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1、2.3多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计Estimation of Multiple Linear Regression Model 一、一、多元线性回归模型多元线性回归模型二、多元线性回归模型的参数估计二、多元线性回归模型的参数估计三、三、OLSOLS参数估计量的统计性质参数估计量的统计性质四、样本容量问题四、样本容量问题五、五、多元线性回归模型实例多元线性回归模型实例1.一、一、多元线性回归模型多元线性回归模型21 1、多元线性回归模型的形式、多元线性回归模型的形式由于：由于：在实际经济问题中，一个变量往往受到多个原因变量的影响；在实际经济问题中，一个变量往往受到多个原因
2、变量的影响； “从一般到简单从一般到简单”的建模思路。的建模思路。所以，线性回归模型中的解释变量往往有多个，至少开始是这样。这样所以，线性回归模型中的解释变量往往有多个，至少开始是这样。这样的模型被称为的模型被称为多元线性回归模型多元线性回归模型。多元线性回归模型参数估计的原理与一元和二元线性回归模型相同，只多元线性回归模型参数估计的原理与一元和二元线性回归模型相同，只是计算更为复杂。是计算更为复杂。3 多元线性回归模型的一般形式多元线性回归模型的一般形式为：为： 习习惯惯上上，把把常常数数项项i看看成成为为一一个个虚虚变变量量的的系系数数，在在参参数数估估计计过过程程中中该该虚虚变变量量的样
3、本观测值始终取的样本观测值始终取1。这样：。这样： 模型中解释变量的数目为（模型中解释变量的数目为（k+1）。）。 i=1,2,n 4 多元线性回归模型的多元线性回归模型的矩阵表达式矩阵表达式为：为：其中 5 2 2、多元线性回归模型的基本假定、多元线性回归模型的基本假定多元线性回归模型在满足下列基本假设基本假设的情况下，可以采用普通最小二乘法普通最小二乘法（OLS）估计参数。关于多元线性回归模型的基本假定关于多元线性回归模型的基本假定6789二、多元线性回归模型的参数估计二、多元线性回归模型的参数估计101 1、普通最小二乘估计、普通最小二乘估计普通最小二乘估计普通最小二乘估计（i=1,2,
4、n ） 11根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解： 其中 12于是得到关于待估参数估计值的正规方程组： 13 上述估计过程的矩阵表示：上述估计过程的矩阵表示：其中 从而，被解释变量的观测值与估计值之差的平方和为： 1415随机误差项的均值为随机误差项的均值为0，方差的估计量为：，方差的估计量为： 于是，得到正规方程组：于是，得到正规方程组： 参数的最小二乘估计值为：参数的最小二乘估计值为： 162 2、最大或然估计、最大或然估计Y Y的随机抽取的的随机抽取的n组样本观测值的联合概率组样本观测值的联合概率 17对数或然函数为对数或然函数为参数的最大或然估计参数的最大或然估计 结果与参
5、数的普通最小二乘估计相同结果与参数的普通最小二乘估计相同 18三、三、OLSOLS参数估计量的统计性质参数估计量的统计性质191线性 2无偏性 这里利用了解释变量与随机误差项不相关的假设，即 203有效性 其中利用了 根据高斯马尔可夫定理，上述方差在所有无偏估计量的方差中是最小的，所以普通最小二乘参数估计量具有有效性。 21参数估计量的方差参数估计量的方差- -协方差矩阵协方差矩阵224随机误差项方差估计量的性质 由于被解释变量的估计值与观测值之间的残差 残差的平方和为: 所以有 其中符号“tr”表示矩阵的迹，其定义为矩阵主对角线元素的和。于是 所以，随机误差项方差的无偏估计量为 2324四、
6、样本容量问题四、样本容量问题1、 最小样本容量最小样本容量2 2、满足基本要求的样本容量、满足基本要求的样本容量 计量经济学模型，说到底是从表现已经发生的经济活动的样本数据计量经济学模型，说到底是从表现已经发生的经济活动的样本数据中寻找经济活动中内含的规律性，所以，它对样本数据具有很强的依赖中寻找经济活动中内含的规律性，所以，它对样本数据具有很强的依赖性。性。 25 最小样本容量最小样本容量最小样本容量：是指从最小二乘原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量最小样本容量：是指从最小二乘原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。如何，所要求的样本容量的下限。样本容量必须不
7、少于模型中解释变量的数目（包括常数项），这就是最小样样本容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项），这就是最小样本容量：本容量： 262 2、满足基本要求的样本容量、满足基本要求的样本容量 虽然当虽然当 nk+1 时，可以得到参数估计量，但除了参数估计量质量不好以外，时，可以得到参数估计量，但除了参数估计量质量不好以外，一些建立模型所必须的后续工作也无法进行。一些建立模型所必须的后续工作也无法进行。 一般经验认为，当一般经验认为，当n 30或者至少或者至少nk + +31()时，时，才能说满足模才能说满足模型估计的基本要求。型估计的基本要求。 27五、五、多元线性回归模型实例多元线性回归模型实例28中国消费函数模型中国消费函数模型根据消费模型的一般形式，选择消费总额为被解释变量，国内生产总值和前一年的消费总额为解释变量，变量之间关系为简单线性关系，选取1981年至1996年统计数据为样本观测值。 29中国消费数据表 单位：亿元 30模型估计结果31拟合效果32
