出：下列方程解出： 可得意愿支付价格为：可得意愿支付价格为： （二）不确定条件下的选择问题及其对象二）不确定条件下的选择问题及其对象 1、概述、概述 金融分析面金融分析面临的不确定一般是用的不确定一般是用随机过程随机过程来描述来描述的，将金融

28、的，将金融资产的价格或收益的的价格或收益的变动作作为随机随机变量来量来分析。分析。 随机随机变量有两个要素：一是各种可能的量有两个要素：一是各种可能的结果，即果，即可能的取可能的取值；二是各种可能的；二是各种可能的结果出果出现的概率，即随的概率，即随机机变量量值的概率分布。的概率分布。 金融分析的不确定性就包括两个方面：一是金融分析的不确定性就包括两个方面：一是结果果的不确定性；二是达到各的不确定性；二是达到各类结果的概率。果的概率。二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 （1）关于可能的结果关于可能的结果 金融资产本身的性质；金融资产本身的性质； 市场条件；市场条件； 主体约束条件；主体约束

29、条件； 宏观经济及自然条件宏观经济及自然条件 金融学把不同的可能结果转化为博彩商品及其状金融学把不同的可能结果转化为博彩商品及其状态价格来赋予效用态价格来赋予效用 二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 （2）关于可能）关于可能结果果发生的概率生的概率 客观概率客观概率（objective probability）：）：在一定条件在一定条件下，某一随机事件在大量重复的下，某一随机事件在大量重复的试验和和统计观察中出察中出现的的频率。率。 特点特点:l 稳定性依赖于大数法则；稳定性依赖于大数法则；l 忽视小概率事件忽视小概率事件 二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 主观概率主观概率（subj

30、ective probability） ：人：人们对某一某一随机事件可能出随机事件可能出现的的频率所做的主率所做的主观估估计，这个频率就被个频率就被称为是主观概率。包括称为是主观概率。包括先验概率先验概率和和后验概率后验概率 例如：例如：贝叶斯定理（法则）贝叶斯定理（法则） 特点：特点：l 与决策者的知识结构、心理状态等有关；与决策者的知识结构、心理状态等有关；l 稳定性不高；稳定性不高；l 重视小概率事件，特定信息具有重要意义重视小概率事件，特定信息具有重要意义三、三、VNM期望效用函数期望效用函数 2、不确定下的、不确定下的选择对象：彩票（象：彩票（Lottery)或未定商或未定商品（品（

31、contingent commodity) 投投资者的者的证券券组合合选择抽抽奖lottery (1)简单抽抽奖 设想消想消费者参加一次抽者参加一次抽奖（lottery），），C中的元素中的元素为所有可能各种所有可能各种奖金数金数额，假定，假定C的的结果是有限的。我果是有限的。我们用用N=1，n来来标示示这些些结果，每一果，每一结果果发生的概率生的概率为 。这样，我，我们可将可将该简单抽奖简单抽奖（simple lottery）记为： 在一个简单博彩中，可能出现的结果是确定的在一个简单博彩中，可能出现的结果是确定的二、二、VNM期望效用函数期望效用函数三、三、VNM期望效用函数期望效用函数 （

32、2）复合抽复合抽奖（compound lottery） 给定定K个个简单抽抽奖 ，它，它们的概率的概率为 并且并且 。复合式博彩。复合式博彩 就是就是这样一种一种风险选择，即，即对于于k=1,.,K, 由由 的概率的概率引引发一个一个简单抽抽奖Lk 三、三、VNM期望效用函数期望效用函数 定义：定义：一个一个复合抽复合抽奖是把是把K个个简单抽抽奖中每一个中每一个结果果i的概率的概率 都乘以每一个都乘以每一个简单抽抽奖k的概率，然后将它的概率，然后将它们加加总起来。起来。 复合抽彩的预期效用等于其中各抽彩复合抽彩的预期效用等于其中各抽彩的预期效用的预期效用。的预期效用的预期效用。 （3）期望效用

33、表述：）期望效用表述： 如果把如果把n个个结果果赋给一一组数数(u1,.,un)，C R有期有期望效用形式，那么望效用形式，那么对每个每个简单博彩博彩L=(p1,.,pn) C。对对一件抽奖商品的期望效用表示为对抽奖结果的效用函数一件抽奖商品的期望效用表示为对抽奖结果的效用函数的数学期望的数学期望: 其中，其中， 是普通序数效用函数，是普通序数效用函数， 是是VNM效用函数。效用函数。 三、三、VNM期望效用函数期望效用函数 更一般地，我们可以表述为：更一般地，我们可以表述为： 其中，其中， 是一个随机变量。其含义为：一是一个随机变量。其含义为：一种未定商品的效用等于该未定商品所涉及的确定商品

