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1、什么是数学物理方法什么是数学物理方法?在人类社会的进步过程中，需要解决许多物理与工程技术问题，借助数学的方法得到它们的借助数学的方法得到它们的通用的、解析的通用的、解析的答答案案 数学物理方法。理论力学哈密顿方程电动力学麦克斯韦方程量子力学薛定谔方程1我们为什么要学习数学物理方法我们为什么要学习数学物理方法?与本学院的历史和特色有关：80年代从物理系分出 信息物理系（声学专业、无线电物理专业、电子线路专业）90年代改名为 电子科学与工程系2010年扩建为 电子科学与工程学院（声学 半导体物理学）电子工程系(吴培亨院士）、微电子与光电子学系（郑有炓院士）、信息电子学系、通信工程系。国家重点学科：
2、无线电物理学、微电子与固体电子学。(1) 培养对问题的分析能力与解决能力；(2) 强势学科偏重物理，需学习本课程以打好基础；(3) 对今后的考研有一定帮助。23一目的和要求一目的和要求本课程在高等数学和普通物理学基础上论述数学物理中一些常用的方法。为进一步学习理论课程和专业基础课程打下必备的数学基础，是基础课与专业课间的有机粘结剂，并为今后工作中求解数学物理问题提供有效的手段。学习本课程要求掌握“三基”，即基本概念、基本理论和基本方法；要求能掌握怎样把物理问题转化为数学问题，以及运用数学来求解物理问题的的一些方法。数学物理方法数学物理方法教学大纲教学大纲 4四教材与参考书目四教材与参考书目教材
3、：教材：梁昆淼梁昆淼 编，刘法编，刘法 缪国庆缪国庆 修修数学物理方法数学物理方法MethodsofMathematicalPhysics（第四版）（第四版）高等教育出版社高等教育出版社5参考书目：参考书目： 1郭敦仁，数学物理方法。 2. 吴崇试，数学物理方法。 3. 胡嗣柱、倪光炯，数学物理方法。 4. 王竹溪、郭敦仁，特殊函数概论。 教学方法：课堂讲授，课外作业 考试方法：期中40，期末50，闭卷笔试, 平时10考试内容与教材（梁昆淼）严格一致严格一致。6第一篇第一篇复变函数论复变函数论(32学时学时)第一章第一章 复变函数复变函数 (6(6学时学时) )基本要求： 1. 理解解析函数的
4、定义。 2掌握C-R条件与解析函数及调和函数的关系内 容：复数及其运算(复习性质)，初等复变函数，复变函数的导数，科希一里曼方程，解析函数，共轭调和函数，平面标量场及多值函数。第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分 (4(4学时学时) )基本要求： 1.掌握科希定理和科希公式，理解其证明方法及关键步骤。 2掌握(234)式及(235)式。内 容：复变函数的积分，单,复通区域上的科希定理和科希公式。五各章基本要求，讲授内容及学时分配五各章基本要求，讲授内容及学时分配7第三章第三章幂级数展开幂级数展开(5学时学时)基本要求： 1. 掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把圆域 内的解析函数展为泰
5、勒级数的方法。 2掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把环域 内的解析函数展为洛朗级数的方法。 3了解孤立奇点的分类。内 容：复数项级数，幂级数，收敛圆，收敛半径，泰 勒级数，解析延拓的概念，洛朗级数，收敛 环，奇点分类。第四章第四章 留数定理留数定理 (5(5学时学时) )基本要求： 1. 了解留数的意义。 2熟练掌握求留数的方法。 3熟练掌握利用留数定理计算实变函数定积分的方法。内 容：留数定理，留数的计算，几种类型定积分的计算。 8第五章第五章傅里叶变换傅里叶变换(5学时学时)基本要求： 1. 掌握周期函数、有限区间上的函数展为傅里叶级数的方 法，非周期函数展为傅里叶积分的方法。 2掌握
