《电磁场理论课件：第二章 宏观电磁现象的基本定律》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场理论课件：第二章 宏观电磁现象的基本定律（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2024/7/30Copy right By Dr.Fang12015年年10月月8日日电磁场与电磁波课程电磁场与电磁波课程幻灯片幻灯片2024/7/30Copy right By Dr.Fang20 绪论绪论1 电磁场数学基础电磁场数学基础2 宏观电磁现象的基本定律宏观电磁现象的基本定律3 静电场静电场4 恒定电场恒定电场5 恒定磁场恒定磁场6 交变电磁场交变电磁场7 平面电磁波平面电磁波8 导波系统导波系统9 各向异性媒质中的电磁波各向异性媒质中的电磁波2 宏观电磁现象的基本定律宏观电磁现象的基本定律2024/7/30Copy right By Dr.Fang3 2-1 电磁场的量纲与单位
2、电磁场的量纲与单位 基本物理量：基本物理量： 一、一、量纲的定义量纲的定义 某物理量Q的量纲就是表示为基本物理量的幂次之积的表达式。 面积的量纲：长度、时间、质量和电流（或者电荷），分别用L、T、M、I代表。 定义量纲：定义量纲： 速度的量纲：，力的量纲： 2024/7/30Copy right By Dr.Fang4 2-1 电磁场的量纲与单位（续）电磁场的量纲与单位（续） 单位是参考基准。有了单位，量纲才能用数值表示。 关于单位关于单位例如，米是单位，长度的量纲用米来表示。 二、基本单位和导出单位二、基本单位和导出单位 表示基本量纲的单位叫作基本单位。是米（m）、公斤（kg）、秒（s）、安
3、培（A）。 其他量纲的单位都叫导出单位或是二次单位。 2024/7/30Copy right By Dr.Fang5三、量纲分析的意义三、量纲分析的意义 量纲分析可帮助判断方程式的正确性； 量纲分析可以用来决定某物理量的量纲。 某式的量纲：右边量纲分析： 2-1 电磁场的量纲与单位（续）电磁场的量纲与单位（续） 2-2 基本电磁物理量基本电磁物理量 2024/7/30Copy right By Dr.Fang61.电荷与电荷与电荷密度电荷密度图图1-1 1-1 电荷三种密度的示意图电荷三种密度的示意图 一、源量一、源量体电荷密度：体电荷密度：表面电荷密度（忽略厚度）：表面电荷密度（忽略厚度）：
4、线电荷密度（不考虑线径）：线电荷密度（不考虑线径）：图图1-1 1-1 电荷三种密度的示意图电荷三种密度的示意图 2-2 基本电磁物理量基本电磁物理量 2024/7/30Copy right By Dr.Fang71.电荷与电荷与电荷密度电荷密度一、源量一、源量点电荷点电荷 忽略带电体的大小，认为电荷位于一个几何点上，这样的带电体称为点电荷点电荷。点电荷体密度?观察点源点电量 的点电荷体密度：为无穷大!2024/7/30Copy right By Dr.Fang82.2.电流与电流密度电流与电流密度电流定义：电荷的宏观定向运动电流定义：电荷的宏观定向运动. .电流电流自由电流自由电流束缚电流束
5、缚电流传导电流传导电流运流电流运流电流电流方向：正电荷宏观运动方向电流方向：正电荷宏观运动方向. . 单位时间通过某一面积的电量。单位时间通过某一面积的电量。 2024/7/30Copy right By Dr.Fang9传导电流：传导电流： 电导率的单位是电阻率单位( m)的倒数，叫做每米西门子，通常用符号记做(S/m)。运流电流：运流电流：在电场的作用下，气体或真空中自由电荷定向运动形成的电流。它不遵从欧姆定律和焦耳定律。由自由电荷密度和电荷的平均运动速度 来确定。电导率为 的导电媒质中，在电场的作用下，自由电子定向运动形成的电流。2024/7/30Copy right By Dr.Fan
6、g10体电流密度矢量体电流密度矢量 ： 体电流模型体电流模型讨论电流密度讨论电流密度2024/7/30Copy right By Dr.Fang11 面电流密度矢量面电流密度矢量 ： 在厚度可忽略的薄层内流动的电流称为面电流，其分布用面电流密度表示。面电流模型面电流模型讨论电流密度（续）讨论电流密度（续）2024/7/30Copy right By Dr.Fang12 两种电流密度的关系：两种电流密度的关系：需要说明：需要说明：面电流是分布在薄层内的电流，是理想化的概念理想化的概念。理论上，只有在理想导体表面才有面电流存在。 体电流密度是垂直通过单位横截面的电流，因此它的单位是每平方米安培(A
7、/m2)，而不是每立方米安培(A/m3)；在一个厚度可以忽略的薄层内所形成的电流称为表面电流,表面电流密度矢量单位是每米安培(A/m)，而不是每平方米安培(A/m2)。 2024/7/30Copy right By Dr.Fang133.3.电流连续方程电流连续方程积分形式电流连续性方程根据电荷守恒定律，有电磁场的源量：电磁场的源量：电荷守恒定律：电荷守恒定律：电荷与电荷运动产生的电流。电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从一个物体转移到另一个物体。电流连续性方程示意图单位时间内流出闭合面的电量等于单位时间内闭合面电荷减少量。2024/7/30Copy right By Dr.Fang143.
