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1、12.3二项分布与正态分布高考理数高考理数1.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)=.(2)条件概率具有的性质:a.0P(B|A)1;b.如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).2.相互独立事件(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件.(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.(4)若P(AB)=P(A)
2、P(B),则A与B相互独立.知识清单3.独立重复试验及二项分布问题(1)独立重复试验概率公式:关于Pn(k)=pk(1-p)n-k,它是n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.说明:公式中n是重复试验次数,p是一次试验中某事件A发生的概率,k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数,需要弄清公式中n,p,k的意义,才能正确运用公式.(2)二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(=k)=pkqn-k,其中k=0,1,n,q=1-p,于是得到随机变量的概率分布列如下:01knPp0qnp1qn-1pkqn-kpnq0我们称这样的随机
3、变量服从二项分布,记作B(n,p).4.正态曲线及性质(1)正态曲线的定义:函数,(x)=,x(-,+),其中实数和(0)为参数,我们称,(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)正态曲线的性质:a.曲线位于x轴上方,与x轴不相交;b.曲线是单峰的,它关于直线x=对称;c.曲线在x=处达到峰值;d.曲线与x轴之间的面积为1;e.当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移;f.当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.5.正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb
4、)=,(x)dx,则称X的分布为正态分布,记作XN(,2).(2)正态分布的三个常用数据a.P(-X+)=0.6826;b.P(-2X+2)=0.9544;c.P(-3X+3)=0.9974.【知识拓展】【知识拓展】1.“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系(1)“互斥”与“相互独立”描述的都是两个事件间的关系.(2)“互斥”强调不可能同时发生,“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.(3)“互斥”的两个事件可以独立,“独立”的两个事件也可以互斥.2.条件概率条件概率通常是指在事件A发生的条件下,事件B发生的概率.放在总体情况下看:先求P(A),P(AB),再求P
5、(B|A)=.关键是求P(A)和P(AB).3.正态曲线的对称性正态曲线函数,(x)=.很显然,当=0时,(x)=是偶函数,图象关于y轴对称;当0时,图象对称轴为直线x=,所以正态曲线是一个轴对称图形,很多关于正态分布的概率问题,都是根据其对称性求解的.计算条件概率的步骤:注:计算条件概率的方法:利用公式P(A|B)=;对古典概型:P(A|B)=.例例1(2016广西三市联考,13,5分)如图,EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则(1)P(A)=;(2)P(B|A
6、)=.突破方法方法方法1条件概率条件概率解析解析圆的面积是,正方形的面积是2,扇形的面积是,根据几何概型的概率计算公式得P(A)=,P(AB)=,根据条件概率的公式得P(B|A)=.答案答案(1)(2)1-1(2016陕西西安质检,5,5分)周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估做对第一道题的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是()A.0.80B.0.75C.0.60D.0.48答案答案B解析解析设事件Ai(i=1,2)表示“做对第i道题”,A1,A2相互独立,由已知得P(A1)=0.8,P(A1A2)=0.6,P(A2|A1)=0.75.故选B.
7、1-2(2016吉林长春二模,13,5分)袋中有三个白球,两个黑球.现每次摸出一个球,不放回地摸取两次,则在第一次摸到黑球的条件下,第二次摸到白球的概率为.答案答案解析解析记事件A为“第一次摸到黑球”,事件B为“第二次摸到白球”,则事件AB为“第一次摸到黑球,第二次摸到白球”,依题意知P(A)=,P(AB)=,在第一次摸到黑球的条件下,第二次摸到白球的概率是P(B|A)=.故答案为.1.相互独立事件概率的求法2.求相互独立事件同时发生的概率的方法:例例2(2014河北邢台一模,20,12分)甲、乙两人各进行一次射击,如果两人射中目标的概率都是0.8,计算:(1)两人都射中目标的概率;事件A,B
8、相互独立概率计算公式A,B同时发生P(AB)=P(A)P(B)A,B同时不发生P()=P()P()=1-P(A)1-P(B)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)A,B至少有一个不发生P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)A,B至少有一个发生P=1-P()=1-P()P()=P(A)+P(B)-P(A)P(B)A,B恰有一个发生P=P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)=P(A)+P(B)-2P(A)P(B)方法方法2相互独立事件的概率相互独立事件的概率(2)其中恰有一人射中目标的概率;(3)至少有一人射中目标的概率.解析解析记“甲射击一次,射中目标”为事件A,“乙射击一次,射中目
9、标”为事件B.“两人都射中目标”是事件AB;“恰有一人射中目标”是A或B;“至少有一人射中目标”是AB或A或B.(1)显然,“两人各射击一次,都射中目标”就是事件AB,又由于事件A与B相互独立,P(AB)=P(A)P(B)=0.80.8=0.64.(2)“两人各射击一次,恰有一人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中乙未射中(即A),另一种是甲未射中乙射中(即B),根据题意,这两种情况在两人各射击一次时不可能同时发生,即事件A与B是互斥的,所以所求概率为P=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8=0.16+0.16=0.32.(3)解法一:
10、“两人各射击一次,至少有一人射中目标”的概率为P=P(AB)+P(A)+P(B)=0.64+0.32=0.96.解法二:“两人都未射中目标”的概率是P()=P()P()=(1-0.8)(1-0.8)=0.04.至少有一人射中目标的概率为1-P()=1-0.04=0.96.2-1(2016贵州毕节三模,7,5分)如图,用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为()A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576答案答案B解析解析A1、A2同时
11、不能工作的概率为0.20.2=0.04,所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1-0.04=0.96,所以系统正常工作的概率为0.90.96=0.864.故选B.1.n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率求法:n次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看作个互斥事件的和,其中每一个事件都可看作k个A事件与(n-k)个事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是pk(1-p)n-k.因此,n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为pk(1-p)n-k.2.写二项分布时,首先确定随机变量X的取值,然后用公式P(X=k)计算概率即可.例例3(2016河南信阳质检,19,12分)为拉动经济增
12、长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的,.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求的分布列.解析解析记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且P(Ai)=,P(Bj)=,P(Ck)=.
13、方法方法3独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=6=.(2)解法一:设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由已知,B,且=3-,所以P(=0)=P(=3)=,P(=1)=P(=2)=,P(=2)=P(=1)=,P(=3)=P(=0)=.故的分布列是0123P解法二:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di,i=1,2,3.由已知,D1,D2,D3相互独立,且P(Di)=P(AiCi)=P(Ai)+P(Ci)=+=,所以B,即P(=k)=,k=0,1,2,
14、3.故的分布列是0123P3-1(2015广东揭阳一中模拟,19,12分)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样,购买一瓶这种饮料,若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.(1)求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率;(2)求中奖人数的分布列及数学期望E.解析解析(1)设“甲中奖”的事件为A,“乙中奖”的事件为B,“丙中奖”的事件为C,那么P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(A)P(B)P()=,即甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为.(2)的所有可能取值为0,1,2,3,P(=k)=(k=0,1,2,3),所以中奖人
15、数的分布列为0123PE()=0+1+2+3=.服从正态分布的随机变量X在某个区间内取值的概率求法:(1)利用P(-X+),P(-2X+2),P(-34)=()A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585解析解析由正态曲线性质知,其图象关于直线x=3对称,P(X4)=0.5-P(2X4)=0.5-0.6826=0.1587.故选B.答案答案B4-1已知随机变量服从正态分布N(0,2).若P(2)=0.023,则P(-22)=()A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977答案答案C解析解析=0,P(2)=0.023,P(-22)=1-20.023=0.954,故选C.方法方法4正态分布及其应用正态分布及其应用
