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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5 小题,每小题3 分 ,满分15 分 .把答案填在题中横线上.)(1) 设方程yxy确定y是x的函数,则dy _.(2) 设( )arcsinxf x dxxC,则1( )dxf x_.(3) 设00,x y是抛物线2yaxbxc上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是_.(4) 设123222212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa,123nxxXxx,1111B ,其中(;,1,2, )i
2、jaa iji jn.则线性方程组TA XB的解是_.(5) 设由来自正态总体2( ,0.9)XN容量为9 的简单随机样本,得样本均值5X ,则未知参数的置信度为0.95 的置信区间为_.二、 选择题(本题共5 小题,每小题3 分 ,满分15 分 .每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 累次积分cos200( cos , sin )df rrrdr可以写成()(A)2100( , )y ydyf x y dx (B)21100( , )ydyf x y dx (C)1100( , )dxf x y dy (D)2100( , )x xdxf
3、x y dy (2) 下述各选项正确的是()(A) 若21nnu和21nnv都收敛,则21()nnnuv收敛欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(B)1nnnu v收敛,则21nnu与21nnv都收敛(C) 若正项级数1nnu发散,则1nun(D) 若级数1nnu收敛,且(1,2, )nnuv n,则级数1nnv也收敛(3) 设n阶矩阵A非奇异(2n),A是矩阵A的伴随矩阵,则()(A)1()nAAA (B)1()nAAA (C)2()nAAA (D)2()nAAA (4) 设有任意两个n维向量组1,m和1,m,若存在两组不全为零的数1
4、,m和1,mkk,使111111()()()()0mmmmmmkkkk,则()(A)1,m和1,m都线性相关(B)1,m和1,m都线性无关(C)1111,mmmm线性无关(D)1111,mmmm线性相关(5) 已知0( ) 1P B且1212()()PAABP A BP A B,则下列选项成立的是()(A)1212()()PAABP A BP A B(B)1212()()P A BA BP A BP A B(C)1212()()P AAP A BP A B(D) 1122()() ()P BP AP B AP A P B A三、(本题满分6 分 )设( ),0,( )0,0,xg xexf x
5、xx其中( )g x有二阶连续导数,且(0) 1, (0)1gg .欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(1)求( )fx；(2)讨论( )fx在(,) 上的连续性.四、(本题满分 6 分)设函数( )z fu,方程( )()xyuupt dt确定u是,xy的函数,其中( ), ( )fuu可微；()pt,( )u连续,且( ) 1u .求( )( )zzpypxxy.五、(本题满分 6 分)计算20(1)xxxedxe.六、(本题满分 5 分)设( )fx在区间0,1上可微,且满足条件120(1) 2( )fxf xdx.试证:存在(
6、0,1)使( )( )0.ff 七、(本题满分 6 分)设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q可以表示成aQcp b,其中a b、 、c均为正数,且a bc.(1) 求p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价p应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分 6 分)求微分方程22yxydydxx的通解.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！九、(本题满分 8 分)设矩阵010010000010012Ay.(1) 已知A的一个特征值为 3,试求y；(2) 求矩阵P,使() ()TAP AP为对角矩阵.十、(本
7、题满分 8 分)设向量12,t 是齐次线性方程组0AX的一个基础解系,向量不是方程组0AX的解,即0A.试证明:向量组12,t 线性无关.十一、(本题满分 7 分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润 10 万元； 发生一次故障仍可获得利润 5 万元； 发生两次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分 6 分)考虑一元二次方程20xBxC ,其中B C、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.十三、(本题满分 6
8、 分)假设12,nXXX是来自总体 X 的简单随机样本；已知(1,2,3, 4)kkEXa k.证明：当n充分大时,随机变量211nniiZXn近似服从正态分布,并指出其分布参数.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5 小题,每小题3 分 ,满分15 分 ,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】1 lndxxy【解析】方法1：方程yxy两边取对数得lnlnlnyxyyy,再两边求微分,11ln1ln1dxydydydxxxyln10xy.方法2： 把yxy变形得lny
