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1、连续系统的振动连续系统的振动第六章第六章 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称弹性，因而又称连续系统连续系统或或分布参数系统。分布参数系统。 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体是具有无限多自由度的系统。 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组二阶常微分方程组，它是它是偏微
2、分方程。偏微分方程。 在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。完全类似的。2024/7/302振动力学教学内容教学内容一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法假设模态法假设模态法假设模态法假设模态法模态综合法模态综合法模态综合法模态综合法有限元法有限元法有限元法有限元法2024/7/303振动力学（1）本章讨论的连续体都假定为
3、线性弹性）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。体，即在弹性范围内服从虎克定律。说说说说 明明明明（2）材料均匀连续；各向同性。）材料均匀连续；各向同性。（3）振动满足微振动的前提）振动满足微振动的前提 。2024/7/304振动力学一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程 动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程 固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数 主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性 杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波
4、动方程2024/7/305振动力学 动力学方程动力学方程（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 讨论等截面细直杆的纵向振动讨论等截面细直杆的纵向振动 杆杆长 l假定振假定振动过程中各横截面仍保持程中各横截面仍保持为平面平面截面截面积 S材料密度材料密度弹性模量性模量 E忽略由忽略由纵向振向振动引起的横向引起的横向变形形单位位长度杆上分布的度杆上分布的纵向作用力向作用力 杆参数：杆参数：连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024/7/306振动力学杆上距原点杆上距原点 x 处截面在截面在时刻刻 t 的的纵向位移向位移微段分析微段分析 微段应变：微段应变： 横截面上的内力：横截面
5、上的内力：由达朗贝尔原理：由达朗贝尔原理： 连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024/7/307振动力学杆上距原点杆上距原点 x 处截面在截面在时刻刻 t 的的纵向位移向位移横截面上的内力：横截面上的内力：由达朗贝尔原理：由达朗贝尔原理： 代入，得：代入，得： 杆的纵向强迫振动方程杆的纵向强迫振动方程 对于等直杆，对于等直杆，ES 为常数为常数 弹性纵波沿杆的纵向传播速度弹性纵波沿杆的纵向传播速度 有：有： 连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024/7/308振动力学（2）弦的横向振动）弦的横向振动弦两端固定，以张力弦两端固定，以张力 F 拉
6、紧拉紧在分布力作用下作横向振动在分布力作用下作横向振动 建立坐建立坐标系系弦上距原点弦上距原点 x 处的横截面在的横截面在 t 时刻的横向位移刻的横向位移 单位位长度弦上分布的作用力度弦上分布的作用力 单位位长度弦的度弦的质量量 微段受力情况微段受力情况 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： 弦的横向强迫振动方程弦的横向强迫振动方程令：令：并考虑到：并考虑到：得：得：弹性横波的纵向传播速度弹性横波的纵向传播速度连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024/7/309振动力学（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动扭矩作用下作
7、扭转振动 假定振假定振动过程中各横截面仍保持程中各横截面仍保持为平面平面截面的极截面的极惯性矩性矩 Ip材料密度材料密度切切变模量模量 G：单位位长度杆上分布的外力偶矩度杆上分布的外力偶矩 杆参数：杆参数：为杆上距离原点杆上距离原点 x 处的截面在的截面在时刻刻 t 的角位移的角位移截面截面处的扭矩的扭矩为 T微段微段 dx 受力受力：微段：微段绕轴线的的转动惯量量连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024/7/3010振动力学代入，得：代入，得：微段微段 dx 受力受力达朗达朗贝尔尔原理：原理：材料力学：材料力学：即：即：圆截面杆的扭截面杆的扭转振振动强强迫振迫振动方
8、程方程对于等直杆，抗扭于等直杆，抗扭转刚度度 GIp 为常数常数有：有：剪切剪切弹性波的性波的纵向向传播速度播速度连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024/7/3011振动力学小结：小结：（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 （2）弦的横向振动）弦的横向振动虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于分方程是类同的，都属于一维波动方程一维波动方程 。（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024/7/3012振动力学 固有频率和模态函数固有频率和模
9、态函数以等直杆的纵向振动为对象以等直杆的纵向振动为对象 方程：方程：纵向自由振动方程：纵向自由振动方程：假设杆的各点作同步运动，即设假设杆的各点作同步运动，即设 ：q(t) 表示运动规律的时间函数表示运动规律的时间函数 杆上距原点杆上距原点 x 处的截面的的截面的纵向振向振动振幅振幅 代入，得：代入，得：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3013振动力学记：通解：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为（确定杆纵向振动的形态，称为模态模态 ）由杆的由杆的边界条件确定界条件确定 与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数与有限自由度系统不同，连续系统的模
10、态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值表示各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率由频率方程确定的固有频率 有无穷多个有无穷多个 （下面讲述）（下面讲述）连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3014振动力学第第 i 阶主振动：阶主振动：一一对应一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3015振动力学几种常见边界条件下的固有频率和模态函数几种常见边界条件下的固有频率和模态函数 （1）两端固定）两端固定边界条件：边界条件： 不能恒为
