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1、第十讲第十讲 方差分析方差分析一、单因素试验方差分析一、单因素试验方差分析二、多因素试验方差分析二、多因素试验方差分析三、应用方差分析时应注意的几三、应用方差分析时应注意的几个问题个问题一、单因素试验分差分析一、单因素试验分差分析水平：水平：因素：因素：试验中因素所处的不同状态。试验中因素所处的不同状态。影响试验结果的原因。影响试验结果的原因。设设因素因素 有有 个水平个水平 ，假定在每个假定在每个水平水平 上，上，做做 次独立重复试验，其结果记为次独立重复试验，其结果记为且且服从正态分布，即服从正态分布，即进一步设进一步设 个样本相互独立。个样本相互独立。此时可以表示成此时可以表示成如下数学
2、模型：如下数学模型：其中其中 和和 是未知的参数，是未知的参数， 且且各各 相互独立。相互独立。需要检验的假设检验问题为需要检验的假设检验问题为为了便于讨论和理解，为了便于讨论和理解，令令则有则有这里每个这里每个 可理解为水平可理解为水平 的的效应效应，可以看成可以看成是对总是对总平均平均 的的“贡献贡献”大小。大小。当当 时，称时，称的的效应为正；效应为正；当当 时，称时，称的的效应为负。效应为负。这样所考虑的模型可改写为这样所考虑的模型可改写为其中各其中各 相互独立相互独立 ， 是未知的参数，是未知的参数，且且（*）有有所考虑的假设检验问题变为所考虑的假设检验问题变为方差分析的任务就是选择
3、的适当的统计量，方差分析的任务就是选择的适当的统计量，根据所获等的样本，对假设检验问题做出回答。根据所获等的样本，对假设检验问题做出回答。为此，令为此，令-组平均值组平均值-总变差总变差(离差离差)平方和平方和-组内组内(误差误差)平方和平方和-组间平方和组间平方和易证平方和分解式易证平方和分解式-总平均值总平均值为了使为了使 的意义更清楚，改写它们如下：的意义更清楚，改写它们如下：其中其中 。从以上各式可知：从以上各式可知：而当而当成立时，成立时，不不成立时，成立时，除反映误差波动外，除反映误差波动外，主要还是反映了主要还是反映了因素的不同水平效应因素的不同水平效应 的差异所引起的波动。的差
4、异所引起的波动。由于由于当当 成立时，成立时，当当 不成立时，不成立时，故当故当 成立时，成立时，应与应与1相差不大，相差不大，而当而当 不成立时，不成立时，与与1比较应有明比较应有明显偏大的趋势。显偏大的趋势。这样可用其作为检验统计量。这样可用其作为检验统计量。当当 成立时，有成立时，有且且 与与 相互独立。相互独立。定理定理15.1对模型对模型(*)有有（1）（2）因此当因此当 成立时，根据定理有成立时，根据定理有拒绝域为拒绝域为二、多因素试验方差分析二、多因素试验方差分析（一）无重复试验的方差分析（一）无重复试验的方差分析(无交互效应无交互效应)设设因素因素A有有p个不同的水平：个不同的
5、水平：因素因素B有有q个不同的水平：个不同的水平：对每个对每个可能的搭配可能的搭配 进行一次独立试验，进行一次独立试验，共获得共获得个试验结果个试验结果并列并列表如下：表如下：假定假定 来自正态分布来自正态分布 ，且相互独，且相互独立，即立，即其中其中为了了解各因素的影响，令为了了解各因素的影响，令称称 为为理论总均值理论总均值， 表示所考虑的表示所考虑的 个总体个总体数学期望的总平均；数学期望的总平均；称称 为因素为因素 的第的第 个水平个水平对试验结果的对试验结果的效应效应；称称 为因素为因素 的第的第 个个水平水平 对试验结果的对试验结果的效应效应。反映了水反映了水平搭配平搭配 对试验结
6、果的总效应，对试验结果的总效应， 是总效是总效应减去水平应减去水平 的效应的效应 及及 的效应的效应 ，因此因此实际上表示的是水平搭配实际上表示的是水平搭配 对试验结果的对试验结果的交互效应交互效应。 但但由于两个因素各个水平的搭配只由于两个因素各个水平的搭配只进行了一次试验，分析不出不同的水平搭配所进行了一次试验，分析不出不同的水平搭配所产生的交互效应，因此在这里假定产生的交互效应，因此在这里假定 。这样这样所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为所以判断因素所以判断因素 对试验结果是否有显著影响对试验结果是否有显著影响就等价于检验假设问题就等价于检验
7、假设问题（*）(1)而判断因素而判断因素 对试验结果是否有显著影响就对试验结果是否有显著影响就等价于检验假设检验问题等价于检验假设检验问题为了检验这些假设检验问题，为了检验这些假设检验问题，将将总离差平方总离差平方和进行分解有和进行分解有其中其中(2)定理定理15.2 对模型对模型(*)有有定理定理15.3 对模型对模型(*)有有(1)(2)(3)(4)因此，由定理可知，当因此，由定理可知，当 成立时，成立时，对对给定的显著性水平给定的显著性水平 ，检验问题检验问题(1)拒绝域为拒绝域为而当而当 成立时，成立时，对对给定的显著性水平给定的显著性水平 ，检验问题检验问题(2)拒绝域为拒绝域为（二
8、）等重复试验的方差分析（交互效应）（二）等重复试验的方差分析（交互效应）设有两个因素设有两个因素 和和 ， 因素因素 有有 个不同的个不同的水平水平 ，因素因素 有有 个不同的水平个不同的水平这样共有这样共有 个不同的水平搭配个不同的水平搭配对每个搭配对每个搭配 ，作作次独立重复试验，次独立重复试验，共获得共获得 个观察值，个观察值，列列表如下：表如下：假定假定 来自正态分布来自正态分布 ，且相互独立，即且相互独立，即其中其中令令则所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为则所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为（*）为因素为因素与与 的交互效应。的交互效应。判断因素判断因素 及交互作用对试验
9、结果是否有及交互作用对试验结果是否有显著影响就等价于检验如下的假设检验问题显著影响就等价于检验如下的假设检验问题为了检验这些假设检验问题，为了检验这些假设检验问题，将将总离差平方总离差平方这里这里和进行分解有和进行分解有其中其中可以证明如下两个定理可以证明如下两个定理定理定理15.4 对模型对模型(*)有有定理定理15.5 对模型对模型(*)有有(1)(2)(3)(4)(5)因此，由定理可知，当因此，由定理可知，当 成立时，成立时，当当 成立时，成立时，当当 成立时，成立时，对对给定的显著性水平给定的显著性水平 ，拒绝域分别为拒绝域分别为三、应用方差分析时应注意的问题三、应用方差分析时应注意的问题1. 使用条件使用条件2. 试验误差的影响试验误差的影响3. 值特别小的情况值特别小的情况4. 试验方式试验方式
