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1、会计学1三垂线三垂线(chu xin)定理及逆定理定理及逆定理第一页，共19页。一、复习引入：一、复习引入：1、什么叫平面的斜线、什么叫平面的斜线(xi xin)、垂线、垂线,什么叫射影？什么叫射影？a aA AP Po o PO PO是平面是平面是平面是平面(pngmin)(pngmin)的斜线的斜线的斜线的斜线, , OO为斜足为斜足为斜足为斜足; ; PA PA是平面是平面是平面是平面(pngmin)(pngmin)的垂线的垂线的垂线的垂线, A, A为为为为垂足垂足垂足垂足; ; AOAO是是是是POPO在平面在平面在平面在平面 内的射影内的射影内的射影内的射影. .三垂线定理三垂线定
2、理三垂线定理三垂线定理第1页/共18页第二页，共19页。a aA AP Po o 二、新课学习二、新课学习(xux):(xux):2. 2. 如果如果如果如果 a , aa , a AOAO，思考思考思考思考 a a 与与与与 PO PO 的关系如何？你能否由此得出一般的规律的关系如何？你能否由此得出一般的规律的关系如何？你能否由此得出一般的规律的关系如何？你能否由此得出一般的规律? ?第2页/共18页第三页，共19页。P Pa aA Ao o 三垂线三垂线三垂线三垂线(chu (chu xin)xin)定理定理定理定理已知已知: : PAPA、PO PO 分别是平面分别是平面的垂线、斜线，的
3、垂线、斜线，AOAO 是是POPO在平面在平面内的射影，且内的射影，且a a , aAO aAO求证：求证： aPOaPO 在平面内的一条直线在平面内的一条直线在平面内的一条直线在平面内的一条直线(zhxin)(zhxin)(zhxin)(zhxin)，如果和这个平面的一条，如果和这个平面的一条，如果和这个平面的一条，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。第3页/共18页第四页，共19页。已知已知: PA、PO分别是平面分别是平面 的垂线、斜线，的垂线、
4、斜线，AO是是PO 在平面在平面 内的射影，且内的射影，且a ，a AO求证：求证： a POP Pa aA Ao o 证明证明(zhngmng)：线面垂直(chuzh)定义判定(pndng)定理线面垂直定义线面线面垂直垂直线线线线垂直垂直线面垂直线面垂直线线线线垂直三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理PA a PAaAOaPO 平面PAOaPOa平面PAO第4页/共18页第五页，共19页。三垂线三垂线三垂线三垂线(chu (chu xin)xin)定理：定理：定理：定理：P Pa aA Ao o 提提问问: : 若若将将条条件件 aAOaAO与与结结论论中中a a POPO交交 换换(j
5、iohun)(jiohun)位位置置是否还成立？是否还成立？ 线射垂直(chuzh)线斜垂直三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理已知已知: PA、PO分别是平面分别是平面的垂线、斜线，的垂线、斜线， AO是是PO在平面在平面内的射影，且内的射影，且a ，a AO求证：求证： a PO 在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线的平面的一条斜线的平面的一条斜线的平面的一条斜线的 垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条 垂直。垂直。垂直。垂直。射影射影射影射影
6、斜线斜线斜线斜线第5页/共18页第六页，共19页。 在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个(zh (zh (zh (zh ge)ge)ge)ge)平面的一条平面的一条平面的一条平面的一条 垂直，那么它也和这条斜线的垂直，那么它也和这条斜线的垂直，那么它也和这条斜线的垂直，那么它也和这条斜线的 垂直。垂直。垂直。垂直。P Pa aA Ao o 已知已知: PA、PO分别是平面分别是平面的垂线、斜线，的垂线、斜线，AO是是PO在平面在平面内的射影，且内的射影，且a ，a PO求证：求证： a AO斜线斜线斜线斜线(x
7、i (xi xin)xin)射影射影射影射影(shy(shyng)ng)三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理证证明明:PAa PAaPOaaAOa平面PAOAO 平面PAO第6页/共18页第七页，共19页。 在平面内的一条直线，如果在平面内的一条直线，如果在平面内的一条直线，如果在平面内的一条直线，如果(rgu)(rgu)(rgu)(rgu)和这和这和这和这 个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。三垂线三垂线三垂线三垂线(