11、零不能恒为零 故：故：代入模态函数代入模态函数 得：得： （杆的纵向振动频率方程（杆的纵向振动频率方程 ）无穷多个固有频率：无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 特征：两端位移为零特征：两端位移为零模态函数模态函数 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3016振动力学（2）两端自由）两端自由特征：自由端的轴向力为零特征：自由端的轴向力为零 边界条件边界条件 ：得：得：零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移频率方程和固有频率两端
12、固定杆的情况相同频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：得出：得出：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3017振动力学（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件 ：得：得：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动或：或：2024/7/3018振动力学左端自由，右端固定左端自由，右端固定特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边
13、界条件 ：得：得：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3019振动力学边界条件边界条件模态函数模态函数连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动频率方程频率方程固有频率固有频率2024/7/3020振动力学例：例：一均质杆，左端固一均质杆，左端固定，右端与一弹簧定，右端与一弹簧连接。连接。推导系统的频率方程。推导系统的频率方程。连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3021振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动解：解：边界条件：边界条件：得出
14、：得出：频率方程频率方程振型函数：振型函数：2024/7/3022振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：一均质杆，左端固一均质杆，左端固定，右端与一集中定，右端与一集中质量质量M固结。固结。推导系统的频率方程。推导系统的频率方程。边界条件：边界条件：自己推导！自己推导！2024/7/3023振动力学主振型的正交性主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或匀截面的杆可以是变截面或匀截面的 即即质量密度量密度及截面及截面积 S 等都可以是等都可以是 x 的函数的函数 杆的动力方程杆的动力方
15、程 ：自由振动：自由振动：主振动主振动 ：代入，得代入，得 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3024振动力学杆的简单边界杆的简单边界 ：固定端固定端x = 0 或或 l 自由端自由端x = 0 或或 l 设：代入：代入：乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： 利用分部积分：利用分部积分： 杆的任一端上杆的任一端上总有有或者或者成立成立 得：得：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3025振动力学乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： 同理同理乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： 相减：相减：时时则
16、必有：则必有：杆的主振型关于质量的正交性杆的主振型关于质量的正交性 进而：进而：杆的主振型关于刚度的正交性杆的主振型关于刚度的正交性 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3026振动力学关于质量的正交性关于质量的正交性 关于刚度的正交性关于刚度的正交性 当当时 恒成立恒成立令：令：第第 i 阶模态主质量阶模态主质量 第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 第第 i 阶固有频率：阶固有频率：主振型归一化：主振型归一化： 正则振型正则振型 则第第 i 阶主主刚度：度：合写为：合写为： 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3027振
17、动力学杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动 采用振型叠加法进行求解采用振型叠加法进行求解 强迫振动方程：强迫振动方程：初始条件：初始条件： 假定假定 ，已已经得出得出令：令：正则坐标正则坐标 代入方程：代入方程：两两边乘乘并沿杆并沿杆长对 x 积分分 ：利用正交性条件：利用正交性条件：第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3028振动力学模态初始条件的求解模态初始条件的求解乘乘并沿杆并沿杆长对 x 积分，由正交性条件，知有：分，由正交性条件，知有： 得：得：求得求得 后后可得可得连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的
18、纵向振动杆的纵向振动2024/7/3029振动力学如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力 可表达成分布力形式：可表达成分布力形式：正则坐标的广义力：正则坐标的广义力： 前述外部激励为分布力前述外部激励为分布力连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3030振动力学例：等直杆例：等直杆自由端作用有：自由端作用有： 为常数为常数求：杆的纵向稳态响应求：杆的纵向稳态响应 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3031振动力学解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 边界条件：边界条件：固有频率
19、：固有频率：模态函数：模态函数：代入归一化条件：代入归一化条件： 模态广义力：模态广义力：第第 i 个正则方程个正则方程 ：正则坐标的稳态响应正则坐标的稳态响应 ：杆的稳态强迫振动杆的稳态强迫振动 ：当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3032振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：一均质杆两端固定。假一均质杆两端固定。假定在杆上作用有两个集定在杆上作用有两个集中力，如图所示。中力，如图所示。试问：当这些力突然移去时，杆
20、将产生甚么样的试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的振动？振动？2024/7/3033振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动边界条件：两端固定边界条件：两端固定初始条件：初始条件：模态函数模态函数 ：解：解：杆的自由振动方程：杆的自由振动方程：固有频率：固有频率：2024/7/3034振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 2024/7/3035振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动初始条件：初始条件：应用位移初始条件：应用位移初始
