实对称矩阵的相似对角化

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实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：性质性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。（1）两端取转置，得： 性质性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。性质性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。二、实对称矩阵的相似对角化：二、实对称矩阵的相似对角化：定理定理1：实对称矩阵实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。一定与对角矩阵相似。定理定理2：实对称矩阵实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。一定与对角矩阵正交相似。再单位化，得：用正交阵将实对称矩阵用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：化为对角阵的步骤：补充补充三、矩阵的合同三、矩阵的合同.合同矩阵具有自反性、对称性、传递性。合同矩阵具有自反性、对称性、传递性。等价、相似、合同的关系：但凡之均不成立。一般 而言，相似与合同 没有关系。但，正交相似与合同一致。定理：定理：实对称矩阵一定与对角阵合同。= 0