8、3.电流连续方程（续）电流连续方程（续）当电流为直流，电荷分布不随时间变，得基尔霍夫电流定律 结论：结论：电路理论是电磁场理论的特例。I12024/7/30Copy right By Dr.Fang15二、场量二、场量 库仑定律：库仑定律：将单位电荷所受的电场力定义为静电场的电场强度矢量，即真空的介电常数1.1.电场强度矢量电场强度矢量 （复习）（复习）研究认为：电荷是通过电场而受力的。2024/7/30Copy right By Dr.Fang162.2.电位移矢量电位移矢量电偶极子：电偶极子：由两个相距很近的等值异号点电荷组成。由电偶极矩表示其方向与大小，定义为（ 的方向为 指向 ）：电介
9、质中的分子可分为极性分子与非极性分子。电介质中的分子可分为极性分子与非极性分子。 电介质：电介质：即绝缘体。极性分子：极性分子：整体是中性，但分子正、负电荷中心不重合，即使 无外加电场也具有电偶极矩，称为固有电偶极矩。（C.m） 二、场量（续）二、场量（续） 2024/7/30Copy right By Dr.Fang172.2.电位移矢量电位移矢量 （续）（续）极性分子：极性分子：整体是中性，但分子正、负电荷中心不重合，即使 无外加电场，就具有偶极矩，称为固有电偶极矩。无极性分子：无极性分子：正、负电荷中心重合，无外加电场时，偶极矩为 零；当有外加电场时，正、负电荷中心被拉开，获 得偶极矩，
10、称为感应电偶极矩。无极性分子有极性分子2024/7/30Copy right By Dr.Fang18： 电介质的极化：电介质的极化：相邻偶极子电荷抵消，介质出现面极化电荷（束缚电荷）。为了描述电介质的极化状态，引入电极化强度矢量 。 (2.1.18) 当介质极化不均匀时，会出现体极化电荷（束缚电荷）。2.2.电位移矢量电位移矢量 （续）（续）介质在外加电场的作用下，出现了电偶极矩。+-+-+-+-+-+-+-+-+-2024/7/30Copy right By Dr.Fang19在各向同性电介质中，电极化强度矢量与电场强度矢量成正比 称为电介质的相对介电常数。相对介电常数。2.2.电位移矢量
11、电位移矢量 （续）（续）束缚电荷与自由电荷都是产生电场的源。有电介质存在的区域，总电场为自由电荷产生场与束缚电荷产生场之和。2024/7/30Copy right By Dr.Fang20电场高斯定理：电场高斯定理： 为此引进电位移矢量电位移矢量：介质中真空中当有电介质、导体存在时，如何简单方便地使用高斯定理？ (1-1-21) 2.2.电位移矢量电位移矢量 （续）（续）2024/7/30Copy right By Dr.Fang21电位移矢量电位移矢量高斯定理：高斯定理： 思考题：在电介质区域总电场强度是增加了，还是减少了？思考题：在电介质区域总电场强度是增加了，还是减少了？+-+-+-+-
12、+-+-+-+-+-答案：在电介质区域总电场强度减少。答案：在电介质区域总电场强度减少。2024/7/30Copy right By Dr.Fang22计算公式：计算公式：毕奥萨伐尔定律单位：1特斯拉(T)1韦伯/米2(Wb/m2)104高斯洛伦磁力：洛伦磁力：3.3.磁感应强度矢量（复习）磁感应强度矢量（复习）二、场量（续）二、场量（续） 可以证明：可以证明：2024/7/30Copy right By Dr.Fang234.4.磁场强度矢量磁场强度矢量磁介质：磁介质：讨论媒质与磁场相互作用时， 称媒质为磁介质。磁偶极子：磁偶极子： 任意形状的小电流环。二、场量（续）二、场量（续） 磁偶极矩
