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1、 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1 n 维向量维向量 定义定义 1 由由 n 个数个数 a1 , a2 , , an 组成的有序数组，组成的有序数组，叫做叫做 n 维向量维向量, 实向量实向量 向量的加法，向量的加法， 列向量，列向量，称称 ai 为向量为向量 a 的第的第 i 个分量个分量.行向量行向量.数乘数乘.记成记成2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组向量组 如果如果 A = ( aij )是是 mn 矩阵，矩阵，称为称为 矩阵矩阵 A 的列向量组的列向量组.mn 矩阵矩阵 A = ( aij ) 又有又有 m 个个 n 维行向量维行向量:称为矩阵称为
2、矩阵 A 的行向量组的行向量组.另一方面，由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵另一方面，由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵.例如，由向量组（例如，由向量组（*）可以构成）可以构成 mn 矩阵矩阵那么那么 A 有有 n 个个 m 维列向量维列向量:A = ( a1 , a2 , an ) 定义定义 2 设向量组设向量组 A: a1 , a2 , am , 任取一组实数任取一组实数称向量称向量是向量组是向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合. 给定向量组给定向量组 A: a1 , a2 , am 和向量和向量 b , 使使则称向量则称向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示.因
3、为因为b = 2a1 a2 ， 所以所以 若存在一组数若存在一组数也就也就是说非齐次线性方程组是说非齐次线性方程组无解无解.就是说非齐次线性方程组就是说非齐次线性方程组有解有解. 一般地，一般地， 向量向量 b 能由向量组能由向量组 A: a1 , a2 , am 线性表示的线性表示的充分必要条件是充分必要条件是非齐次线性方程组非齐次线性方程组有解有解. 据第据第 3 章定理章定理 3，所以有所以有 定理定理 1 向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是 R(A) = R(B) , 其中矩阵其中矩阵 A = ( a1 , a2 , am ), B = (
4、 a1 , a2 , am ,b ) .解解 因为因为 由此可知，由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4， 定义定义3 设有向量组设有向量组 A: a1 , a2 , am 和向量组和向量组 B: b1 , b2 ,若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 因此向量因此向量 b 即即 R(A) R(B) ，那么称向量组那么称向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示. 如果组如果组 B 的每个向量都能由向量组的每个向量都能由向量组 A 线性表示，线性表示， 则称这两个则称这两个向量组等价向量组等价. 不能由向量组不能由向量组 A 线性表示线性表示., bs ，B 能互相线性表
5、示，能互相线性表示，等价等价 定义定义4 设有向量组设有向量组 A: a1 , a2 , am ,则称向量组则称向量组 A 是是线性相关线性相关的的.否则，称它是线性无关的否则，称它是线性无关的.才能使才能使（）式成立，（）式成立，也就也就是，是，则称向量组则称向量组 A 是是线性无关线性无关的的.如果存在如果存在不全为零的数不全为零的数因为有因为有 向量组向量组 A: a1 , a2 , am 线性相关的充分必要条件是齐次线性相关的充分必要条件是齐次线线 有非零解有非零解. 定理定理 2 向量组向量组 a1 , a2 , , am 线性相关的充分必要条件线性相关的充分必要条件是是矩阵矩阵 A
6、 的秩的秩 R (A) m . 其中矩阵其中矩阵 A = ( a1 , a2 , am ).所以向量组所以向量组 E 线性无关线性无关.因为只有当因为只有当性方程组性方程组 例例 7 向量组向量组向量组向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的是线性无关的.因为矩阵因为矩阵 A = ( a1 , a2 , a3 ) 的行列式的行列式 |A| 0, 例例 8 讨论向量组讨论向量组 的线性相关性的线性相关性.解解 先求矩阵（先求矩阵（a1 , a2 , a3 ) 的秩的秩. 由由所以所以 R (A ) = 3 . 由定理由定理 2知，知，知知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 3,所以
