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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform教材：教材： 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 马柏林编，复旦大学出版社马柏林编，复旦大学出版社主要参考书主要参考书: 复变函数复变函数， 西安交大（第四版）西安交大（第四版） 积分变换积分变换， 东南大学（第四版）东南大学（第四版） .一、复变函数一、复变函数一、复变函数一、复变函数 我们以复数为自变量我们以复数为自变量的函数的函数复变函数，研究复变函数，研究其在复数域上的微积分，其在复数域上的微积
2、分，并以解析函数为中心内容。并以解析函数为中心内容。学习方法：要善于同实变函学习方法：要善于同实变函数进行比较、区别，特别要数进行比较、区别，特别要注意复变函数特有的那些性注意复变函数特有的那些性质与结果。质与结果。& 1. 1. 复数的概念及运算复数的概念及运算& 2. 2. 复数的表示方法复数的表示方法Ch1 Ch1 复数和复平面复数和复平面1 1 复复 数数 1. 在十六世纪中叶，在十六世纪中叶，时时引进了复数。他发现这个方程没有根，并引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程把这个方程的的两个根形式地表为两个根形式地表为 。在当时，。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什么
3、好处。事包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，实上， 复数被复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被引入后，在很长一段时间内不被人人随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟家所熟知的知的Euler公式公式, , 背景介绍背景介绍2. 直到十七与十八世纪直到十七与十八世纪，G. G. CardanoCardano (1501-1576) (1501-1576) 在研究一元二次方程在研究一元二次方程们所理睬，并被认
4、为是没有意义的，不能接受的们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数虚数”。复指数函数与三角函数之间的关系复指数函数与三角函数之间的关系。，揭示了，揭示了Gauss (德国德国1777-1855)与与Hamilton (爱尔兰爱尔兰1805-1865)定义复数定义复数 为一对有序数后，才消除人们对复数为一对有序数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，真实性的长久疑虑，“复变函数复变函数”这一数学分支这一数学分支到此到此才顺利地得到建立和发展。才顺利地得到建立和发展。3. 然而一直到然而一直到C.Wessel (挪威挪威.1745-1818)和和R.Argand(法国法国.1768-182
5、2）将复数用平面向量或点来表示，）将复数用平面向量或点来表示，以及以及 （1）复复数数 形形如如 ，其其中中x和和y是是实实数数，i是是虚虚单单位位( ), 称称为为复复数数。其其中中x和和y分分别别称称为为复复数数z的的实部和虚部实部和虚部，分别记作：，分别记作： 两个复数两个复数相等相等是指它们的实部与虚部分别相等。是指它们的实部与虚部分别相等。 如果如果Imz=0，则，则z可以看成一个可以看成一个实数实数； 如果如果Imz不等于零，那么称不等于零，那么称z为一个为一个虚数虚数； 如果如果Imz不等于零，而不等于零，而Rez=0，则称，则称z为一个为一个纯虚数。纯虚数。1. 复数的概念及运
6、算复数的概念及运算(2)复数的四则运算复数的四则运算 复数在四则运算这个复数在四则运算这个代数结构代数结构下，构成一个下，构成一个复数域复数域 (对对加加、减减、乘乘、除除运运算算封封闭闭），记记为为C，复复数数域域可可以以看成实数域的扩张。看成实数域的扩张。相当于代数中的多项运算相当于代数中的多项运算 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的的和、差、积、商为：和、差、积、商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)定义定义 若若z=x+iy , 称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数
7、.(conjugate)共轭复数的性质共轭复数的性质（3）共轭复数共轭复数& （1 1）点的表示点的表示& （2 2）向量表示法向量表示法& （3 3）三角表示法）三角表示法& （4 4）指数表示法）指数表示法2 复数的表示方法复数的表示方法（1） 点的表示点的表示点的表示：点的表示：A 数数z z与点与点z z同义同义. .（2） 向量表示法向量表示法oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边, 以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)A z=
8、0z=0时，辐角不确定。时，辐角不确定。 辐角无穷多辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz。 计算计算argz(z0) 的公式的公式A 当当z z落于一落于一, ,四象限时，不变。四象限时，不变。 A 当当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。 A 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。 oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z1由向量表示法知由向量表示法知(3). 三角表示三角表示法法(4). 指数表示指数表示法法& (1) 复数三角表示的复数三角表示的乘积与商乘积与商& （2
9、）复数的）复数的乘幂乘幂& （3）复数的）复数的方根方根3 复数的复数的乘幂乘幂与与方根方根定理定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明证明 设设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2)（1）乘积与商的几何意义乘积与商的几何意义因此因此 |z1z2|=r1r2，Arg(