8、chu (chu xin)xin)逆定理：逆定理：逆定理：逆定理： 线斜垂直(chuzh)线射垂直已知已知: PA、PO分别是平面分别是平面的垂线、斜线，的垂线、斜线，AO是是PO在平面在平面内的射影，且内的射影，且a ，a PO求证：求证： a AOP Pa aA Ao o 三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理第7页/共18页第八页，共19页。 (1) (1) (1) (1)、三垂线、三垂线、三垂线、三垂线(chu xin)(chu xin)(chu xin)(chu xin)定理及逆定理描述的是定理及逆定理描述的是定理及逆定理描述的是定理及逆定理描述的是PA(PA(PA(PA(垂线垂线
9、垂线垂线(chu xin)(chu xin)(chu xin)(chu xin)与与与与(平面平面平面平面 ) ) ) )、 AO( AO( AO( AO(射影射影射影射影) ) ) )与与与与a (a (a (a (直直直直线线线线) ) ) ) 、 PO( PO( PO( PO(斜线斜线斜线斜线) ) ) )与与与与 a( a( a( a(直线直线直线直线) ) ) )之间的垂直关系之间的垂直关系之间的垂直关系之间的垂直关系; ; ; ; (2)(2)(2)(2)、a a a a与与与与POPOPOPO可以可以可以可以(ky)(ky)(ky)(ky)相交，也可以相交，也可以相交，也可以相交
10、，也可以(ky)(ky)(ky)(ky)异面异面异面异面; ; ; ; (3)(3)(3)(3)、三垂线定理实质、三垂线定理实质、三垂线定理实质、三垂线定理实质(shzh)(shzh)(shzh)(shzh)是平面的一条斜线和平面内的一条直线是平面的一条斜线和平面内的一条直线是平面的一条斜线和平面内的一条直线是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理垂直的判定定理垂直的判定定理垂直的判定定理; ; ; ;逆定理是平面内一条直线和斜线的射影的垂逆定理是平面内一条直线和斜线的射影的垂逆定理是平面内一条直线和斜线的射影的垂逆定理是平面内一条直线和斜线的射影的垂直的判定定理直的判定定理直的判定定
11、理直的判定定理. . . .三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理使用三垂线定理及逆定理还应注意使用三垂线定理及逆定理还应注意 的问题的问题 PAOadcb第8页/共18页第九页，共19页。三、例题三、例题(lt)(lt)分分析：析： 例例例例 1 1 1 1、判定下列、判定下列、判定下列、判定下列(xili)(xili)(xili)(xili)命题是否正确命题是否正确命题是否正确命题是否正确? ? ? ? (1) (1) (1) (1)若若若若b b b b是平面是平面是平面是平面的斜线、直线的斜线、直线的斜线、直线的斜线、直线(zhxin)a(zhxin)a(zhxin)a(zhxin)
12、a垂直于垂直于垂直于垂直于b b b b在平面在平面在平面在平面内的射影，则内的射影，则内的射影，则内的射影，则babababa。 ( ) ( ) ( ) ( ) (2)(2)若若若若b b是平面是平面是平面是平面 的斜线、的斜线、的斜线、的斜线、平面平面平面平面 内的内的内的内的直线直线直线直线a a垂直于垂直于垂直于垂直于b b在在在在平面平面平面平面 内的射影，则内的射影，则内的射影，则内的射影，则b b a a。( ) ( ) 三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理仔细想一想第9页/共18页第十页，共19页。例例 2. 如如图图；PA面面ABC，AB是是圆圆O的的直直径径(zhjng
13、),C是是圆圆O上上的的任任一一点点（异异于于A、B两点两点).则图中直角三角形的个数是则图中直角三角形的个数是( ) A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个 三、例题三、例题(lt)分析分析: D想想(xin xin)有几个？PCBA第10页/共18页第十一页，共19页。 例例例例3 3 3 3、路旁有一条河，彼岸有电塔、路旁有一条河，彼岸有电塔、路旁有一条河，彼岸有电塔、路旁有一条河，彼岸有电塔ABABABAB，只有，只有，只有，只有(zhyu)(zhyu)(zhyu)(zhyu)测角器和皮尺测角器和皮尺测角器和皮尺测角器和皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？作测量工具，
14、能否求出电视塔顶与道路的距离？作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？ 解：在路边解：在路边解：在路边解：在路边(l bin)(l bin)(l bin)(l bin)取一点取一点取一点取一点C C C C，使使使使BCBCBCBC与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于(dngy)90(dngy)90(dngy)90(dngy)90，再在道边取一点再在道边取一点再在道边取一点再在道边取一点D D D D，使水平角使水平角使水平角使水平角 CDBCDBCDBCDB等于等于等于等于45454545，测得测得测得测