6、傅里叶变换的基本性质。 3理解 函数的意义，掌握 函数的傅里叶变换。内 容：周期函数、有限区间上的函数的傅里叶级数，非 周期函数的傅里叶积分，傅早叶变换的基本性质，函数及 其傅里叶变换。第六章第六章拉普拉斯变换拉普拉斯变换(3学时学时)基本要求： 1. 掌握拉普拉斯变换的基本性质。 2掌握拉普拉斯逆变换（反演）的基本方法。内 容：拉普拉斯变换，拉普拉斯逆变换的反演，应用实例 。 期中复习期中复习(2学时学时)期中考试期中考试(2学时学时)9第二篇第二篇数学物理方程数学物理方程(36学时学时)第七章第七章数学物理定解问题数学物理定解问题(6学时学时)基本要求： 1. 掌握数学物理方程导出的步骤。
7、会把一些物理问 题翻译成数学问题。 2掌握有关力学、热学及电学问题的初始及边界条件。内 容：几个方程的导出(均匀弦的微小横振动，扩散方程，热传 导方程，稳定浓度分布，稳定温度分布方程)，定解条件 (初始条件和边界条件，没有初始条件的问题，没有边界 条件的问题)。 10第八章第八章分离变数分离变数(傅里叶级数法傅里叶级数法)法法(6学时学时)基本要求： 1. 熟练地掌握分离变数(傅里叶级数)法的基本思想与解 题步骤。 2掌握解含非齐次泛定方程的定解问题的几种方法。 3掌握解含非齐次边界条件定解问题的基本方法。内 容：分离变数法介绍，非齐次方程求解方法(傅里叶级数 法、冲量定理法、特解法)，非齐次
8、边界条件的处理。第九章第九章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法 本征值问题本征值问题 (6(6学时学时) )基本要求： l. 了解勒让德方程及贝塞尔方程的级数解法，掌握解的 结果。 2掌握施图姆刘维尔本征值问题及其性质。内 容： 球函数方程、连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞 尔方程、波动方程、输运方程和亥姆霍兹方程。常点 邻域上的级数解法，正则奇点邻域上的级数解法，施 图姆刘维尔本征值问题。 11第十章第十章球函数球函数(6学时学时)基本要求： 1. 掌握球函数的基本理论。 2. 熟练地掌握轴对称情况下球内、球外、球壳区域上稳定场 问题的求解方法。 3掌握含一般球函数的定解问题。内
9、 容：勒让德多项式、微分表式、正交关系及模、展为广义傅 里叶级数，母函数与递推公式，球函数应用例。第十一章第十一章柱函数柱函数(6学时学时)基本要求： 1. 掌握柱函数的基本理论 2熟练地掌握柱内、空心柱体、柱外区域上稳定场问题的求 解方法。 3掌握柱坐标系中含时定解问题的求解方法。 4掌握球坐标系中含时定解问题的求解方法。内 容：贝塞尔函数、递推公式、本征值、正交关系及模、傅里叶 贝塞尔级数、母函数、虚宗量贝塞尔函数、球贝塞尔函数。 12第十二章第十二章格林函数格林函数解的积分公式解的积分公式(4学时学时)基本要求： 1. 掌握泊松方程及含时格林函数的基本理论。 2. 熟练地掌握用冲量定理法
10、求含时格林函数的方法。内 容：泊松方程的格林函数、电像法, 含时格林函数、冲量定理法。第十三章第十三章积分变换积分变换(2学时学时)基本要求： 1.掌握用傅里叶变换方法求解定解问题的基本方法及应用。 2.掌握用傅里叶变换方法求解定解问题的基本方法及应用。内 容：傅里叶变换方法用于求解定解问题的方法，例题； 拉普拉斯变换方法用于求解定解问题的方法，例题。 第一章第一章 复变函数（复变函数（5 5学时）学时）1.1 复数与复数运算1.4 解析函数（重点）1.5 平面标量场1.2 复变函数1.3 导数（重点）1.6 多值函数1.1. 2(3)(6), 3(3)(4)(8) 1.1. 2(3)(6),
11、 3(3)(4)(8) 1.2. 2(3)(5), 3 1.2. 2(3)(5), 3 1.3. 1.3. 推导极坐标下推导极坐标下C-RC-R方程方程 1.4. 2(4)(10)1.4. 2(4)(10)1.5. 31.5. 31.6. (1)1.6. (1)第一章第一章 作业作业 (2012/2/26)(2012/2/26)3 3月月7 7日（星期四）交日（星期四）交过期不收过期不收15一、复数的基本概念一、复数的基本概念 1.最早是在16世纪解二次、三次代数方程中引入的。由此定义虚数虚数单位：并进一步利用两个实数x和y，构造复数复数其中x叫做实部, ；其中y叫做虚部, 。虚数i仅为四元数