13、：磁偶极矩： 为电流环的面积矢量，为电流环的面积矢量，I I 为电流环上电流，单位为为电流环上电流，单位为Am2。分子磁矩：分子中电子绕原子核作轨道运动和电子自旋均会产生分子磁矩：分子中电子绕原子核作轨道运动和电子自旋均会产生 电子磁矩，分子中所有电子磁矩的总和为分子磁矩。电子磁矩，分子中所有电子磁矩的总和为分子磁矩。 磁偶极子2024/7/30Copy right By Dr.Fang24磁化：磁化：外加磁场使分子内电子运动状态发生变化导致分子磁矩发生变化的现象。4.4.磁场强度矢量（续）磁场强度矢量（续）无外加磁场磁偶无外加磁场磁偶极子随机排列，极子随机排列，媒质总体上不显媒质总体上不显磁
14、性磁性外加磁场使磁偶极外加磁场使磁偶极子有序排列，磁矩子有序排列，磁矩矢量和不再是零矢量和不再是零 单位体积内磁矩 的矢量和称为磁介质的磁化磁化强度矢量，强度矢量， 磁介质不同，磁矩变化程度不同，为描述磁化程度，引入磁化强度矢量磁化强度矢量。记为 。2024/7/30Copy right By Dr.Fang25注意：注意：当磁介质内部磁化不均匀，其内部会出现磁化体电流。无外加磁场时磁偶无外加磁场时磁偶极子随机极子随机排列排列外加磁场使磁偶极外加磁场使磁偶极子有序排列子有序排列相邻磁偶极子环电流抵消，相邻磁偶极子环电流抵消，表面出现电流（磁化电流或表面出现电流（磁化电流或束缚电流）束缚电流）
15、电介质极化会出现束缚电荷，而磁介质磁化则会出现束缚电流。2024/7/30Copy right By Dr.Fang26在各向同性磁介质中，磁化强度与磁感应强度成正比：在各向同性磁介质中，磁化强度与磁感应强度成正比：为真空的磁导率。为真空的磁导率。其中其中 是相对磁导率是相对磁导率, ,磁介质磁介质顺磁质顺磁质抗磁质抗磁质铁磁质铁磁质总磁感应强度变大总磁感应强度变小总磁感应强度大大增强在磁介质区域，总磁感应强度在磁介质区域，总磁感应强度是自由电流（传导电流）产是自由电流（传导电流）产生的生的磁感应强度磁感应强度和磁化电流产生的和磁化电流产生的磁感应强度磁感应强度之和。之和。（ 与 方向相同）（
16、 与 方向相反）（ 与 方向相同）2024/7/30Copy right By Dr.Fang27为分析问题方便，引入磁场强度：为分析问题方便，引入磁场强度：安培环路定律：安培环路定律：真空中磁介质中从而从而4.4.磁场强度矢量（续）磁场强度矢量（续）二、场量（续）二、场量（续） 2024/7/30Copy right By Dr.Fang28 2-32-3 麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式 麦克斯韦麦克斯韦(1831-1879)(1831-1879)简介简介英国物理学家。16岁进入爱丁堡大学，1850年入剑桥大学研习数学，1854年毕业并留校任职。1860年到伦敦任皇家学院自
17、然哲学及天文学教授。1871年聘为剑桥大学实验物理学教授，负责筹建卡文迪许物理实验室，建成后担任主任。1879年第11月5日在剑桥逝世。 卡文迪许实验室从1904年至1989年的85年间一共产生了29位诺贝尔奖得主。 2024/7/30Copy right By Dr.Fang29 麦克斯韦的最大贡献是建立了统一的经典电磁场理论和光的电磁理论，预言了电磁波的存在。麦克斯韦方程的地位相当于牛顿定律，没有它，现在的通信广播无从谈起。 麦克斯韦的成就无论在深度和广度上都可以和爱因斯坦相比拟。如果不是受到麦克斯韦工作的启发，爱因斯坦不会取得那么巨大的成功。 爱因斯坦说：“在我求学时代，最吸引人的题目就
18、是麦克斯韦理论”，“特殊的相对论起源于麦克斯韦的电磁场方程”。1931年纪念麦克斯韦诞生100周年时，爱因斯坦把麦克斯韦的电磁场贡献评价为“自牛顿时代”以来物理学所经历的最深刻最有成效的变化。2024/7/30Copy right By Dr.Fang30麦克斯韦方程（必须牢牢记住）法拉第电磁感应定律全电流定律高斯定理磁通连续性原理2024/7/30Copy right By Dr.Fang31麦克斯韦认为：感应电动势的产生是由于导体回路存在电场，这个电场不是静电场而是“漩涡场”，而且法拉第电磁感应定律可用于任何媒质。讨论第一式讨论第一式法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律：穿过闭合导体回路