15、得C C C C、D D D D的距离等于的距离等于的距离等于的距离等于a m.a m.a m.a m.B BA AC C9090D D4545三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理三、例题分析：三、例题分析：第11页/共18页第十二页，共19页。B BA AC C9090D D4545 BC BC BC BC是是是是ACACACAC的射影的射影的射影的射影(shyng) (shyng) (shyng) (shyng) 且且且且CDBC CDAC CDBC CDAC CDBC CDAC CDBC CDAC CDB=45CDB=45CDB=45CDB=45，CDBCCDBCCDBCCDBC，C
16、D=a m BC=a mCD=a m BC=a mCD=a m BC=a mCD=a m BC=a m，答：电塔顶与道路答：电塔顶与道路答：电塔顶与道路答：电塔顶与道路(dol)(dol)(dol)(dol)的距离是的距离是的距离是的距离是 因此斜线因此斜线因此斜线因此斜线ACACACAC的长度的长度的长度的长度(chngd)(chngd)(chngd)(chngd)就是电塔顶与道路的距就是电塔顶与道路的距就是电塔顶与道路的距就是电塔顶与道路的距离。离。离。离。三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理测出仰角测出仰角 ACB=,于是有于是有AC=第12页/共18页第十三页，共19页。(1) 已
17、知已知:PA 正方形正方形ABCD所在所在(suzi)平平 面，面，O为对角线为对角线BD的的中点中点.求证：求证：PO BD，PC BD 证明证明(zhngmng):ABCD为正方形为正方形 O为为BD的中点的中点(zhn din) AO BD又又AOAO是是POPO在在ABCDABCD上的射影上的射影 PO BD 同理，同理，ACAC BD ACAC是是PCPC在在ABCDABCD上的射影上的射影PC BD四四、课堂练习课堂练习:三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理POABCD第13页/共18页第十四页，共19页。PMCAB(2) 已知：已知：PA 平面平面PBC，PB=PC， M是是
18、BC的中点的中点(zhn din)， 求证：求证：BC AMBC AM证明证明(zhngmng): PB=PCM是是BC的中点的中点(zhn din) PM BCPA 平面平面PBCPM是是AM在平面在平面PBC上的射影上的射影 三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理第14页/共18页第十五页，共19页。 1 1 1 1、三垂线、三垂线、三垂线、三垂线(chu (chu (chu (chu xin)xin)xin)xin)定理定理定理定理五、课堂五、课堂(ktng)(ktng)小结小结(3)(3)(3)(3)操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤(bzhu)
19、“(bzhu)“(bzhu)“(bzhu)“一垂一垂一垂一垂, , , ,二射二射二射二射, , , ,三证三证三证三证.”.”.”.”(1)(1)(1)(1)定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言(2)(2)(2)(2)应用定理关键是找应用定理关键是找应用定理关键是找应用定理关键是找“基准面基准面基准面基准面”这个参照系这个参照系这个参照系这个参照系三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2、三垂线逆定理、三垂线逆定理P Pa aA Ao o 第15页/共18页第十六页，共19页。六、课后作业六、课后作业(zu
20、y):书书P25的习题的习题9.4的的3、4题题,并预并预习习(yx)后面的内容后面的内容.第16页/共18页第十七页，共19页。第17页/共18页第十八页，共19页。内容(nirng)总结会计学。1、什么叫平面的斜线(xi xin)、垂线,什么叫射影。已知: PA、PO 分别是平面的垂线、斜线(xi xin)，AO。在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条。斜线(xi xin)的射影垂直，那么它也和这条斜线(xi xin)垂直。个平面的一条斜线(xi xin)垂直，那么它也和这条斜线(xi xin)的射影垂直。(3)、三垂线定理实质是平面的一条斜线(xi xin)和平面内的一条直线。逆定理是平面内一条直线和斜线(xi xin)的射影的垂。(1)若b是平面的斜线(xi xin)、直线a垂直于b在平面。测出仰角ACB=,于是有AC=第十九页，共19页。