9、yxe,然后两边求微分得lnln1 ln1 lnyyydxed yyyy dyxy dy,由此可得1.1 lndydxxy(2)【答案】32113xC【解析】由( )arcsinxf x dxxC,两边求导数有2211( )arcsin1( )1xf xxxxf xx,于是有1( )dxf x2221112xx dxx dx221112x dx 32113xC .(3)【答案】0ca(或20axc),b任意【解析】对2yaxbxc两边求导得 0022yaxb,y xaxb,所以过00x ,y的切线方程为0002yyaxbxx,即200002yaxbxcaxbxx.又题设知切线过原点0 0 ,把
10、0xy代入上式,得欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2200002axbxcaxbx , 即20axc.由于系数0a ,所以,系数应满足的关系为0ca(或20axc),b任意.(4)【答案】1 0 00T, , , 【解析】因为A是范德蒙行列式,由ijaa知0ijAaa.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组TA XB有唯一解.根据克莱姆法则,对于2111112122222133332111111111nnnnnnnnxaaaxaaaxaaaxaaa ,易见1230nDA ,DDD.所以TA XB的解为12310nx,xxx,即1 0
11、00T, , , ,.【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组11 11221121 1222221 122,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb或简记为11 2nij jija xb ,i, , ,n其系数行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa,则方程组有唯一解1 2jjDx,j, , ,n.D欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！其中jD是用常数项12nb ,b , ,b替换D中第j列所成的行列式,即1111111121212212111,j,jn,j,jnj
12、nn,jnn,jnnaabaaaabaaDaabaa.(5)【答案】(4.412,5.588)【解析】可以用两种方法求解：(1)已知方差220.9,对正态总体的数学期望进行估计,可根据因2( ,0.9)XN,设有n个样本,样本均值11niiXXn,有20.9( ,)XNn,将其标准化,由公式( )(0,1)( )XE XND Xn得：)1 ,0(1NnX由正态分布分为点的定义211XPun 可确定临界值2u,进而确定相应的置信区间22(,)xuxunn.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间22,xuxunn,其中21,(0,1)PUuUN
13、 ,可以直接得出答案.方法1：由题设,95.01,可见.05.0查标准正态分布表知分位点.96.12u本题9n ,5X , 因此,根据95.096.11nXP,有欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1xyO121251.96 0.9519P,即4.4125.588 0.95P,故的置信度为0.95 的置信区间是(4.412,5.588).方法2： 由题设,95.01,222222 () 10.95, ()0.975P UuPuUuuu 查得.96.12u20.9,9n ,5X 代入22(,)xuxunn得置信区间(4.412,5.588
14、).二、 选择题(本题共5 小题,每小题3 分 ,满分15 分 .每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系cos ,sinxryr中是,|0,0cos,2Drr即是由221124xy与x轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于D的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1,下边界方程是0y,上边界的方程是2yxx,从而D的直角坐标表示是201 0Dx,y |x,yxx,故 (D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互
15、联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1,|0,0sin,2Drr而 (B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,(C)中的积分区域是正方形01 01x,y |x,y,所以,他们都是不正确的.故应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由于级数21nnu和21nnv都收敛,可见级数221nnnuv收敛.由不等式222nnnnu vuv及比较判别法知级数12nnnu v收敛,从而12nnnu v收敛.又因为2222nnnnnnuvuvu v ,即级数21nnnuv收敛,故应选(A).设2111 2nnu,vn, ,n,可知(B)不正确.设2111 2nun, ,nn,可知(C)不
16、正确.设 1111 2nnnu,vn, ,nn ,可知(D)不正确.注：在本题中命题(D)“若级数1nnu收敛,且(1,2, )nnuv n,则级数1nnv也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.(3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为AAA AA E,现将A视为关系式中的矩阵A,则有()AAA E .方法一：由1nAA及1()AAA ,可得欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！121()().nnAAAAA
17、AAA 故应选(C).方法二：由()AAA E ,左乘A得1()( )nAAAAA ,即1()( )nA EAAA .故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12, ,s 线性无关,即若1 1220ssxxx,必有120,0,0sxxx.既然1,m与1,mkk不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).一般情况下,对于1122110,sssskkkll不能保证必有11220,sskkk及110,ssll故 (A)不正确.由已知条件,有1111110mmmmmmkk ,又1,m与1,mkk不全为零,故1111,mmmm线性