21、条件：两边乘两边乘并沿杆长积分，然后利用正交性条件：并沿杆长积分，然后利用正交性条件：应用速度初始条件：应用速度初始条件：2024/7/3036振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3037振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动系统响应：系统响应：2024/7/3038振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动思考题：思考题：有一根以常速度有一根以常速度 v 沿沿 x 轴运动的杆。如果杆的中点轴运动的杆。如果杆的中点处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表达处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表
22、达式。式。在此种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两在此种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可。部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可。提示：提示：2024/7/3039振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动右半部分为一端固定、另一端自由的杆。右半部分为一端固定、另一端自由的杆。边界条件：边界条件：杆的自由振动方程：杆的自由振动方程：初始条件：初始条件：自己推导！自己推导！2024/7/3040振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：有一根有一根 x=0 端为自由、端为自由、x=l
23、端处为固定得杆，固定端端处为固定得杆，固定端承受支撑运动承受支撑运动为振动的幅值为振动的幅值试求杆的稳态响应。试求杆的稳态响应。2024/7/3041振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动解：解：方程建立方程建立微段分析微段分析应变：应变： 内力：内力：达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： 杆上距原点杆上距原点 x 处截面截面在在时刻刻 t 的的纵向位移向位移2024/7/3042振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动令：令：代入方程：代入方程： 即：即：设解为：设解为： 为归一化的正则模态为归一化的正则模态代入方程，得：代入方程，得：2024/
24、7/3043振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动用用乘上式，并沿杆长积分：乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：利用正交性：2024/7/3044振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动模态稳态解：模态稳态解：2024/7/3045振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2024/7/3046振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动杆振动分析小结杆振动分析小结1. 建立动力学方程建立动力学方程2. 根据边界条件求解固有频率和模态根据边界条件求解固有频率和模态3. 变量分离变量分离4. 代入动
25、力学方程，并利用正交性条件代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程得到模态空间方程5. 物理空间初始条件转到模态空间物理空间初始条件转到模态空间6. 模态空间方程求解模态空间方程求解7. 返回物理空间，得解返回物理空间，得解物理空间问题物理空间问题模态空间问题模态空间问题模态叠加法模态叠加法模态叠加法模态叠加法2024/7/3047振动力学教学内容教学内容一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法假设模态法假设模态法假设模态法假设模态法模态综合法模态综合法模态综合法模态综合法有限元法有限元法有
26、限元法有限元法2024/7/3048振动力学梁的弯曲振动梁的弯曲振动动力学方程动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动考虑细长梁的横向弯曲振动 梁各截面的中心惯性轴在同一平面梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）梁在该平面作横向振动（微振） 这时梁的主要变形是弯曲变形这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利欧拉梁（伯努利欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam） f(x,t): 单位长度梁上分布的外力单位长度梁上
27、分布的外力 m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 梁参数：梁参数：I 截面对中性轴的惯性积截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量单位体积梁的质量S 梁横截面积梁横截面积E 弹性模量弹性模量外部力：外部力：假设：假设：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3049振动力学动力学方程动力学方程f(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令：令：y(x,t):距原点距原点x处的截面在处的截面在t时刻时刻 的横向位移的横向位移 截面上的剪
28、力和弯矩截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力微段的惯性力 微段所受的外力微段所受的外力 微段所受的外力矩微段所受的外力矩 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3050振动力学力平衡方程力平衡方程 ：即即 ：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： 略去高阶小量：略去高阶小量：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3051振动力学变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：等截面梁
29、的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3052振动力学固有频率和模态函数固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动讨论梁的自由振动 自由振动方程：自由振动方程： 根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为： 代入自由振动方程：代入自由振动方程：对于等截面梁：对于等截面梁：通解：通解：和和应满足的足的频率方程由梁的率方程由梁的边界条件确定界条件确定 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3053振动力学等截面梁的自
30、由振动方程：等截面梁的自由振动方程： 梁的主振动：梁的主振动： 通解：通解：代入，得：代入，得：第第 i 阶主振主振动： 无穷多个无穷多个和和 由系由系统的初始条件确定的初始条件确定 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3054振动力学常见的约束状况与边界条件常见的约束状况与边界条件 （1）固定端）固定端挠度和截面转角为零挠度和截面转角为零（2）简支端）简支端挠度和弯矩为零挠度和弯矩为零（3）自由端）自由端弯矩和剪力为零弯矩和剪力为零连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁
31、的弯曲振动2024/7/3055振动力学例：例：求悬臂梁的固有频率和模态函数求悬臂梁的固有频率和模态函数解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由边界条件边界条件固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零得：得：以及：以及：非零解条件：非零解条件：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3056振动力学简化后，得：简化后，得：频率方程频率方程当当 i=1,2,3时时解得：解得：当当 时时各阶固有频率：各阶固有频率：对应的各阶对应的各阶模态函数模态函数：其中：其中：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁
32、的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3057振动力学铅垂梁的前三阶模态形状铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态一个节点一个节点两个节点两个节点无节点无节点节点位置节点位置连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3058振动力学例：例：简支梁的固有频率和模态函数简支梁的固有频率和模态函数解：解：一端圆柱固定铰一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰另一端圆柱滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零得：得：以及：以及：频率方程：频率方程：固有频率：固有频率：连续
33、系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3059振动力学频率方程：频率方程：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态模态形状模态形状节点位置节点位置无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3060振动力学例：例：两端自由梁的固有频率和模态函数两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行背景：导弹飞行系统类别：半正定系统系统类别：半正定系统存在刚体模态存在刚体模态导弹飞行导弹飞行1导弹飞行导弹飞行2
34、连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3061振动力学频率方程：频率方程：模态函数：模态函数：其中：其中：当当 i=1,2,3时时解得：解得：当当 时时自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零当当 时时对应刚体模态对应刚体模态连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3062振动力学第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态第五阶模态第五阶模态自由梁的模态形状自由梁的模态形状连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3063振动力学例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的
35、梁的频例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。度曲线。连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3064振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动解：解：梁的自由振动方程：梁的自由振动方程： 边界条件边界条件固定端：固定端：自由端：自由端：模态函数：模态函数：2024/7/3065振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3066振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动非零解条件：
36、非零解条件：频率方程：频率方程：求得：求得：对应的各阶模态函数：对应的各阶模态函数：代入：代入：2024/7/3067振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动第一阶模态：第一阶模态：第二阶模态：第二阶模态：0.5602024/7/3068振动力学例：悬臂梁例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑一端固定，另一端有弹性支撑边界条件边界条件固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧一：卷簧，与
37、截面转角成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弯矩平衡条件：弯矩平衡条件：剪力平衡条件：剪力平衡条件：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3069振动力学固定端：固定端：弹性支撑端：弹性支撑端：由固定端条件解得：由固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3070振动力学或或非零解条件导出频率方程：非零解条件导出频率方程：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3071振动力学（1）若）若k1、k2 同时为零，则退化为悬臂梁的情形同
38、时为零，则退化为悬臂梁的情形连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动讨论：讨论：2024/7/3072振动力学（2）若）若k10、k2 无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动讨论：讨论：2024/7/3073振动力学例：悬臂梁自由端附有质量例：悬臂梁自由端附有质量求频率方程求频率方程解：解：固定端：固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡利用同上述算例相同的方法，得频率方程：利用同上述算例相同的方法，得频率方程：其中：其中：为集中质量
39、与梁质量之比为集中质量与梁质量之比为梁质量为梁质量连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3074振动力学说明：说明： 以上以上以上以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁以上有关梁的分析只适用于细长梁以上有关梁的分析只适用于细长梁以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度（梁的长度大于梁高度5倍倍以上）以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响
40、若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响铁木辛柯梁铁木辛柯梁铁木辛柯梁铁木辛柯梁 （Timoshenko beamTimoshenko beam）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3075振动力学模态函数的正交性模态函数的正交性梁若为等截面，则：梁若为等截面，则： 变截面梁的自由振动方程：变截面梁的自由振动方程：主振动：主振动： 代入，得：代入，得：设：有：有：连
