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1、一、二次函数的定义一、二次函数的定义 1.1.定义：一般地定义：一般地, ,形如形如 y=axy=ax+bx+c+bx+c(a,b,c(a,b,c是常数是常数, ,a0a0) )的函数叫做的函数叫做二次函数二次函数. .2.2.定义定义要点要点: :(1)(1)关于关于x x的代数式一定是的代数式一定是整式整式,a,b,c,a,b,c为常数为常数, ,且且a0a0. .(2)(2)等式的右边等式的右边x x的的最高次数最高次数为为2 2, ,可以没有一次可以没有一次项和常数项项和常数项, ,但不能没有二次项但不能没有二次项. .如：如： yx2， y2x24x3 ， y1005x2，y=2x2
2、5x3 等等都是二次函数。等等都是二次函数。典型例题典型例题例例1.当当m取何值时取何值时,函数函数y=(m+1) - 2+1是二次函数？是二次函数？分析分析:根据二次函数的定义根据二次函数的定义,只需满足只需满足m+10且且m2-m=2即可即可.解解:根据二次函数的定义根据二次函数的定义,得得m2-m=2m+10m=2或或m=-1m-1 m=2 当当 m=2时时,这个函数是二次函数这个函数是二次函数.抛物线抛物线开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最最值值a0a0a0时开口向上，并向上无限延伸；时开口向上，并向上无限延伸；当当a0a0c0=00 b0 c=0 0 例例2、函数、函数
3、的开口方向的开口方向 ，顶点坐标是顶点坐标是 ，对称轴是，对称轴是 .解：解： 顶点坐标为顶点坐标为: :对称轴是：对称轴是：向上向上中考链接：中考链接：1.（05浙江丽水）如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，3），则此抛物线对应的二次函数有（ ）（A）最大值1 （B）最小值3 （C）最大值3 （D）最小值1B中考链接：中考链接：2.（05梅州）根据图1中的抛物线，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y有最大值。图1222xy、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象如图所示，的图象如图所示，则则a a、b b、c c的
4、符号为（）的符号为（） A A、a0,c0 Ba0,c0 B、a0,c0a0,c0 C C、a0,b0 Da0,b0 D、a0,b0,c0a0,b0,c0,b0,c=0 Ba0,b0,c=0 B、a0,c=0a0,c=0 C C、a0,b0,c=0 Da0,b0,b0,b0,c=0BAo练习：练习：典型例题典型例题例例1.求抛物线求抛物线y=-22-5+7的顶点坐标的顶点坐标和对称轴和对称轴.分析分析:求抛物线的顶点坐标有两种方求抛物线的顶点坐标有两种方法法,一是利用配方法将一般形式化成一是利用配方法将一般形式化成顶点式顶点式;二是利用顶点坐标公式二是利用顶点坐标公式.二次二次函数解析式有哪几
5、种表达式？函数解析式有哪几种表达式？ 一般式：一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k 两根式：两根式：y=a(x-x1)(x-x2)2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（h, k），），通常设通常设抛物线解析式为抛物线解析式为_3、已知抛物线与、已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_1、已知抛物线上的三点、已知抛物线上的三点，通常设解析式为通常设解析式为_y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2) (a0)求抛物线解析式的三种方法求抛物线解析式的三种
6、方法例例1、已知二次函数、已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示， 求其解析式。求其解析式。解法一：顶点式解法一：顶点式设解析式为顶点C（1，4）又A(-1,0)在抛物线上， a = -1即： h=1, k=4.典型例题典型例题例例1、已知二次函数、已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示， 求其解析式。求其解析式。解法二：解法二： 一般式一般式设解析式为顶点C（1，4），对称轴 x=1.A(-1,0)关于 x=1对称，B（3，0）。A(-1,0)、B（3，0）和C（1，4）在抛物线上， 即： 三、应用举例三、应用举例解法三：两根式解法三：两根式设解析式为抛物线与x 轴的两个交点坐标
7、 为 A (-1,0)、B（3，0） y = a (x+1) (x- 3)又 C（1，4）在抛物线上 4 = a (1+1) (1-3) a = -1 y = - ( x+1) (x-3)即：例例1、已知二次函数、已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示， 求其解析式。求其解析式。 三、应用举例三、应用举例1.已知抛物线经过已知抛物线经过(-1,2),(0,1),(2,-7)三点三点,求抛物线的解析式求抛物线的解析式.分析分析:已知抛物线上任意三点的坐标已知抛物线上任意三点的坐标,可选用一般式可选用一般式,从而得到关于从而得到关于a、b、c的三元一次方程组的三元一次方程组,求出求出a、b、