19、的磁通量变化时，回路上将产生感应电动势。物理意义：物理意义：因此时变磁场可以激发电场，是感应电场的漩涡源。另外麦克斯韦的贡献法拉第的贡献2024/7/30Copy right By Dr.Fang32讨论第二式讨论第二式安培环路定律：安培环路定律：对时变场情况下，安培环路定律在含有电容器的回路中是不成立的。L+-I围绕导线作任一闭合回路围绕导线作任一闭合回路 L以 L 为边做曲面 S1与导线相截，应有：以 L 为边做曲面 S2穿过两个极板，应有：同一个闭合路径积分，同一个闭合路径积分，却有不同结果，这个却有不同结果，这个矛盾是由于电流不连矛盾是由于电流不连续的结果。续的结果。2024/7/30
20、Copy right By Dr.Fang33在电容器两个极板上存在着电荷，电荷密度随时间变化，有一个充放电过程。因此两板之间存在变化的电场。 麦克斯韦的贡献：麦克斯韦的贡献：修正安培环路定律，提出了位移电流ID。关键问题：位移电流与电场是什么关系？+-I显然，位移电流应当等于传导电流。位移电流体密度2024/7/30Copy right By Dr.Fang34物理意义：物理意义：安培环路定律：安培环路定律：麦克斯韦将位移电流加进去，变成了全电流定律。前两式是麦克斯韦方程的核心，说明时变电场和时变磁场互相激发。因此麦克斯韦预言存在着电磁波。电流和时变电场均可激发磁场，均是磁场的漩涡源。202
21、4/7/30Copy right By Dr.Fang351888年德国物理学家赫兹（18571894）的实验证实了这一预见。赫兹设计的电磁波发生和接收装置赫兹设计的电磁波发生和接收装置相距相距1010米米2024/7/30Copy right By Dr.Fang36讨论第讨论第3 3式和第四式式和第四式物理意义：物理意义： 上式是电介质中的高斯通量定理，对时变电荷与静止电荷都成立。只有高斯面内的自由电荷才对穿过该面的电位移矢量有贡献。高斯通量定理高斯通量定理磁通连续性原理磁通连续性原理物理意义：物理意义：电场由电荷产生，电荷是电场的通量源。磁场无通量源，是漩涡场，磁力线没有起点也没有终点而
22、是闭合的，或者说不存在磁荷。 2024/7/30Copy right By Dr.Fang37例例 电源u(t)=U0sin(t) 接在平板电容器C的两端。(1)证明 电容器C中的位移电流ID与导线中的传导电流 I 相等；(2) 求导线MN周围的磁场强度H (忽略其它导线的影响)。极板面积A，间距d，介电常数，则： 解：解： (1) 导线中的传导电流为 平行板电容器中的电场：E = u/d在与导线垂直的平面上磁力线都是同心圆，以导线为圆心取半径为r的圆环，在这个环面的周界L上磁场处处相等。 2024/7/30Copy right By Dr.Fang38电容器极板外的磁场强度为 (2) 求导线
23、MN周围的磁场强度H2024/7/30Copy right By Dr.Fang39例例 已知某良导体的电导率为 = 107 S/m，相对介电常数 r = 1.0。如果导体中的电场为E = E0cos( t)，试求位移电流密度的振幅值 JD与传导电流密度的振幅值 J 之比。 解：解：由已知条件可求得位移电流、传导电流分别为 可以看出，导体中位移电流相角超前于传导电流90低频时导体内的位移电流远远小于传导电流。 2024/7/30Copy right By Dr.Fang40 积分形式的麦克斯韦方程组定量地表示了电磁场量之间在较大范围（一根线，一个面积，一个体积）内的相互关系。但在实际中，更需要
