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1、第四节 空间曲线及其方程 第八章第八章 （Space Curve and Its Equations)四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、曲面的参数方程三、曲面的参数方程五、小结与思考练习五、小结与思考练习7/30/20241一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C. C(General Equation of Space Curve)7/30/20242表示上半球面与圆柱面的交线C. 又如又如,方程组方程组7/
2、30/20243二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度, 称为螺距螺距 .(The Parametric Equation of Space Curve)7/30/20244解解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为故所求为得所求为例1（补充题）将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:7/30/20245三、曲面的参数方程(The Parametric Equation of Surface)一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如7/30/20246绕
3、z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解解:点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例2 求空间曲线 :7/30/20247绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 , 得旋转曲面方程为例如例如, 直线7/30/20248绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如, xoz 面上的半圆周面上的半圆周7/30/20249四、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程(Projecting Cur
4、ve on a Coordinate Plane of Space Curve)7/30/202410例如,在xoy 面上的投影曲线方程为7/30/202411所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .又如,7/30/202412内容小结 空间曲线空间曲线一般方程（三元方程组）一般方程（三元方程组）或参数方程或参数方程 (如如, 圆柱螺线圆柱螺线) 曲面的参数方程曲面的参数方程 求投影曲线求投影曲线7/30/202413 (2)(1)思考与练习1. 展示空间图形7/30/202414(3)7/30/202415(4)7/30/202416(5)7/30/202417(6)7/30/2024182. 求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的7/30/202419