7、向量组所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关线性相关. 解解 由由的线性相关性的线性相关性. 例例 10 已知向量组已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，线性无关， 证证 设有一组数设有一组数 x1 , x2 , x3 使使 x1(a1 + a2 ) + x2(a2 + a3 ) + x3 (a3 + a1 ) = 0 可知可知 R ( a1, a2, a3, a4 ) = 3, 同时同时,由由可见可见 R ( a1, a2, a4 ) = 3,因此，向量组因此，向量组 a1 , a2 , a4 线性无关线性无关.所以向量组所以向量组 a1 , a2 , a3 , a4 线性
8、相关线性相关. a1 + a2 ， a2 + a3 ， a3 + a1 证明向量组证明向量组也线性无关也线性无关.因为向量组因为向量组 a1 , a2 , a3 线性无关线性无关 , ( x1 +x3 ) a1 + ( x1+x2 ) a2+ ( x2+x3 ) a3 = 0所以有所以有由于此齐次线性方程组的系数行列式由于此齐次线性方程组的系数行列式故只有零解故只有零解 x1 = 0， x2 = 0，x3 = 0， 所以向量组所以向量组 a1 + a2 ，a2 + a3 ，a3 + a1 也就是也就是线性无关线性无关.于是就有于是就有即即 a1 能由能由 a2 , am 线性表示线性表示. 如
9、果向量组如果向量组 A 中有一个向量能由其余向量线性表示中有一个向量能由其余向量线性表示 . 证明证明 如果向量组如果向量组 A: a1 , a2 , am ( m2 ) 线性相关，线性相关， 例例 11 向量组向量组 A: a1 , a2 , am ( m2 ) 线性相关的充分线性相关的充分设设am 能由能由a1 , a2 , am 1 线性表示线性表示:于是于是所以向量组所以向量组 A 线性相关线性相关.则有不全为零的数则有不全为零的数不妨不妨必要条件是向量组必要条件是向量组 A 中至少有一个向量能由其余向量线性表示中至少有一个向量能由其余向量线性表示. 定理定理 3 若向量组若向量组 A
10、: a1 , a2 , am 线性相关线性相关,组组 B: a1 , a2 , , am , am+1 也线性相关也线性相关. 若向量组若向量组 A: 线性无关，线性无关，也也线性无关线性无关.则向量组则向量组 B: 则向量则向量 n +1 个个 n 维向量必线性相关维向量必线性相关. 如果向量组如果向量组 A : a1 , a2 , am 线性无关，线性无关，a1 , a2 , am , b 线性相关线性相关, 那么向量那么向量 b 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.且表法唯一且表法唯一. 证证 记矩阵记矩阵A = ( a1 , a2 , am ), B = ( a1 , a2 ,
11、 am , a m+1 )于是于是R(B ) R(A)+1. 若向量组若向量组 A : a1 , a2 , am 线性相关线性相关,有有R (A) s, 看齐次线性方程组看齐次线性方程组向量组向量组 A0 线性表示线性表示.它的系数矩阵的秩它的系数矩阵的秩R(K) s r , 所以有非零解所以有非零解.任取其一个任取其一个就有就有这与向量组这与向量组 B0 线性无关矛盾，线性无关矛盾， 推论推论 1 等价的向量组秩相等等价的向量组秩相等. 推论推论 2 设设 A 是是 mn 矩阵矩阵, B 为为 ns 矩阵，则矩阵，则R( AB ) R( A ), 推论推论 3 设向量组设向量组 A0 是向量
12、组是向量组 A 的部分组的部分组, 若向量组若向量组 A0 线性线性 因此因此 r s . R( AB ) R( B ).无关无关, 且向量组且向量组 A 能由向量组能由向量组 A0 线性表示线性表示,则向量组则向量组A0 是向量是向量组组A 的一个最大无关组的一个最大无关组.例例 3 向量组向量组A :的秩相等，都为的秩相等，都为 2. 但向量组但向量组 A 与与 B 不等价不等价. 秩相等的向量组未必等价秩相等的向量组未必等价4 向量空间向量空间 定义定义6 设设 V 是是 n 维向量的集合，维向量的集合，那么称集合那么称集合V为向量为向量 例例1 3 维向量的全体维向量的全体 R3 是一
13、个向量空间是一个向量空间, 由单个零向量组成由单个零向量组成 例例 2 集合集合是一个向量空间是一个向量空间. 例例 3 集合集合不是向量空间不是向量空间. 定义定义 7 设有向量空间设有向量空间 U 及及 V, 就称就称 U 是是 V 的子空间的子空间. 定义定义 8 设设 V 为向量空间，如果为向量空间，如果 r 个向量个向量且满足且满足 如果集合如果集合V 非空，非空，且对任意且对任意的集合也是一个向量空间的集合也是一个向量空间.空间空间. V 中任意向量都可由中任意向量都可由 a1 , a2 , ar 线性表示线性表示.那么，向量组那么，向量组 a1 , a2 , ar 就称为就称为
