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1、4.1 4.1 根轨迹的概念根轨迹的概念一.根轨迹法是1948年伊凡思（Evans）提出的，该法是在已知控制系统开环传函的极、零点分布的基础上，研究某一个或某些系统参数的变化对控制系统闭环传函极点分布影响的一种图解法。二.根轨迹 是指当系统某个参数（比如开环增益k）由零到无穷大变化时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。举例： 开环传函：K为开环增益（因为标准型）有两个开环极点无开环零点 闭环传函： 则闭环特征方程为： 闭环特征根（即闭环传函的极点）：4.1 4.1 根轨迹的概念根轨迹的概念1.考虑某一参数变化后，闭环极点的变化规律。通过极考虑某一参数变化后，闭环极点的变化规律。通过极点的轨迹了解
2、系统动态性能的变化。点的轨迹了解系统动态性能的变化。2.利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭环系利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点的分布统的极点的分布。G(s)H(s)+-闭环传递函数分母方程闭环传递函数分母方程即特征方程即特征方程根轨迹方程根轨迹方程4.1 4.1 根轨迹的概念根轨迹的概念3 3 绘制根轨迹的条件：绘制根轨迹的条件：由由得得幅值条件幅值条件相角条件相角条件为为m m个开环零点个开环零点为为n n个开环极点个开环极点k根轨迹增益4.1 4.1 根轨迹的概念根轨迹的概念模条件与角条件的作用：模条件与角条件的作用：1 1、角条件与、角条件与k k无关，即无
3、关，即s s平面上所有满足角条件的点平面上所有满足角条件的点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条件都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条件就足够了）。就足够了）。2 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨迹、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨迹增益增益k k值。值。0几何意义：几何意义：从各开环极点引向根轨迹上的点s的矢量 的长度的乘积除以从各开环零点引向根轨迹上的点s的矢量的长度的乘积所得的商即为该s点对应的系数k值. 4.1 4.1 根轨迹的概念根轨迹的概念例：开环极点为：开环极点为：无开环零点无开环零点j 0-0.5 -p1-p24.1 4.1 根轨迹的概念根轨迹的
4、概念试探法试探法(1)在实轴上取在实轴上取S1= -0.1S1j 0-0.5 -p1-p2S1对应的对应的 同理同理 ，实轴上，实轴上 之间的点都是根轨迹上之间的点都是根轨迹上的点。的点。 4.1 4.1 根轨迹的概念根轨迹的概念(2)(2)在复平面上取在复平面上取S S2 2= -0.25 + j0.25= -0.25 + j0.25S S1 1对应的对应的 同理同理 ，实轴垂直平分线上的所有点都是根轨，实轴垂直平分线上的所有点都是根轨迹上的点。迹上的点。 S2j 0-0.5 -p1-p2 -0.254.2 4.2 根轨迹的绘制规则根轨迹的绘制规则规则一：根轨迹对称于实轴。规则二：根轨迹的分
5、支数，起点，终点。（1）分支数等于闭环特征方程的阶数n：（因为n阶方程应有n个根，当 时，n个根都随k变）（2）根轨迹起始于开环极点（n个）（3）根轨迹终止于开环零点（m个）和（n-m）个无穷远处。因为 由根轨迹方程：起点，即k=0。只有当 时，为无穷大。终点，即 ,只有当 或 为0。4.2 4.2 根轨迹的绘制规则根轨迹的绘制规则规则三：规则三：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹分析：（1）共轭复零点或极点所产生的相角等值反号。所以不影响相角条件；（2）s点左侧零、极点相角都为0，所以也不影响相角条件。（3）s点右侧零、极点相角为 而相角条件 即奇数个所以结论：实轴上线段右侧右侧的零、极点数目之和