12、的一个特例：第一章第一章复变函数复变函数 1.11.2复数与复变函数复数与复变函数16复数与实数的一个差异2. 复数的几何意义：一个复数可用平面上的点表示 全体复数与平面上的点一一对应构成一个平面 - 复平面复平面 原点与复数点构成一个向量 - 复向量复向量xyo11Z(x,y)复数不能比较大小！但可判断是否相等173. 复数的三种表示方法：（1）直角坐标表示 (2) 极坐标表示 (3) 指数表示zxyo11Z(x,y)欧拉公式 (可利用泰勒展开进行验证)184. 有关辐角的注意事项 辐角是不定的！需引入概念 - 辐角主值满足的特定值称为主值： 记为 arg(z), =Arg(z)=argz+
13、2n， (n=0, 1, 2,.)复数零：辐角无意义不存在整数195. 复数的共轭 对一个给定的复数 几何意义： 关于实轴的对称点(x0,-y0)xyO(x0,y0)zz*-可以定义称为 的复共轭复共轭两个注意点(a)(b)20二、复球面与无限远点二、复球面与无限远点 复数不仅可以用平面上的点表示，还可用球面上的点表示。方法方法：过复平面的坐标原点作一球面与复球面相切，过o作复平面的垂线交球面于N点(北极点)，作射线NP交球面于P , 交复平面于P点，可知P与P对应，所以以o为圆心的圆L上的点与复球面纬线L上的点相对应，圆L内部的点与L下方的点对应。圆L的半径 ,L 趋向球顶缩成一点N。也即，
14、复平面的无限远处对应于球面上的一点N ，这样，复平面的无限远处看成一个“点”无限远点。几何意义：z1、z2 为矢量。z = z1+z2 遵守平行四边形法则平行四边形法则 由于实数是复数的特例，故在定义定义其运算方法时，既应使复数的运算法则适用于实数特例（能够和实数运算的结果相符合），又应使复数的算术运算能够满足实数算术运算的一般规律（如交换律，结合律等）。1. 加法加法2. 减法减法三、复数的运算规则三、复数的运算规则这样(两边之和不小于第三边)(一边不小于两边之差)213.3.乘法乘法 (模相乘,辐角相加)(模相除，辐角相减)5.5.乘方乘方: N个z相乘，即棣摩弗公式棣摩弗公式: 4.4.
15、除法除法 (分母有理化)226.6.开方开方: 令 ，且设 ， 。已知 ，求：由(k：整数)即 w 的模 与z0 的模一一对应，而w的辐角与z0 的辐角不是一一对应。仅有n个不同的值满足 ，即有乘、除、乘方、开方运算用指数式较代数式方便乘、除、乘方、开方运算用指数式较代数式方便2324四、复变函数四、复变函数1. 复变函数定义：若在复数平面上存在一个点集 E, 对于E 的每一点z，按照一定的规律，有一个或多个复值 w 与之相对应，则称w 为z 的复变函数: zwE简单来讲，复变函数是一种变换：把一个点变换成另一个点，把一个区域变换成另一个区域252.区域的概念区域的概念：解析函数的定义域是满足
16、一解析函数的定义域是满足一定条件的点集，称为定条件的点集，称为区域。区域。3边界点边界点：给定区域D和点z, 若z点不属于区域D，但其邻域内含有属于D的点，则该点称为边界点。1点 z0 的 邻域邻域：以复数 为圆心，任意小的正实数为半径的一个开圆。2内点内点：给定区域D和点z, 若z点的邻域中所有的点属于区域D，则该点称为内点。4外点外点：给定区域D和点z,若z点不属于区域D，且其邻域内不含有属于区域D的点，则该点称为外点。 外点邻域边界点D 内点相应的还存在闭区域 ：开区域 D+边界线L3.区域的严格定义：区域的严格定义：满足如下两个条件的点集D称为开区域：(1) 每一点都是内点(开集性，对
17、比开区间）不存在外点,边界点(2) 任意两点都可用一条由点集D的点组成的曲线连接 开区域 D ：边界线L所包围的区域26|z| R是以z =0为圆心，R为半径的一个闭圆闭区域 区域D 通常用不等式表示。有关例子：|z| 0，存在自然数N，当n N时,有一、补充知识：复变函数的极限与连续性一、补充知识：复变函数的极限与连续性(2)几何意义以 为中心、为半径作一个圆 ， 表示 与 的距离。定义表示，当n足够大时，所有的 都进入圆 内，这就是序列 以 为极限的几何意义。42 1.31.4导数与解析函数导数与解析函数若存在实数0，当D内的z满足0|zz0|0，(2)几何意义 当z在Z平面进入以z0为圆