8、c的的值值.解解:设所求抛物线的解析式为设所求抛物线的解析式为y=a2+b+c课堂练习课堂练习: 抛物线经过抛物线经过(-1,2),(0,1),(2,-7)三点三点a-b+c=2c=14a+2b+c=-7解得解得a=-1b=-2c=1 所求抛物线的解析式为所求抛物线的解析式为 y=-2-2+12.已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为(-1,3),与与y轴的轴的交点为交点为(0,2).求抛物线的解析式求抛物线的解析式.分析分析:已知抛物线的顶点坐标已知抛物线的顶点坐标,选用顶点选用顶点式较简捷式较简捷.解解:设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a(+1)2+3 将将=0,y=2代入上式代入上
9、式,得得a=-1. 所求抛物线的解析式为所求抛物线的解析式为y=-(+1)2+33.已知抛物线已知抛物线y=a2+b+c与与轴交于轴交于A(-1,0)、B(3,0),并且经过点并且经过点C(0,-3).求抛物求抛物线的解析式线的解析式分析分析:因为因为A(-1,0)、B(3,0),是抛物线与是抛物线与轴轴的两个交点的两个交点,所以选用交点式比较简捷所以选用交点式比较简捷.解解:设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a(+1)(-3).将将C(0,-3)代入代入,得得a=1. 所求抛物线的解所求抛物线的解析式为析式为y=(+1)(-3)1、（新课程新同步中作业题）（新课程新同步中作业题）已知：
10、已知：y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则关于的图象如图所示，则关于x的的方程方程ax2+bx+c-3=0的根的情况为（的根的情况为（ ）（A）有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根（B）有两个异号实数根有两个异号实数根（C）有两个相等的实数根有两个相等的实数根（D）无实数根无实数根0 1 x3yD2. 如图，一位运动员在距篮下如图，一位运动员在距篮下4m处起跳处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是的水平距离是2.5m时，球达到最大高度时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问
11、球出手时离地面多高时才能中？问球出手时离地面多高时才能中？ 球的出手点球的出手点A的横坐标为的横坐标为-2.5，将，将x=-2.5代入抛物线表达式得代入抛物线表达式得y=2.25,即当出手高度为即当出手高度为2.25m时，才能投中时，才能投中。xy2.5m4m3.05ABCO3.5解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最 高点和球篮的坐标分别为高点和球篮的坐标分别为B(0,3.5),C(1.5,3.05).3.5=c3.05=1.52a+c 设所求的二次函数的表达式为设所求的二次函数的表达式为y=ax2+c. 将点将点B和点和点C的坐标代入，得的坐标代入，得
12、 解得解得a= -02c= 3.5该抛物线的表达式为该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5 拓展练习：拓展练习： 如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，恰在水面中心，OA1.25米，由柱子顶端米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为美观，为使水流形状较为美观，要求设计成水流在离要求设计成水流在离OA距离为距离为1米处达到距水面米处达到距水面最大高度为最大高度为2.25米米,
13、 如果如果不计其他因素不计其他因素, 那么水池那么水池的半径至少要多少米，的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致才能使喷出的水流不致落到池外？落到池外？AO水水 面面CByxAO水水 面面CByx解：以水面解：以水面OC所的直线为所的直线为 x 轴，柱子轴，柱子OA所在的直线为所在的直线为y轴，轴，O为为 原点建立直角坐标系，原点建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为：设抛物线的解析式为：y = a(x h) + k, 则有则有 1.25 = a(0 1) + 2.2522 解得：解得：a = - 1 所以，所以，y = - (x 1) + 2.252 则则A、B两点的坐标分别为两点的坐标分别为A(o, 1.25) B(1, 2.25)，令令 y = 0, 则则- (x 1) + 2.25 = 02解得：解得：x = 2.5 或或 x = - 0.5 (舍去舍去)所以，水池半径至少需要所以，水池半径至少需要2.5米。米。 作业作业:1.综合练习卷一份综合练习卷一份2.课堂感悟第一单元课堂感悟第一单元(补充完整补充完整)结束寄语生活是数学的源泉生活是数学的源泉. .下课了!探索是数学的生命线探索是数学的生命线.