34、种未定商品的效用等于该未定商品所涉及的确定商品的效用的均值。的效用的均值。 二、二、VNM期望效用函数期望效用函数二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 （三）不确定条件下关于偏好的公理假定三）不确定条件下关于偏好的公理假定 假定彩票构成的集合假定彩票构成的集合为Y，彩票的可能，彩票的可能结果构成的果构成的集合集合为L。消。消费者可以依照自身的者可以依照自身的爱好好对Y中所有的彩票中所有的彩票进行排序，即在彩票行排序，即在彩票Y上定上定义了一个消了一个消费者的二元者的二元偏好关偏好关系。系。 通常假定偏好关系是理性的，即偏好关系满足以通常假定偏好关系是理性的，即偏好关系满足以下的公理假定：下的

35、公理假定： l 公理公理1 1 偏好具有偏好具有完备性完备性: ， ，有，有 与与 至少一个成立。至少一个成立。 l 公理公理2 2 偏好有偏好有自返性自返性： ，有，有 。 二、二、VNM期望效用函数期望效用函数l 公理公理3 3 偏好具有偏好具有传递性传递性，即，即对于于Y中任意商品中任意商品组合合 ， 和和 ，如果，如果 ， ，则 l 公理公理4 4 偏好具有偏好具有连续性连续性，即假，即假设定定义在在Y上的偏好关系，上的偏好关系，对于于Y中的任意彩票中的任意彩票组合合 ， 和和 ，若，若 ，则存在一个存在一个实数数t， ，满足足 该公理也称之公理也称之为阿基米德公理阿基米德公理（Arc

36、himedean axiom）,其含其含义：概率的微小变化不会改变原有的两个抽概率的微小变化不会改变原有的两个抽奖商品之间的顺序偏好奖商品之间的顺序偏好二、二、VNM期期望效用函数望效用函数二、二、VNM期望效用函数期望效用函数l 公理公理5 5 偏好具有偏好具有独立性独立性，即即对于于Y Y中的任意两个彩票中的任意两个彩票 、 ，有：，有： （1 1）若）若 ，那么，那么对任意的任意的实数数t t， ，及，及任意的任意的 , ,满足足 （2）若）若 ，那么，那么对任意的任意的实数数t， ，及任意，及任意的的 ,满足足 该公理也被称公理也被称为独立性公理独立性公理（independent ax

37、iom）或）或替替代性公理代性公理（substitute axiom） ，其含义：，其含义：引入一个额外的引入一个额外的不确定性的消费计划不会改变原有的偏好。不确定性的消费计划不会改变原有的偏好。 例子：例子：假假设明天有两种状明天有两种状态，天晴和下雨。考，天晴和下雨。考虑如下如下计划方案：划方案： C1：天晴在海：天晴在海滩玩玩4个小个小时，下雨就看，下雨就看4个小个小时电视 C2：天晴在海：天晴在海滩玩玩2个小个小时然后再看然后再看2个小个小时电视，下，下雨就看雨就看4个小个小时电视 假假设参与者的偏好参与者的偏好为 二、二、VNM期望效用函数期望效用函数二、二、VNM期期望效用函数望效

38、用函数 现在提供另外两个在提供另外两个选择： C3：天晴在海：天晴在海滩玩玩4个小个小时，下雨工作，下雨工作4个小个小时 C4：天晴在海：天晴在海滩玩玩2个小个小时然后再看然后再看2个小个小时电视，下，下雨就工作雨就工作4个小个小时 此此时，参与者会在，参与者会在C3和和C4中中选择哪一个？哪一个？ 独立性公理表明，参与者会选择独立性公理表明，参与者会选择C3。因为只要下雨时。因为只要下雨时两种计划的选择是相同的，那么下雨时具体发生什么对晴两种计划的选择是相同的，那么下雨时具体发生什么对晴天时的偏好没有影响。天时的偏好没有影响。二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 注：注：1、独立性公理是不

39、确定条件下决策理论的核心，独立性公理是不确定条件下决策理论的核心，它导致了不确定条件下的选择理论与确定条件下的选择理它导致了不确定条件下的选择理论与确定条件下的选择理论的差异。论的差异。 从假定前提看，在对博彩商品的偏好上，不确定条件从假定前提看，在对博彩商品的偏好上，不确定条件下的偏好假定公理用公理化假定取代了确定条件下偏好的下的偏好假定公理用公理化假定取代了确定条件下偏好的单调性假设和凸性假设。单调性假设和凸性假设。 2、独立性公理表明决策者对各种结果的选择是独立独立性公理表明决策者对各种结果的选择是独立进行的，以及不同的结果是可加的。进行的，以及不同的结果是可加的。 二、二、VNM期望效