24、了解场量在某一点上的相互关系，这就需要把麦克斯韦方程组积分形式转换为麦克斯韦方程组微分形式。 利用散度定理和斯托克斯定理进行转换。斯托克斯定理：斯托克斯定理：2-4 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式散度定理：散度定理： 2024/7/30Copy right By Dr.Fang41 物理意义：略 2024/7/30Copy right By Dr.Fang42推导电流连续性方程的微分形式推导电流连续性方程的微分形式电流连续性方程的积分形式根据高斯公式： 由此可得电流连续性方程的微分形式 ： 说明：说明：2-4 麦克斯韦方程组的微分形式（续）麦克斯韦方程组的微分形式（续）麦克斯
25、韦方程组两个旋度方程和电流连续性方程是独立的；而两个散度方程是非独立的，它们可由旋度方程和电流连续性方程导出来。2024/7/30Copy right By Dr.Fang43 推导采用微分形式，应用。由第一式可以推导采用微分形式，应用。由第一式可以推出第四式。推出第四式。推导第式：推导第式：2024/7/30Copy right By Dr.Fang44推导第式：推导第式：由第二式和电流连续性方程，可以推出第三式。由第二式和电流连续性方程，可以推出第三式。电流连续性方程： 2024/7/30Copy right By Dr.Fang45 麦克斯韦方程组有 , 五个矢量和一个标量，相当于16个
26、标量，而麦克斯韦方程组和电流连续性方程只有三个独立方程，能分解成七个标量方程，无法求出16个标量。为此引入辅助方程或称本构方程。需要说明：需要说明：这三个方程只在简单媒质中成立。2024/7/30Copy right By Dr.Fang46线性媒质：线性媒质：媒质参数与场强大小无关，否则称为非线性媒质。 各向同性各向同性(Isotropic)(Isotropic)媒质：媒质：媒质参数与场强的方向无关，否 则称为各向异性媒质。理想介质：理想介质： 的媒质。理想导体：理想导体： 的媒质。导电媒质：导电媒质： 介于0和之间的媒质。 2 2-5 各种媒质的定义各种媒质的定义均匀媒质：均匀媒质：媒质参
27、数与位置无关，否则称为非均匀媒质。色散媒质：色散媒质：媒质参数与场强频率有关，否则称为非色散媒质。简单媒质：简单媒质：线性、均匀、各向同性的媒质。 2024/7/30Copy right By Dr.Fang47各向同性介质：各向同性介质：在给定空间，所考察点邻域之内,各个方向上的物质的电磁特性均相同。 电位移矢量 坐标分量不仅与电场强度矢量 相应的坐标分量有关，而且还与其他两个坐标分量有关；磁感应强度矢量 的坐标分量不仅与磁场强度矢量 相应的坐标分量有关，而且还与其他两个坐标分量有关。各向异性介质的介电常数不再是一个数值，磁导率也不再是一个数值，都成了用矩阵表示的张量。 各向异性（各向异性（
28、anisotropic）介质）介质2024/7/30Copy right By Dr.Fang482-6 2-6 时变电磁场的边界条件时变电磁场的边界条件 边界条件：边界条件：场矢量越过不同媒质的分界面时所满足的方程。表示由介质2指向介质1的分界面法向单位矢量。理想导体内的场理想导体内的场理想导体内也不存在时变磁场，因为若有磁场存在必定感应出电场。 良导体非常大，若电场不趋于零，电流就相当大，这与物理事实不符。由此可以推断理想导体内电场为零。2024/7/30Copy right By Dr.Fang49 一、法向分量的边界条件一、法向分量的边界条件1.1.电位移矢量的法向分量边界条件电位移矢