41、续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3076振动力学（1）（2）(1)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长对 x 积分：分：利用分部积分利用分部积分 ：在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零一个同时为零 得得 ：(3)代入（代入（3）式，有）式，有 ：(2)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长积分可得：分可得：同理，同理，相减：得相减：得 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3077振动力学如果如果时，时，则有：则有：主振型关于主振型关于质量的正交性
42、量的正交性 （1）（2）(1)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长对 x 积分：分：分部积分分部积分 ：得得 ：代入（代入（3）式，有）式，有 ：(2)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长积分可得：分可得：同理，同理，相减：得相减：得 ：(3)（4）（5）由（由（4）、（）、（5）式，得）式，得 ：主振型关于主振型关于刚度的正交性度的正交性 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3078振动力学如果如果 i = j恒成立恒成立第第 j 阶主质量阶主质量 第第 j 阶主刚度阶主刚度 第第 j 阶固有频率阶固有频率（1）（2）(1)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长对 x 积分：
43、分：分部积分分部积分 ：得得 ：代入（代入（3）式，有）式，有 ：(2)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长积分可得：分可得：同理，同理，相减：得相减：得 ：(3)（4）（5）连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3079振动力学第第 j 阶主质量阶主质量 第第 j 阶主刚度阶主刚度 第第 j 阶固有频率阶固有频率时时时时主振型中的常数按下列归一化条件确定主振型中的常数按下列归一化条件确定 ：正则振型正则振型 正则振型的正交性：正则振型的正交性：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3080振动力学梁横向振动的强迫响应梁横向振动的强
44、迫响应梁的横向强迫振动方程梁的横向强迫振动方程 ：令令 ：代入代入 ：两两边乘乘 并沿梁并沿梁长对 x 积分：分：由正交性条件，得：由正交性条件，得：第第 j 个正则坐标方程个正则坐标方程 第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 由分部积分由分部积分 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3081振动力学梁初始条件的处理梁初始条件的处理假定梁的初始条件假定梁的初始条件为： 代入：代入：两式乘两式乘并沿梁并沿梁长积分，由正交性条件可得：分，由正交性条件可得： 第第 j 个正则坐标方程：个正则坐标方程： 第第 j 个正则模态响应：个正则模态响应： 得到得
45、到 后，即可得到梁的响应后，即可得到梁的响应连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3082振动力学如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩 利用利用函数，可以表示函数，可以表示为: 有：有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3083振动力学中点受常力中点受常力P作用产生静变形作用产生静变形例：简支梁例：简支梁求：当求：当P突然移出时梁的响应突然移出时梁的响应解：解：由材力得初始条件由材力得初始条件: 梁中点的静挠度梁中点的静挠度连续系统的振动连续系统的振动
46、 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3084振动力学梁两端简支梁两端简支 固有频率：固有频率：振型函数：振型函数：代入归一化条件：代入归一化条件： 模态初始条件：模态初始条件：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3085振动力学模态初始条件：模态初始条件：没有激振力，正则广义力为零没有激振力，正则广义力为零正则广义力正则广义力模态响应：模态响应：因此有：因此有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3086振动力学例：简支梁例：简支梁求：梁的响应求：梁的响应中点受力矩中点受力矩 作用作用连续系统的振动连续系统的振动
47、/ 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3087振动力学解：解：由上例知：由上例知： 固有频率：固有频率：振型函数：振型函数：正则广义力：正则广义力：第第 i 个正则方程：个正则方程： 因此有：因此有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3088振动力学例：悬臂梁例：悬臂梁自由端作用有正弦力自由端作用有正弦力求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3089振动力学解：解：强迫振动方程强迫振动方程 ：模态函数模态函数 ：设解为设解为 ：代入方程代入方程 ：
48、连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3090振动力学利用正则模态的正交性条件利用正则模态的正交性条件 ：两两边乘乘 并沿梁并沿梁长对 x 积分：分：模态稳态解模态稳态解 ：梁的响应：梁的响应：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3091振动力学梁的响应：梁的响应：梁自由端的响应梁自由端的响应令令 x=l：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3092振动力学例：简支梁，左端承受正弦支撑运动例：简支梁，左端承受正弦支撑运动试求梁的响应。试求梁的响应。连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲
49、振动梁的弯曲振动2024/7/3093振动力学解：解：梁的振动方程：梁的振动方程： 解释：解释： 微段分析微段分析力平衡方程力平衡方程 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3094振动力学以右截面上任一点为以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：矩心，力矩平衡： 略去高阶小量，得：略去高阶小量，得：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/3095振动力学材料力学的等截面假设，弯材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：矩与挠度的关系：梁的振动方程：梁的振动方程： 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7