6、为奇数时，此区段为根轨迹。j 例例4.2 4.2 根轨迹的绘制规则根轨迹的绘制规则规则四：规则四：根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线： （1）条数：）条数： （n-m）条）条 （2）与实轴所成角度）与实轴所成角度当当 时，认为所有开环零极点引向时，认为所有开环零极点引向s的角相同的角相同 （3）与实轴交点坐标：）与实轴交点坐标：即即极点坐标之和极点坐标之和 - 零点坐标之和零点坐标之和 极点数极点数 零点数零点数规则五两条或两条以上的根轨迹分支在S平面上某点相遇后立即分开，则称该点为分离点，分离点的坐标d可由以下方程求得：证明：闭环系统的特征方程为：证明：闭环系统的特征方程为：根轨迹在根轨迹在S平
7、面上某点相遇，则意味着上式有重根平面上某点相遇，则意味着上式有重根代数方程有重根的条件：代数方程有重根的条件：D(s)=0, dD(s)/ds=0化简：化简：因为：因为：最后得：最后得：根轨迹的分离点：分离点在两极点之间，会合点在两零根轨迹的分离点：分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。分离点点之间。分离点( (会合点会合点) )是闭环特征方程的重根。是闭环特征方程的重根。闭环特征方程：闭环特征方程：另一种求分离点和会合点的方法另一种求分离点和会合点的方法消去消去k k得得例：例： 求闭环根轨迹的分离点坐标。求闭环根轨迹的分离点坐标。法一：法二：-1d1.5规则六规则六根轨迹离开复数极点的切
8、线方向与正实轴间根轨迹离开复数极点的切线方向与正实轴间的夹角称为出射角；进入复数零点的切线方的夹角称为出射角；进入复数零点的切线方向与正实轴间的夹角称为入射角。向与正实轴间的夹角称为入射角。它们的计算公式为：它们的计算公式为：出射角出射角 = 1800 + 各零点指向本极点的方向角各零点指向本极点的方向角 - 其他极点指向本极点的方向角其他极点指向本极点的方向角入射角入射角 = 1800 - 其他零点指向本零点的方向角其他零点指向本零点的方向角+ 各极点指向本零点的方向角各极点指向本零点的方向角规则七规则七若根轨迹与虚轴相交，其交点处的若根轨迹与虚轴相交，其交点处的 值和对值和对应的应的k可由
9、劳斯判据求得，或将可由劳斯判据求得，或将s=j 代入特征代入特征方程，并令其实部和虚部分别相等求得。方程，并令其实部和虚部分别相等求得。根轨迹与虚轴相交，说明系统处于临界稳定状态，根轨迹与虚轴相交，说明系统处于临界稳定状态，可令劳斯阵列第一列中包含可令劳斯阵列第一列中包含k k的项为零，求出的项为零，求出k k。如果根轨迹与正虚轴有一个交点，说明特征方程如果根轨迹与正虚轴有一个交点，说明特征方程有一对纯虚根，可利用劳斯阵列中有一对纯虚根，可利用劳斯阵列中s s2 2项的系数构项的系数构成辅助方程，解此方程可求得交点处的成辅助方程，解此方程可求得交点处的 值。若值。若交点多于一个，可用大于交点多
10、于一个，可用大于2 2的偶次幂所在行的系的偶次幂所在行的系数构成辅助方程，求得根轨迹与虚轴的交点数构成辅助方程，求得根轨迹与虚轴的交点或或根轨迹与虚轴的交点：由根轨迹与虚轴的交点：由s s = j = j 代入闭环特征方程代入闭环特征方程可得，可得，D(jD(j ) = 0) = 0，由方程可得，由方程可得交点的交点的 值。值。例例根轨迹的分离点：根轨迹的分离点：舍去4.2 4.2 根轨迹的绘制根轨迹的绘制与虚轴交点：与虚轴交点：代入实部，代入实部，kk=48=48实部实部虚部虚部临界放大倍数临界放大倍数Routh 表表：S3 1 8S2 6 kS1 0S0 k 0KK=48=48时，时，S