29、量的法向分量边界条件 高斯定理高斯定理由于S很小, 、 、 在积分区域保持不变。下底面法向与分界面法向方向相反。 ， 有限，所以侧面通量为0。 ，无体电荷，所以 。电位移矢量法向边界条件矢量形式2024/7/30Copy right By Dr.Fang50两种理想介质分界面 理想导体与理想介质分界面 或 电位移矢量法向边界条件标量形式1.1.电位移矢量的法向分量边界条件（续）电位移矢量的法向分量边界条件（续） 电位移矢量法向边界条件矢量形式或 两种一般媒质分界面或 2024/7/30Copy right By Dr.Fang512. 2. 磁感应强度矢量的法向分量边界条件磁感应强度矢量的法向
30、分量边界条件两种理想介质分界面或或 理想导体与理想介质分界面： 或或 磁通连续性原理：磁通连续性原理：考虑 ，可得：磁感应强度法向边界条件矢量形式磁感应强度法向边界条件标量形式两种一般媒质分界面或或 2024/7/30Copy right By Dr.Fang52二、切向分量的边界条件二、切向分量的边界条件三者满足：三者满足：矢量公式：矢量公式： 在两种媒质的分界面上作一无限小的矩形回路，其侧边 。 分别是矩形回路面的单位法向矢量、分界面的单位法向矢量、矩形长边的单位矢量。2024/7/30Copy right By Dr.Fang53 1. 1.磁场强度矢量的切向分量边界条件磁场强度矢量的切
31、向分量边界条件h为高阶无穷小，体电流可视为面电流： h为高阶无穷小， 有限，则 全电流定律: （课件12页）2024/7/30Copy right By Dr.Fang54公式：公式：利用上面两个公式，可得利用上面两个公式，可得 矩形回路可以在分界面上任意选择，也就是说矩形回路所包围面的单位法向矢量 是任意的，所以下式成立：磁场强度切向边界条件矢量形式已知：已知：2024/7/30Copy right By Dr.Fang55两种理想介质分界面 理想导体与理想介质分界面 磁场强度切向边界条件矢量形式磁场强度切向边界条件标量形式两种一般媒质分界面2024/7/30Copy right By Dr
32、.Fang562.2.电场强度矢量的切向分量边界条件电场强度矢量的切向分量边界条件同理可得电场强度切向分量边界条件的矢量形式和标量形式： 两种理想介质分界面 理想导体与理想介质分界面 法拉第电磁感应定律：两种一般媒质分界面2024/7/30Copy right By Dr.Fang57归纳时变电磁场的边界条件归纳时变电磁场的边界条件电位移矢量法向边界条件， 磁感应强度法向边界条件磁场强度切向边界条件电场强度切向边界条件，内导体2024/7/30Copy right By Dr.Fang58什么是同轴线？什么是同轴线？2-7 一段两端用导体封闭的同轴线，所有导体的电导率为。同轴线内导体半径为a，
33、外导体内半径为b，长为l，内外导体间填充空气。已知内外导体间的磁场为解：解：内外导体的轴线为z轴，两端面分别位于z=0和z=l处，求：（1）内外导体间电场；（2）内外导体间的位移电流 Id ；（3）z=0、z=l、=a和=b的导体表面上的与。Uab0lz=0z柱坐标系：（1）内外导体间电场微分形式麦氏方程组第2式：内外导体间为空气，电导率为0(n=1,2,)边界条件：Uab0lz=0z（2）内外导体间的位移电流 Id 边界条件：Uab0lz=0z(3) z=0、z=l、=a和=b导体表面上的与。z=0：z=l：ab0lz=0z=a：,=b：2024/7/30Copy right By Dr.Fang64例例 设 z0 为空气，z 0为理想导体，分界面处的磁场强度为求理想导体表面的面电流密度、面电荷密度和分界面处电场强度。 由题意可知导体表面上法线单位矢量为： 解：解：根据电流连续性方程： 2024/7/30Copy right By Dr.Fang65作业：2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6由边界条件：由边界条件： ，且，且 ，可得，可得 2024/7/30Copy right By Dr.Fang66谢谢认真听课的同学！谢谢认真听课的同学！