14、V 的一个基，的一个基，空间空间V 的维数，的维数， 例例1 中中R3 的维数为的维数为 3 ，因为，因为，是是 R3 的一个基的一个基. 例例2 中中V 的维数为的维数为 n - 1, 因为因为是它的一个基是它的一个基. 事实上，事实上，r 维向量空间中的维向量空间中的 r 个线性无关的向量就可以组成个线性无关的向量就可以组成 如果向量如果向量 a1 , a2 , ar 是向量空间是向量空间 V 的一个基的一个基, 则则 称称 r 为向量为向量 并说并说V 是是 r 维向量空间维向量空间. 它的一个基它的一个基. a1 , a2 , ar 线性无关；线性无关； 5 线性方程组的解的结构线性方
15、程组的解的结构 设有设有 n 元元齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0 若若 x1 = c1 , x2 = c2 , , xn = cn 是是 的解，记的解，记称为方程组称为方程组 的解向量的解向量. 齐次方程组的解的性质齐次方程组的解的性质 性质性质 1 性质性质 2 齐次方程组齐次方程组 的解空间的解空间 U 的一个基也称为齐次方程组的一个基也称为齐次方程组 的的 具体说，具体说， 是是 的一组解向量，的一组解向量，且满足且满足2 齐次方程组齐次方程组 的每个解都可由的每个解都可由 那么称那么称为齐次方程组为齐次方程组 的一个的一个基础解系基础解系. 如果如果 是齐次方程组是齐次方程
16、组 的一个基础解系，的一个基础解系，那么那么的所有解都可表为的所有解都可表为 其中其中 k1, k2 ,ks 为为任意实数任意实数,称上式为称上式为齐次方程组齐次方程组 的通的通解解. 定理定理 6 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间的维数为的解空间的维数为 n - r ， 即即 的基础解系含的基础解系含 n - r 个解，个解，其中其中R(A) = r. 如果如果 的全体解向量所组成的集合记为的全体解向量所组成的集合记为U , 则则 U 是一个向是一个向称为齐次方程组称为齐次方程组 的解空间的解空间.量空间量空间.一个基础解系一个基础解系. 于是得到与于是得到与同解
17、的方程组：同解的方程组：矩阵矩阵,不妨令为不妨令为 证证 设设R(A) = r , 用初等行变换化系数矩阵用初等行变换化系数矩阵 A 为行最简形为行最简形代入代入 的右端依次可得：的右端依次可得：于是得到于是得到 的的 解解: n r 个个对自由未知量对自由未知量 xr+1 , xr+2 , xn 分别取分别取值值下面证明解向量组下面证明解向量组是是 的一个基础解系，的一个基础解系，首先，据定理首先，据定理 3可知，可知，证明证明的任意解都可由的任意解都可由从而它们也是从而它们也是 的一个基础解系的一个基础解系.其次，其次，是是 的一个解的一个解. 根据齐次方程组解的性质可知，向量根据齐次方程
18、组解的性质可知，向量也是也是 的一个解，的一个解，因此因此 这就证明了这就证明了, 所以，所以， 的基础解系含的基础解系含 n - r 个解个解.方程组（方程组（1）的一个基础解系，）的一个基础解系， 从而也是齐次从而也是齐次 例例 1 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解求下列齐次线性方程组的基础解系与通解. 解解 对系数矩阵对系数矩阵 A 作初等行变换作初等行变换,将其变为行最简形矩阵将其变为行最简形矩阵,得得于是得同解方程组于是得同解方程组 即得基础解系：即得基础解系：并得方程组的通解并得方程组的通解是此齐次方程组的两个线性无关的解是此齐次方程组的两个线性无关的解 因为因为Ax = 0
19、的基础解系含有两个解，的基础解系含有两个解， 因此它的两个线性无关因此它的两个线性无关 证证 根据齐次方程组解的性质可知，根据齐次方程组解的性质可知，组组Ax = 0 的两个解的两个解也是这个方程组的一个基础解系也是这个方程组的一个基础解系,其中数其中数k 0 .也线性无关，也线性无关，所以向量组所以向量组 设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组Ax = b (4)（4）的解也记为向量）的解也记为向量.性质性质 3 是对应的齐次方程组是对应的齐次方程组 Ax = 0 （5） 性质性质 4 也是（也是（4）的解）的解.非齐次线性方程组（非齐次线性方程组（4）的通解为）的通解为 k1 , k2 ,
20、kn-r 是是任意实数任意实数.非齐次线性方程组的解具有性质非齐次线性方程组的解具有性质则（则（4）的任意一个解）的任意一个解由此及性质由此及性质4可知，可知，的解的解. 例例 3 求解方程组求解方程组 解解 用初等行变换把增广矩阵用初等行变换把增广矩阵 B 变为行最简形变为行最简形知知R(B) = R(A) = 2,所以方程组有解，所以方程组有解，并得同解方程组并得同解方程组 取取 x2= 0, x3= 0,即得方程组的一个解即得方程组的一个解对应的齐次方程组为对应的齐次方程组为可得基础解系可得基础解系方程组的通解为方程组的通解为也就是也就是写成写成 也可以把方程组也可以把方程组得通解为得通解为也就是也就是