11、S1 1行全为行全为0 0辅助方程辅助方程：6S24804.3 4.3 根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例例例4.3-1 已知控制系统的开环传递函数为已知控制系统的开环传递函数为要求绘制系统的根轨迹。要求绘制系统的根轨迹。1.系统的特征方程为5阶，故根轨迹有5支。起始点：p1=0; p2=-5; p3=-6; p4=-1+j; p5=-1-j;终止点：z1=0;(有限零点）有4个无穷远终止点2.有四条根轨迹趋于无穷远处，故有四条渐近线： 夹角：交点：3.实轴上的根轨迹位于0-3及-5-6之间4.根轨迹离开复数极点-1+j的起始角为5.根轨迹的分离点或：a=1 13.5 66 142 123 45;r
12、oots(a)ans = -5.5257 -3.3311 + 1.2040i -3.3311 - 1.2040i -0.6560 + 0.4677i -0.6560 - 0.4677ir:用MATLAB求根：d=-5.536. 根轨迹与虚轴交点可利用劳斯判据确定。解得：k=35.6由：由：k=35.6时的值由以下辅助方程确定：代入k=35.6：rlocus(1 3,1 13 54 82 60 0)用：4.3 4.3 根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例例例4.3-2 已知控制系统的开环传递函数为已知控制系统的开环传递函数为要求绘制系统的以要求绘制系统的以T为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。解法：解法
13、：A与与K等价等价1. 系统的闭环特征方程：2. 求等效开环传递函数：3. 起始点：p12=-1j; 终止点：z1=0, z2= 0, z3= -24. 实轴上的根轨迹位于：- -25. 从复数极点起始的相角为：进入原点的终止相角为：4.3 4.3 根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例例例4.3-3 已知控制系统的开环传递函数为已知控制系统的开环传递函数为要求绘制正反馈系统的根轨迹。要求绘制正反馈系统的根轨迹。背景：复杂系统中可能局部回路是正反馈子系统。背景：复杂系统中可能局部回路是正反馈子系统。特征方程变为：特征方程变为：或或幅角条件：幅值条件：开环传函：修正规则三 实轴上若某线段右侧的开环零极点个
14、数之和为偶数，则此线段为根轨迹的一部分修正修正规则六规则六根轨迹离开复数极点的切线方向与正实轴间根轨迹离开复数极点的切线方向与正实轴间的夹角称为起始角，进入复数零点的切线方的夹角称为起始角，进入复数零点的切线方向与正实轴间的夹角称为终止角，计算公式：向与正实轴间的夹角称为终止角，计算公式：修正规则四当有限开环极点数n大于有限开环零点数m时，有n m条根轨迹沿n m条渐近线趋于无穷远处，这n m条渐近线在实轴上相交于一点，交点坐标为：渐近线与实轴的夹角为：分离角为：1.起始点：p12=-1 j; p34=-12 j; 2. 实轴上的根轨迹位于：- +4. 从复数极点起始的相角为：5. 分离点：3
15、. 根轨迹有4条渐近线d=-1解得6. 与虚轴交点：k=0, s=0解得j04.3 4.3 根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例例例4.3-4 已知非最小相位系统的开环传递函数为已知非最小相位系统的开环传递函数为要求绘制系统的根轨迹。要求绘制系统的根轨迹。对于非最小相位系统，需要根据特征方程确定对于非最小相位系统，需要根据特征方程确定是按负反馈还是正反馈条件绘制根轨迹。是按负反馈还是正反馈条件绘制根轨迹。例如：例如：化成标准形式：根轨迹方程：按正反馈系统条件绘制该系统根轨迹2. 实轴上的根轨迹位于：0-3，-1 +）1.起始点：p=0; p23=-22 j sqrt(3); 3. 根轨迹有1条渐近线,与实轴重合4. 分离点：解得：d=3.65. 从复数极点起始的相角为：6. 与虚轴交点：令特征方程的实部和虚部分别为零解得：num=-1 -2 3;den=1 4 16 0;rlocus(num,den)