50、/3096振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动代入方程：代入方程： 令：令：即：即：即：即： 设解为：设解为： 为归一化的正则模态为归一化的正则模态2024/7/3097振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动代入方程，得：代入方程，得：用用乘上式，并沿杆长积分：乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：利用正交性：2024/7/3098振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动模态稳态解：模态稳态解：简支梁固有频率：简支梁固有频率：2024/7/3099振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动代
51、入：代入：2024/7/30100振动力学连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动思考题：思考题： 悬臂梁，右端简支。悬臂梁，右端简支。试求梁的响应。试求梁的响应。右端承受支撑运动右端承受支撑运动2024/7/30101振动力学变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动回顾：回顾：动力学方程动力学方程等截面梁自由振动的动力学方程：等截面梁自由振动的动力学方程：2024/7/30102振动力学回顾：回顾：固有频率和模态函数固有频率和模态函数自由振动方程：自由振动方程： 通解：
52、通解：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动常见的约束状况与边界条件常见的约束状况与边界条件 （1）固定端）固定端（2）简支端）简支端（3）自由端）自由端简支梁的固有频率和模态函数简支梁的固有频率和模态函数频率方程：频率方程：固有频率：固有频率：2024/7/30103振动力学梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动 动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程 固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数 模态函数的正交性模态函数的正交性模态函数的正交性模态函数的正交性 梁横向振动的强迫振动梁横向振动的强迫振动梁横向振动的强迫振动梁横向振动
53、的强迫振动连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024/7/30104振动力学模态函数的正交性模态函数的正交性变截面梁的自由振动方程：变截面梁的自由振动方程： 主振动：主振动： 代入，得：代入，得：设：有：有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30105振动力学（1）（2）(1)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长对 x 积分：分：利用分部积分：利用分部积分： 在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零中的一个同时为零 。得得 ：(3)代入（代入（3）式，有）式，
54、有 ： (2)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长积分可得：分可得：同理，同理，相减：得相减：得 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30106振动力学如果如果时，时，则有：则有：主振型关于主振型关于质量的正交性量的正交性 （1）（2）(1)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长对 x 积分：分：分部积分分部积分 ：得得 ：代入（代入（3）式，有）式，有 ：(2)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长积分可得：分可得：同理，同理，相减：得相减：得 ：(3)（4）（5）由（由（4）、（）、（5）式，得）式，得 ：主振型关于主振型关于刚度的正交性度的正交性 连续系统的振动连续系统的
55、振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30107振动力学如果如果 i = j,恒成立恒成立第第 j 阶主质量阶主质量 第第 j 阶主刚度阶主刚度 第第 j 阶固有频率阶固有频率（1）（2）(1)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长对 x 积分：分：分部积分分部积分 ：得得 ：代入（代入（3）式，有）式，有 ：(2)式两式两边乘乘 并沿梁并沿梁长积分可得：分可得：同理，同理，相减：得相减：得 ：(3)（4）（5）连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30108振动力学第第 j 阶主质量阶主质量 第第 j 阶主刚度阶主刚度 第第 j 阶固有频率阶固有频率时时时
56、时主振型中的常数按下列归一化条件确定主振型中的常数按下列归一化条件确定 ：正则振型正则振型 正则振型的正交性：正则振型的正交性：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30109振动力学梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程 固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数模态函数的正交性模态函数的正交性模态函数的正交性模态函数的正交性梁横向振动的强迫振动梁横向振动的强迫振动梁横向振动的强迫振动梁横向振动的强迫振动连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2024/7/30
57、110振动力学梁横向振动的强迫响应梁横向振动的强迫响应梁的横向强迫振动方程梁的横向强迫振动方程 ：令令 ：代入代入 ：两两边乘乘 并沿梁并沿梁长对 x 积分：分：由正交性条件，得：由正交性条件，得：第第 j 个正则坐标方程个正则坐标方程 第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 由分部积分由分部积分 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30111振动力学梁初始条件的处理梁初始条件的处理假定梁的初始条件假定梁的初始条件为： 代入：代入：两式乘两式乘并沿梁并沿梁长积分，由正交性条件可得：分，由正交性条件可得： 第第 j 个正则坐标方程：个正则坐标方程：
58、第第 j 个正则模态响应：个正则模态响应： 得到得到 后，即可得到梁的响应后，即可得到梁的响应 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动 主振型关于主振型关于质量的正交性量的正交性 2024/7/30112振动力学 如果作用在梁上的载荷不是分布力、力矩，而是集中力和如果作用在梁上的载荷不是分布力、力矩，而是集中力和集中力矩集中力矩. 利用利用函数，可以表示函数，可以表示为: 有：有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30113振动力学中点受常力中点受常力 P 作用产生静变形作用产生静变形.例：例：简支梁初始响应简支梁初始响应求：当求：当