18、心,为半径的圆C时,相应的w=f(z)就在W平面进入以为w0圆心, 为半径的圆C内。 注：这里z以任意方式任意方式趋于z0时，其极限为w0 。则称f(z)当z趋于z0时有极限w0，记作：(3)性质433. 复变函数的连续性(1)函数在某点连续的定义：设w=f(z)是在区域B中定义的单值函数，并且z0为B的内点。如果任给实数 0 ，存在实数 0，使得当B内的z满足 |zz0| 0 ）若取并非调和函数！取待定949596代入拉氏方程97代入拉氏方程即亦即积分一次再积分一次于是有至此，电力线（矢线） 已顺利求得。981.4.1.4.节节 例例2.2. 已知解析函数f(z)的虚部，求其实部u(x,y)
19、。剩下的任务为求等势线解： 利用极坐标和凑全微分显式法极坐标C-R条件99直角坐标下等势线方程为令得100带电金属平板的静电场， ：金属板 ：等势线； ：电力线xy1014.多值函数多值函数(1)定义：对于自变数定义：对于自变数z的每一个值，有不止一个函数值的每一个值，有不止一个函数值w与之相对应，与之相对应，w便称为便称为z的多值函数。的多值函数。例例1.为何要研究它：对某些定积分的计算能起到帮助作用。为何要研究它：对某些定积分的计算能起到帮助作用。上式指出，存在无穷多个幅角上式指出，存在无穷多个幅角，但因为，但因为和和对应于同一个复平面上的点，故只有两个幅角是相互独对应于同一个复平面上的点
20、，故只有两个幅角是相互独立的。立的。102这两个幅角对应的根值称为两个单值分支：这两个幅角对应的根值称为两个单值分支：uv例例2.存在无穷多个存在无穷多个v,但每个但每个v相互独立，故有无穷多个单值分支。相互独立，故有无穷多个单值分支。总结一下：总结一下：多值函数中最常用两种，根号函数和对数函数多值函数中最常用两种，根号函数和对数函数根号函数有两个单值分支，对数函数有无穷多个单值分支根号函数有两个单值分支，对数函数有无穷多个单值分支w=f(z)多值性的起源均来自自变量多值性的起源均来自自变量z幅角的多值性幅角的多值性思考题：思考题：有几个单值分支？有几个单值分支？(2)由函数的多值性带来的一个
21、独特现象由函数的多值性带来的一个独特现象当自变量当自变量z沿一闭合沿一闭合轨道连续变化时，多轨道连续变化时，多值函数值函数w可能出现不可能出现不连续现象连续现象从从出发出发绕绕红线红线(含含z=0!)，绕绕紫线紫线(不含不含z=0!)，103104(3)(3)支点支点对于多值函数对于多值函数 w w = =f f( (z z), ), 如绕某点如绕某点z z0 0一周，函数值一周，函数值w w 不复原，不复原，而当而当z z 不绕不绕z z0 0点转一圈回到原处时，函数值还原。则称点转一圈回到原处时，函数值还原。则称z z0 0 点点为为f f( (z z) )的的支点支点。z z绕支点绕支点
22、n n圈，函数值复原，该支点称为圈，函数值复原，该支点称为n-1n-1阶阶支点。支点。Z=0Z=0是是 的一阶支点。的一阶支点。 亦是其一阶支点。亦是其一阶支点。因此因此,为了完全确定多值函数为了完全确定多值函数w=f(z)的函数值的函数值w与自变数与自变数z之之间的对应关系间的对应关系,除了要在某一点除了要在某一点z 规定函数的对应值规定函数的对应值,还必须还必须说明说明z的变化路径的变化路径! 105xyoxyoarg(z)=0arg(z)=2arg(z)=2arg(z)=4平面平面平面平面(4)(4)黎曼面黎曼面建立两个复平面，把建立两个复平面，把 的自变量点绘在第一个的自变量点绘在第一
23、个平面上，把平面上，把 的自变量点绘在第二个平面上。的自变量点绘在第二个平面上。割线的概念割线的概念 - - 在在T T1 1上，上，0 0与与2Pi2Pi不连续，同样在不连续，同样在T T2 2上上2Pi2Pi与与4Pi4Pi不连续。不连续。106 107Riemann 面概念：在 Riemann 面上，多值函数变为解析的单值函数，即 z 与 w 是一一对应的。平方根平方根 的的RiemannRiemann面面2 2页页108立方根立方根 的的RiemannRiemann面面3 3页页109对数函数对数函数 的的RiemannRiemann面面无穷多页无穷多页110本章本章基本要求：基本要求：1. 理解解析函数的定义。2掌握C-R条件与解析函数及调和函数的 关系。