18、相关.故选(D).(5)【答案】(B)【解析】依题意12121212)(,.( )( )( )( )( )PAABP A BP A BP A BA BP A BP A BP BP BP BP BP B因( )0P B ,故有1212)(P A BA BP A BP A B.因此应选(B).注 ：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B都成立,但是忽略了欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！全概率公式中要求作为条件的事件12,A A应满足12( )0,()0PAPA,且12,A A是对立事件.【相关知识点】条件概率
19、公式：()( |)( )PABPB APA.三、(本题满分 6 分)【解析】(1) 由于( )gx有二阶连续导数,故当0x 时,( )fx也具有二阶连续导数,此时,( )fx可直接计算,且( )fx连续；当0x 时,需用导数的定义求(0)f .当0x 时,22 ( ) ( )( )( ) (1)( ).xxxxg x egx exg x gxxefxxx 当0x 时,由导数定义及洛必达法则,有2000( )( )( )(0)1(0)limlimlim222xxxxxxgx eg x eg x egfxx 洛洛.所以2( )( ) (1),0,( )(0)1,0.2xxg x gxxexxfxg
20、x (2)( )fx在0x 点的连续性要用定义来判定.因为在0x 处,有200( )( ) (1)lim ( )limxxxxg x gxxefxx 0( )( )( )(1)lim2xxxg x xgx g x exex 0( )(0)1lim(0)22xxg x egf.而( )fx在0x 处是连续函数,所以( )fx在(,) 上为连续函数.四、(本题满分 6 分)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【解析】由( )z fu可得( ),( )zu zufufuxx yy .在方程( )()xyuupt dt两边分别对,xy求偏导数,
21、得( )( ),( )( ).uuuuupxupyxxyy所以( )( ),1( )1( )upxupyxuyu.于是( ) ( )( ) ( )( )( )( )01( )1( )zzpxpypxpypypxfuxyuu.五、(本题满分 6 分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法.【解析】方法 1:因为21(1)111xxxxxxexdxdx xdeeee分部积分1(1)1111ln(1 ),1xxxxxxxxxexdxdeeeeexeCe所以20limln(1 )ln2.(1)1xxxxxxxexedxeee而limln(1 )limln (1)11
22、xxxxxxxxxxexeeeeeelimln(1 )1xxxxxexee lim0 01xxxe ,故原式ln2.方法 2:220001(1)(1)1xxxxxxexedxdxxdeee 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！00000011111(1)ln(1)ln2.1xxxxxxxxxdxdxedxeeeedeee 六、(本题满分5 分 )【分析】由结论可知,若令( )( )xxf x,则( )( )( )xf xxf x.因此,只需证明( )x在0,1内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令( )( )xxf x,由积分中值定
23、理可知,存在1(0, )2,使1122001( )( )( )2xf x dxx dx ,由已知条件,有1201(1) 2( )2( )( ),2fxf x dx 于是(1)(1)( ),f 且( )x在( ,1)上可导,故由罗尔定理可知,存在( ,1) (0,1),使得( )0, 即( )( )0.ff【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数( )f x在积分区间 , a b上连续,则在 , a b上至少存在一个点,使下式成立：( )( )()baf x dxfbaab.这个公式叫做积分中值公式.2.罗尔定理：如果函数( )f x满足(1)在闭区间 , a b上连续；(2)在开区间a,b内可
24、导；(3)在区间端点处的函数值相等,即( )( )f af b,那么在a,b内至少有一点(ab),使得 0f.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！七、(本题满分6 分 )【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x的某个区间上导函数 0f x,则函数 f x单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R,则22(), ( ).abc pbaRpQpc Rppbpb令0,R得0()0abbpbabccc.当0()bpabcc时 ,0R,所以随单价p的增加,相应销售额R也将增加.当()bpabcc时 ,有0R,所以随单价p的增加,相应
25、销售额R将减少.(2)由 (1)可知,当()bpabcc时 ,销售额R取得最大值,最大销售额为2max()abaRbcabccabc.八、(本题满分6 分 )【解析】令yzx,则dydzzxdxdx.当0x时 ,原方程化为21dzzxzzdx,即21dzdxxz ,其通解为21ln(1)lnzzxC 或2C1zzx.代回原变量,得通解22(0)yxyC x.当0x时 ,原方程的解与0x时相同,理由如下:令tx ,于是0t,而且欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！222222yxyyxyytydydy dxdydtdx dtdxxxt .