59、P 突然移出时梁的响应突然移出时梁的响应解：解：由材力得初始条件由材力得初始条件: 梁中点的静挠度梁中点的静挠度.连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30114振动力学梁两端简支梁两端简支 固有频率：固有频率：振型函数：振型函数：代入归一化条件：代入归一化条件： 模态初始条件：模态初始条件：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30115振动力学模态初始条件：模态初始条件：没有激振力，正则广义力为零没有激振力，正则广义力为零正则广义力正则广义力模态响应：模态响应：因此有：因此有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
60、梁的弯曲振动2024/7/30116振动力学例：例：简支梁简支梁求：梁的稳态响应求：梁的稳态响应.中点受力矩中点受力矩 作用作用.连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30117振动力学解：解：由上例知：由上例知： 固有频率：固有频率： 振型函数：振型函数： 正则广义力：正则广义力：第第 i 个正则方程：个正则方程： 因此有：因此有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30118振动力学例：悬臂梁例：悬臂梁自由端作用有正弦力：自由端作用有正弦力：求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。连续系统
61、的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30119振动力学解：解：强迫振动方程强迫振动方程 ：模态函数模态函数 ：设解为设解为 ：代入方程代入方程 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30120振动力学利用正则模态的正交性条件利用正则模态的正交性条件 ：两两边乘乘 并沿梁并沿梁长对 x 积分：分：模态稳态解模态稳态解 ：梁的响应：梁的响应：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30121振动力学梁的响应：梁的响应：梁自由端的响应梁自由端的响应:令令 x=l：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲
62、振动梁的弯曲振动2024/7/30122振动力学小结：梁横向振动的强迫响应连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2024/7/30123振动力学教学内容教学内容一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法假设模态法假设模态法假设模态法假设模态法有限元法有限元法有限元法有限元法2024/7/30124振动力学 连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件。连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件。 当构件形状复杂或边界条件复杂时可以采用近似解法。当构件形状复杂或边界条件复杂时可
63、以采用近似解法。各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自由度的系统进行近似。由度的系统进行近似。集中质量法集中质量法 假设模态法假设模态法有限元法有限元法集中质量法集中质量法是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上。是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上。假设模态法假设模态法是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解。是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解。有限元法有限元法兼有以上两种方法的特点。兼有以上两种方法的特点。连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法2024/7/30125振动力学 集中质量法集中质量法
64、工程系统的物理参数常常分布不均匀。工程系统的物理参数常常分布不均匀。 惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体。惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体。惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量可以不计或折合到集中质量上。可以不计或折合到集中质量上。物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量.集中质量的数量取决于所要求的计算精度。集中质量的数量取决于所要求的计算精度。连续系统离散为有限自由度系统后，可以采用多自由度系统的连续系统离散为有限自由度系统后，可
65、以采用多自由度系统的分析方法进行分析。分析方法进行分析。连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法2024/7/30126振动力学 集中质量法集中质量法以等截面梁为例：以等截面梁为例：材料密度材料密度长度长度 l抗弯刚度抗弯刚度 EI将梁均分为四段，将梁均分为四段， 并将每段的质量平均分到该段的两端。并将每段的质量平均分到该段的两端。支座处的集中质量不影响梁的弯曲。支座处的集中质量不影响梁的弯曲。连续梁可用三个集中质量代替：连续梁可用三个集中质量代替：质量矩阵：质量矩阵：梁质量：梁质量：横截面积度横截面积度 S连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法2024/7/30
66、127振动力学 三个质点之间的梁段具有三个质点之间的梁段具有相同的弹性性质。相同的弹性性质。由材料力学，得柔度影响系数：由材料力学，得柔度影响系数：质量矩阵：质量矩阵：柔度矩阵：柔度矩阵：可以求解系统可以求解系统固有频率。固有频率。连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法2024/7/30128振动力学 也可将连续梁离散为两自也可将连续梁离散为两自由度或单自由度系统。由度或单自由度系统。 在求得质量矩阵和柔度矩在求得质量矩阵和柔度矩阵后，可以计算出相应的系统阵后，可以计算出相应的系统固有频率。固有频率。连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法2024/7/30129
67、振动力学连续梁连续梁三自由度系统三自由度系统两自由度系统两自由度系统单自由度系统单自由度系统固有频固有频率率精确解精确解近似解近似解误差误差近似解近似解误差误差近似解近似解误差误差0.03%0.73%6.3%0.1%3.3%0.7%结论：（结论：（1）随着自由度数目的增加，计算精度提高；（）随着自由度数目的增加，计算精度提高；（2）基频精度较高；）基频精度较高； （3）频率阶数增高，误差增大。）频率阶数增高，误差增大。连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法2024/7/30130振动力学教学内容教学内容一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的
68、弯曲振动梁的弯曲振动集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法假设模态法假设模态法假设模态法假设模态法有限元法有限元法有限元法有限元法2024/7/30131振动力学 假设模态法假设模态法利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律。利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律。 在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的解写作全部模态函数的线性组合：统的解写作全部模态函数的线性组合：模态函数：模态函数：模态坐标：模态坐标若取前若取前 n 个有限项作为近似解，则有：个有限项作为近似解，则有：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原：
