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1、第4章机械振动机械振动物体在一定的位置附近做来回往复的运动。物体在一定的位置附近做来回往复的运动。g机械机械振动振动.mp4机械振动：机械振动：振动：振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。周期性的变化。任何复杂的振动都任何复杂的振动都可可以看做是由若干个简以看做是由若干个简单而又基本的振动的单而又基本的振动的合成。这种简单而又合成。这种简单而又基本的振动形式称为基本的振动形式称为简谐运动（简谐运动（理想化）理想化）。分振动分振动.swf4.1 简谐振动简谐振动4.1.1简谐振动简谐振动原点原点O为平衡位置为平衡位置x为物体离开为物体离开 平
2、衡位置的平衡位置的位移位移力与位移成正比而力与位移成正比而反向。反向。 合力：合力：令令振动的振动的微分方程微分方程 简谐简谐振动方程：振动方程： 因因积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定其解为其解为简谐振动方程简谐振动方程 简谐运动的判断简谐运动的判断（满足其中一条即可满足其中一条即可）2 2）简谐运动的动力学描述简谐运动的动力学描述1 1）物体受线性物体受线性回复力回复力作用作用3 3）简谐运动的运动学描述简谐运动的运动学描述kxF-=)cos(jw+=tAx（或物体受线性（或物体受线性回复力矩回复力矩作用作用 ）图图图图图图作图，取作图，取)cos(jw+=tAx)sin
3、(jww+-=tAdtdxv)cos(2jww+-=tAdtdva 4.1.2 描述简谐振动的基本物理量描述简谐振动的基本物理量 弹簧振子周期弹簧振子周期 周期周期 频率频率圆频率圆频率周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关注意注意图图振幅振幅1 1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系; ;2 2）相位在相位在 内变化，在此区间质点内变化，在此区间质点无相同无相同的的 运动状态；运动状态； 相位相位 ：3 3）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态. . 相差相差 为整数为整数 质点质点运动状态运动状态全同全同. .（
4、周期性）周期性）( ( 取取 或或 ) )是决定是决定简谐振动状态简谐振动状态的物理量的物理量 习惯上常将大于上常将大于，小于，小于2的初相表示的初相表示为负值，图图常数常数 和和 由初始条件确定由初始条件确定初始条件初始条件 对给定振动系统，对给定振动系统，周期周期由系统由系统本身性质本身性质决定，决定，振幅和初相振幅和初相由由初始条件初始条件决定决定. 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .4.1.3 旋转矢量旋转矢量 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动.
5、 .)cos(jw+=tAx用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图例例1 有小球与轻弹簧相联作简谐振动，表达式用余有小球与轻弹簧相联作简谐振动，表达式用余弦函数表示，若弦函数表示，若t0时，小球状态时，小球状态x0A，过过平衡位置向正向运动；平衡位置向正向运动；过过x0.5A向负向运动；向负向运动；过过 处向正向运动，求初相位处向正向运动，求初相位.1. 旋转矢量法确定旋转矢量法确定 2.2.相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 . . 1 1）对）对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间. .例
6、例2 物物体体沿沿X轴作作简谐振振动，振振幅幅为0.12m，周周期期为2s，t = 0时的的位位移移位位0.06m且且向向X轴正正方方向向运运动。求求：（1）初初位位相相;（2）振振动方方程程； （3）t = 0.5 s时，物物体体的的位位移移、速速度度、加加速速度度（4）x = - 0.06 m且且向向X轴负方方向向运运动时，物物体体的的速速度度、加加速速度度以以及第一次回到平衡位置所需的及第一次回到平衡位置所需的时间。 同步同步 3. 3. 对于两个同频率的简谐运动，相位差表对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异示它们间步调上的差异. .（解决振动合成问题解决振动合成问题）
7、为其它为其它超前超前落后落后反相反相同步同步为其它为其它超前超前落后落后反相反相2超前超前1例例3 3： 两个小球都在竖直方向上作同周期的简谐振动，两个小球都在竖直方向上作同周期的简谐振动，第二个小球的振幅恰是第一个小球振幅的两倍；当第第二个小球的振幅恰是第一个小球振幅的两倍；当第一个小球自振动的正方向回到其平衡位置时，第二个一个小球自振动的正方向回到其平衡位置时，第二个小球恰在正方向的端点，如第一个小球的振动方程为：小球恰在正方向的端点，如第一个小球的振动方程为： 求第二个小球的振动方程，并指出其位相差。求第二个小球的振动方程，并指出其位相差。例例4 4 如图如图4.5(a)4.5(a)所示
8、，一轻弹簧在所示，一轻弹簧在60 60 N的拉力的拉力下伸长下伸长3030 cm。现把质量为。现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉簧的下端并使之静止，再把物体向下拉1010 cm，然，然后由静止释放并开始计时。求后由静止释放并开始计时。求 (1) (1) 物体的振动方程；物体的振动方程； (2) (2) 物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5 5 cm时弹簧对物体时弹簧对物体的拉力；的拉力； (3) (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到平衡位置上方运动到平衡位置上方5 5 cm处所需要的最短时间。