40、用函数期望效用函数John von Neumann (1903-1957)Oskar Morgenstern (1902-1977) 1944 年在巨著年在巨著对策策论与与经济行行为中用数学公理中用数学公理化方法提出化方法提出期望效用函数期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风。这是经济学中首次严格定义风险险（四）期望效用函数（四）期望效用函数（expected utility function)的公理化表述的公理化表述 定理定理（冯.诺伊曼莫根斯坦伊曼莫根斯坦(VNM)定理）定理） ：在公理：在公理15的假定条件下，一定存在定的假定条件下，一定存在定义在集合在集合Y上的一个上的一个实值函数函

41、数u，满足下列条件：足下列条件： （1） ，当且，当且仅当当 （2）对任意的任意的 和和 ，并且并且 ，有，有 u(x)是确是确定性条件下也成立的普通序数效用函数定性条件下也成立的普通序数效用函数 则满足这样条件的效用函数就是期望效用函数或则满足这样条件的效用函数就是期望效用函数或VMN效效用函数，并且这样的期望效用函数是唯一的用函数，并且这样的期望效用函数是唯一的二、二、VNM期望效用函数期望效用函数客观概率客观概率二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 期望效用函数：期望效用函数：定义在一个随机变量集合上的函数，定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该

42、随机它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。变量上取值的数学期望。 用它来判断有风险的利益就是比较用它来判断有风险的利益就是比较“钱的函数的数学钱的函数的数学期望期望”（“而不是钱的数学期望而不是钱的数学期望”）。）。 二、二、VNM期望效用函数期望效用函数 例子：例子：若一个人的效用函数有期望效用的性质，那若一个人的效用函数有期望效用的性质，那么当他抛硬币决定得失一美元时么当他抛硬币决定得失一美元时，这个博彩的效用是，这个博彩的效用是 其中，其中，w是初始财富是初始财富 问题：问题：这是否意味着这是否意味着 =0? 答：不。我们实际上并没有定义结果的效用。答：

43、不。我们实际上并没有定义结果的效用。（一）（一） 阿莱斯悖论阿莱斯悖论（关于关于期望效用的悖论期望效用的悖论）：）： 对效用理效用理论最早的挑最早的挑战来自于来自于Allais的的“阿莱悖阿莱悖论论”（Allais Paradox)的的问题(1953)。三、期望效用准则的矛盾三、期望效用准则的矛盾（法）（法）Maurice Allais (1911-) 1986 年诺贝尔经济奖获得者年诺贝尔经济奖获得者 现有有A1，A2两个两个备选方案，其收益情况如下所示：方案，其收益情况如下所示： A1：确定地：确定地获取取100万的万的净收益；收益； A2：以：以0.1的概率的概率获取取500万的万的净收

44、益；以收益；以0.89的概率的概率获取取100万的万的净收益；以收益；以0.01的概率的概率获取取0 又有另外两个又有另外两个备选方案方案B1，B2，其收益情况，其收益情况为： B1：以：以0.1的概率的概率获取取500万万净收益；以收益；以0.9的概率的概率获取取0 B2：以：以0.11的概率的概率获取取100万万净收益；以收益；以0.89的概率的概率获取取0 三、期望效用准则的矛盾三、期望效用准则的矛盾 如果面临这样的双重选择，且你选择了如果面临这样的双重选择，且你选择了A1和和B1，你的偏好就和期望效用理论不一致。，你的偏好就和期望效用理论不一致。 理由：理由： 与与A2相比更偏好相比更

45、偏好A1，表示，表示A1的期望效用的期望效用严格大于格大于A2的期的期望效用，因此有：望效用，因此有： U(100)0.10U(500)+0.89U(100)+0.01U(0) (1)或或 0.11U(100)0.10U(500)+0.01U(0) (2) 三、期望效用准则的矛盾三、期望效用准则的矛盾三、期望效用准则的矛盾三、期望效用准则的矛盾 同理，与同理，与B2相比更偏好相比更偏好B1，表示，表示B1的期望效用的期望效用严格大于格大于B2，即，即为： 0.10U(500)+0.90U(0)0.11U(100)+0.89U(0) (3) 或或 0.11U(100)u(B)，因此，因此 C D，即，即u(C)u(D)，因此，因此 如此得到的两个不等式相互如此得到的两个不等式相互矛盾，这说明按照主观矛盾，这说明按照主观概率理论不可能有概率理论不可能有 且且 。然而事实却是如此，。然而事实却是如此，调查发现调查发现 且且 却是同时发生了。因此，主观却是同时发生了。因此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候。概率理论也有不切实际的地方和时候。 课堂讨论课堂讨论 股票市场指数熔断机制及其在我国运用时的注意事项股票市场指数熔断机制及其在我国运用时的注意事项