69、应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但不一定满足动力学方程的不一定满足动力学方程的试函数族。试函数族。：与假设模态所对应的广义坐标：与假设模态所对应的广义坐标. 瑞利法瑞利法 里兹法里兹法连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法2024/7/30132振动力学 假设模态法瑞利法概要假设模态法瑞利法概要连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法/瑞利法瑞利法假设系统以模态假设系统以模态 作频率为作频率为 的自由振动：的自由振动：根据保守系统，机械能守恒根据保守系统，机械能
70、守恒,即即引入系统的参考动能：引入系统的参考动能：定义定义瑞利商瑞利商：与多自由度系统相同，瑞利商大于基频与多自由度系统相同，瑞利商大于基频2024/7/30133振动力学教学内容教学内容一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法假设模态法假设模态法假设模态法假设模态法有限元法有限元法有限元法有限元法2024/7/30134振动力学 有限元法20世纪五六十年代发展起来的方法世纪五六十年代发展起来的方法. 吸取了集中质量法与假设模态法的优点吸取了集中质量法与假设模态法的优点.有限元法是目前工程中计算复杂
71、结构广泛使用的方法有限元法是目前工程中计算复杂结构广泛使用的方法.每个单元作为弹性体，单元内各点的位移用节点位移的插值每个单元作为弹性体，单元内各点的位移用节点位移的插值函数表示（单元的假设模态）函数表示（单元的假设模态）.由于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数由于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数可取得十分简单，并且可令各个单元的模态相同可取得十分简单，并且可令各个单元的模态相同.将复杂结构分割成有限个将复杂结构分割成有限个单元单元，单元端点称为，单元端点称为节点节点，将节点的，将节点的位移作为位移作为广义坐标广义坐标，并将单元的质量和刚度集中到节点上，并将单元的
72、质量和刚度集中到节点上.以以杆的纵向振动杆的纵向振动为例进行介绍为例进行介绍.连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法2024/7/30135振动力学杆的纵向振动杆的纵向振动单元质量矩阵和刚度矩阵的求解将杆划分为多个单元将杆划分为多个单元;取出其中一个单元进行分析取出其中一个单元进行分析.单元长单元长 l，两端节点位移，两端节点位移 u1(t)、u2(t)x 位置截面的位移：位置截面的位移：单元假设模态：单元假设模态（形函数）（形函数） 取为一个节点坐标有单位位移、而其余节点坐标皆为零时，取为一个节点坐标有单位位移、而其余节点坐标皆为零时，单元的静变形函数单元的静变形函数:例如：例如
73、：连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法2024/7/30136振动力学x 位置截面的位移：位置截面的位移：代入，得：代入，得：单元动能：单元动能：单元质量矩阵单元质量矩阵为常数时为常数时：材料密度：材料密度：截面积：截面积连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法2024/7/30137振动力学单元势能：单元势能：单元刚度矩阵单元刚度矩阵为常数时为常数时：弹性模量：弹性模量f (x, t) 对虚位移对虚位移 的虚功：的虚功：与节点坐标：与节点坐标ue 对应的单元广义力列阵对应的单元广义力列阵若轴向力若轴向力 f (x,t) 为常力为常力连续系统的振动连续系统的振动 / 有
74、限元法有限元法2024/7/30138振动力学全系统的动力学方程以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总体结构以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总体结构.以一个例子进行说明以一个例子进行说明:杆划分为三个单元杆划分为三个单元单元质量矩阵：单元质量矩阵：单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：单元坐标单元坐标连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法2024/7/30139振动力学全部节点坐标列阵：全部节点坐标列阵：节点坐标约束条件：节点坐标约束条件：只有三个独立只有三个独立定义独立的广义坐标：定义独立的广义坐标：广义坐标列阵：广义坐标列阵：节点坐标与广义坐标之间的关系：节点坐标与广义坐
75、标之间的关系：连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法2024/7/30140振动力学全系统的动能：全系统的动能：连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法2024/7/30141振动力学质量矩阵质量矩阵 M 也可直接利用单元质量矩阵组集而成也可直接利用单元质量矩阵组集而成.方法：将单元质量矩阵将单元质量矩阵 me1、me2 和和 me3 的各个元素统一按的各个元素统一按 qi (i=1,2,3) 的下标重新编号，放入的下标重新编号，放入 M 中与编号相对应的行和列中：中与编号相对应的行和列中：连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法2024/7/30142振动力学
76、单元质量矩阵：单元质量矩阵：和广义坐标和广义坐标 相对应的质量矩阵：相对应的质量矩阵：连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法2024/7/30143振动力学全系统的势能：全系统的势能：也可组集也可组集得到：得到：连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法2024/7/30144振动力学当杆上有常值轴向力作用时，三根杆的广义外力阵为：当杆上有常值轴向力作用时，三根杆的广义外力阵为：系统的广义力阵：系统的广义力阵：作用力的总虚功：作用力的总虚功：与广义坐标与广义坐标 q 对应的广义力阵对应的广义力阵.也可将也可将Fe1、Fe2 和和 Fe3 的各个元素统一按的各个元素统一按 q
77、i (i=1,2,3) 的下标重新的下标重新编号，放入编号，放入 Q 中与编号相对应的行和列中中与编号相对应的行和列中:连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法2024/7/30145振动力学用广义坐标阵用广义坐标阵 q 表示的广义质量阵、广义刚度阵和广义外力阵：表示的广义质量阵、广义刚度阵和广义外力阵：用广义坐标阵用广义坐标阵 q 表示的全系统的动力学方程：表示的全系统的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法2024/7/30146振动力学小结：小结：模态函数的正交性模态函数的正交性等截面自由振动梁：等截面自由振动梁： 主振动：主振动： 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动主振型关于主振型关于质量的正交性量的正交性 主振型关于主振型关于刚度的正交性度的正交性 第第 j 阶固有频率阶固有频率第第 j 阶主质量阶主质量 第第 j 阶主刚度阶主刚度 2024/7/30147振动力学