9、处所需要的最短时间。-解解(1)选选平衡位置为坐标原点平衡位置为坐标原点O，x轴轴向下为正方向向下为正方向 在任意位置在任意位置x处处 平衡位置平衡位置处弹簧伸簧伸长量量 设设得得判断是否简谐振动？判断是否简谐振动？ (1) (1) 物体的振动方程；物体的振动方程；确确定定方程中的方程中的常数常数: Nm1 rads1 由由t = 0时，(m)，,得得 ， = = 0.10 m 振动方程振动方程为为 x = 0.10 cos(7.07t) m= = 0(2) 求物体在平衡位置上方求物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力时弹簧对物体的拉力 x=5 cm时，时， 假设假设物体受物体受拉力拉力
10、f 向上，如图向上，如图 得弹簧对物体的拉力得弹簧对物体的拉力 N f 所得所得值为正值为正，说明，说明与假设与假设方向方向相同相同。或或(3) 求物体从求物体从第一次第一次越过平衡位置时刻起，到它运越过平衡位置时刻起，到它运动到平衡位置动到平衡位置上方上方5 cm处所需要的最短时间。处所需要的最短时间。根据此旋转矢量图得根据此旋转矢量图得 0.074 s 请同学同学们推推导单摆的周期的周期 4.1.5 简谐振动的能量简谐振动的能量 以弹簧振子为例，物体质量以弹簧振子为例，物体质量m，劲度系数为，劲度系数为k系统的系统的动能动能为为系统的系统的势能势能为为系统的系统的总能量总能量为为 结论结论
11、： 弹簧振子做简谐振动时，其弹簧振子做简谐振动时，其总能量总能量与与振幅的平方成正比。振幅的平方成正比。 该结论对作简谐振动的其它系统也是成立的。该结论对作简谐振动的其它系统也是成立的。谐振动的总能量等于常数谐振动的总能量等于常数谐振动的总能量等于常数谐振动的总能量等于常数练习练习 已知振动曲线如图，且已知振动曲线如图，且t = 0t = 0时，时，X = X = 求（求（1 1）初位相（）初位相（2 2）a a、b b两点的位相差（两点的位相差（3 3）从从t = 0t = 0到到a a、b b所需的时间。所需的时间。 4.2 简谐振动的合成简谐振动的合成4.2.1 同方向同频率的简谐振动的
12、合成同方向同频率的简谐振动的合成0合振动合振动仍为仍为简谐振动简谐振动3. 合振幅合振幅2. 初位相初位相1. 合振动仍是同方向同频率的简谐振动合振动仍是同方向同频率的简谐振动 振幅最大振幅最大 Amax=A1+A24.4.相位差对合振幅的影响相位差对合振幅的影响（1 1）同相振动）同相振动振幅最小振幅最小 Amin= |A1 A2|（2 2）反相振动）反相振动（3 3）若位相差）若位相差为其它任意值时为其它任意值时AminA Amax *4.2.2 同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成 下面下面仅讨论两个两个简谐振振动的的频率率和和大大，而两而两频率之率之差差却却很小
13、很小的情况。的情况。都比都比较较合振动位移为合振动位移为拍频：拍频：合振幅变化的频率即合振幅变化的频率即拍频拍频to 对于两个频率相接近的振动，若其中一个频率为对于两个频率相接近的振动，若其中一个频率为已知，则通过拍频的测量就可以知道另一个待测振已知，则通过拍频的测量就可以知道另一个待测振动的频率。这种方法常用于动的频率。这种方法常用于声学声学、速度测量速度测量、无线无线电技术电技术和和卫星跟踪卫星跟踪等领域。等领域。声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。应用：应用：*4.2.3 两个互相垂直的简谐振动的合成两个互相垂直的简谐振动的合成设设 这说明：振动方
14、向互相垂直的同频谐振的轨迹是这说明：振动方向互相垂直的同频谐振的轨迹是一椭圆曲线，但曲线的形状则与两分振动的位相差一椭圆曲线，但曲线的形状则与两分振动的位相差有很大关系。有很大关系。同频率同频率同频率同频率, , , ,振动方向垂直的两个振动方向垂直的两个振动方向垂直的两个振动方向垂直的两个简谐简谐简谐简谐振动的合成振动的合成振动的合成振动的合成36不同频率不同频率, ,互相互相垂直的两个垂直的两个简谐简谐振动的合成振动的合成两振动的频率成简单的整数比时两振动的频率成简单的整数比时，合成运动的轨合成运动的轨道是封闭曲线，具有周期性。道是封闭曲线，具有周期性。称为李萨如图称为李萨如图形。形。*
15、*4.3 4.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振*4.3.1 阻尼振动阻尼振动在物体运动速度不太大的情况下，粘滞阻力为在物体运动速度不太大的情况下，粘滞阻力为 以弹簧振子为例，其运动微分方程为以弹簧振子为例，其运动微分方程为令令式中式中阻尼系数阻尼系数 0 0系统系统固有角频率固有角频率。欠阻尼欠阻尼 220bww-=令令即即 ：阻尼振动振幅按指：阻尼振动振幅按指数规律衰减。数规律衰减。临界阻尼临界阻尼 其用途之一其用途之一, , 用于灵敏仪器用于灵敏仪器的回零装置。的回零装置。其不是往复运动，须无限其不是往复运动，须无限长的时间才能回零。长的时间才能回零。过阻尼过阻尼 * *4
16、.3.2 4.3.2 受迫振动受迫振动 共振共振维持等幅振持等幅振动，需在，需在的策的策动力作用力作用下下以弹簧振子为例以弹簧振子为例其运动方程为其运动方程为经过不太不太长的的时间，阻尼振，阻尼振动的振幅的振幅衰减衰减为零。即零。即策策动力角力角频率率 振幅振幅由由，可求得当，可求得当有极大有极大值，这时系系统发生生共振共振。 时，振幅时，振幅A在在小阻尼小阻尼的情况下，系统的的情况下，系统的共振频率接近固有频率共振频率接近固有频率。 机床机床过桥过桥防止防止共振共振 核磁共振核磁共振. .打夯打夯振动筛振动筛利用利用1940 年年11月月7日美国日美国 Tocama 悬悬索桥因共振索桥因共振而坍塌而坍塌共振共振.rm共振的危害共振的危害.wmv