10、z1z2)=Argz1+Argz2几何意义几何意义 将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍。倍。A 定理定理1 1可推广到可推广到n 个复数的乘积。个复数的乘积。oxy(z)z1z2z2要使上式成立要使上式成立,必须且只需必须且只需 k=m+n+1.定理定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。数的辐角之差。证明证明 Argz=Argz2-Argz1 即：即：由复数除法的定义由复数除法的定义 z=z2 /z
11、1，即即 z1z = z2|z|z1|=|z2|及及Argz1+Argz=Arg z2（ z10）设设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证由复数的乘法定理和数学归纳法可证明明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。2.复数的复数的乘幂乘幂定义定义 n个相同的复数个相同的复数z 的乘积，称为的乘积，称为z 的的n次幂，次幂， 记作记作z n，即，即z n=z z z（共共n个）。个）。特别：当特别：当|z|=1时，即：时，即：zn=cosn+isin n，则有则有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛一棣模佛(De Moivre)公式。公式。问题问题
12、给定复数给定复数z=re i ，求所有的满足求所有的满足n=z 的的 复数复数。3.复数的复数的方根方根（开方）（开方）乘方的逆运算乘方的逆运算 当当z0时，有时，有n个不同的个不同的值与值与 相对应，每一相对应，每一个这样的个这样的值都称为值都称为z 的的n次方根，次方根，A 当当k=0=0，1 1，n-1-1时，可得时，可得n个不同的根，个不同的根， 而而k取其它整数时，这些根又会重复出现。取其它整数时，这些根又会重复出现。几何上几何上， 的的n个值是个值是以原点为中心，以原点为中心， 为半为半径的圆周上径的圆周上n个等分点，个等分点，即它们是内接于该圆周即它们是内接于该圆周的正的正n边形
13、的边形的n个顶点。个顶点。xyo练习：求下列复数的模与辐角主值练习：求下列复数的模与辐角主值（1 1） （2 2） （3 3） （4 4） 解解（2 2）（3）(4)& 1.1.平面点集平面点集& 2. 简单曲线（或简单曲线（或Jordan曲线曲线)& 3. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域2 2 复平面点集复平面点集1. 平面点集平面点集邻域邻域复平面上以复平面上以 z 0为中心，任意为中心，任意 0为半径的为半径的圆圆 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 对任意对任意 z D, 均有均有|z|R，则则D是是有界有界区域区域；否则无界。；否则无界。闭区域闭区域 区域区域
14、D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,(1) 圆环域圆环域:(2) 上半平面上半平面:(3) 角形域角形域:(4) 带形域带形域:2. 简单曲线（或简单曲线（或Jordan曲线曲线)令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)， atb有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。 定义定义 称称没有重点没
15、有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jordan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线 。 z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线3. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个
16、是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 D ，如果如果D内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在D内，就称内，就称 D为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域。域；非单连通域称为多连通域。例如例如 |z|0）是单连通的；是单连通的； 0r|z|R是多连通的。是多连通的。单连通域单连通域多连通域多连通域多连通域多连通域单连通域单连通域例例 求求过复平面过复平面C上不同两点上不同两点a,b的直线表示式的直线表示式。解解二、复球
17、面二、复球面1. 南极、北极的定义南极、北极的定义NSPyzZx 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2. 复球面的定义复球面的定义我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应, 记作记作 . 因而球因而球面上的北极面上的北极 N 就是
18、复数无穷大就是复数无穷大 的几何表示的几何表示.3. 扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. .复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数对于复数 来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无辐角等概念均无意义意义, 它的模规定为正无穷大，即它的模规定为正无穷大，即作业P12习题(一)2，7, 8答疑解惑答疑解惑 答：不能，实数能比较大
19、小，是因为实数是有序的；答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。而复数是无序的，所以不能比较大小。 1 1、复数能否比较大小，为什么？、复数能否比较大小，为什么？注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小可比较大小。2 2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？运算是否相同？ 答：有相同之处，但也有不同之处。答：有相同之处，但也有不同之处。 加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。意义不同。