26、从而有通解22(0)ytyC t,即22(0)yxyC x.综合得,方程的通解为22yxyC.注：由于未给定自变量x的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yzx后得2221xyxz,从而,应当分别对0x和0x求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分8 分 )【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而 (2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题.【解析】(1)因为3是A的特征值,故3100130031 3138(2)0,003113110011yEAyy所以2y .(2)由于TAA,要2() ()TTAPA
27、PP A P ,而21000010000540045A是对称矩阵,故可构造二次型2Tx A x,将其化为标准形Tyy.即有2A与合同.亦即2TP A P .方法一：配方法.由于22222123434558Tx A xxxxxx x欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！22222212334444222212344816165() 55255495(),55xxxx xxxxxxxxx那么,令1122334444,5yx yx yxx yx即经坐标变换1122334410000100,400150001xyxyxyxy有2222212349
28、55Tx A xyyyy.所以,取10000100400150001P,有211() ()595TTAPAPP A P.方法二：正交变换法.二次型22222123434558Tx A xxxxxx x对应的矩阵为21000010000540045A,其特征多项式2310000100(1) (9)00540045EA.2A的特征值12341,1,1,9.由21()0EAx,即123400000000000044000440xxxx ,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！和24()0EAx,即123480000080000044000440
29、xxxx ,分别求得对应1,2,31的线性无关特征向量123(1,0,0,0) ,(0,1,0,0) ,(0,0,1, 1)TTT,和49的特征向量4(0,0,1,1)T.对123, 用施密特正交化方法得123, ,再将4单位化为4, 其中：12341111(1,0,0,0) ,(0,1,0,0) ,(0,0,) ,(0,0,)2222TTTT.取正交矩阵123411100001000000,221122P ,则1221119TPA PP A P,即211() ()19TTAPAPP A P.十、(本题满分8 分 )【解析】证法1：(定义法)若有一组数12, , , ,tk k kk使得112
30、2()()()0,ttkkkk(1)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！则因12,t 是0AX 的解,知0(1,2,)iAit,用A左乘上式的两边,有12()0tkkkk A.(2)由于0A,故120tkkkk.对 (1)重新分组为121122()0tttkkkkkkk.(3)把 (2)代入(3)得11220ttkkk.由于12,t 是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,0tkkk.代入(2)式得:0k .因此向量组12,t 线性无关.证法2：(用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1 倍分别加至其余各列,有1212, ,.
31、tt 因此1212, ,.ttrr 由于12,t 是基础解系,它们是线性无关的,秩12,trt ,又必不能由12,t 线性表出(否则0A),故12, ,1trt .所以12,1.trt 即向量组12,t 线性无关.十一、(本题满分7 分 )【解析】设一周5 个工作日内发生故障的天数为X,则X服从二项分布即(5,0.2)B.由二项分布的概率计算公式,有500.80.32768,P X 14510.8 0.2 0.4096,P XC232520.8 0.20.2048,P XC310120.05792.P XP XP XP X 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将
32、竭诚为您提供优质的文档！设一周内所获利润Y(万元),则Y是X的函数,且10,0,5,1,( )0,2,2,3.XXYfXXX若若若若由离散型随机变量数学期望计算公式,10 0.32768 5 0.40962 0.05792 5.20896EY (万元).【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若( , )Y B np,则(1)k knknPY kC pp,0,1, ,kn.2.离散型随机变量数学期望计算公式：1( )nkkkEXx P Xx.十二、(本题满分 6 分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为 36.设事件1A“方程有实根” ,2A“方程有重根” ,则221
33、404BABCC.用列举法求有利于iA的样本点个数(1,2i ),具体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24BC尽可能的成立,则需要B越大越好,C越小越好.当B取遍 1,2,3,4,5,6 时,统计C可能出现的点数有多少种.B123456有利于1A的样本点数012466有利于2A的样本点数010100由古典型概率计算公式得到11246619( ),3636p PA 21 11().3618q PA【相关知识点】古典型概率计算公式：( ).iiAPA 有利于事件 的样本点数样本空间的总数欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！十三、(本题满
34、分6 分 )【解析】依题意,12,nXXX独立同分布,可见22212,nXXX也独立同分布.由(1,2,3, 4)kkEXa k及方差计算公式,有224222242222242211,(),111,().iiiinnniniiiEXaDXEXEXaaEZEXaDZDXaannn因此,根据中心极限定理2242()nnZaUaan的极限分布是标准正态分布,即当n充分大时,nZ近似服从参数为2422( ,)aaan的正态分布 .【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：设随机变量12,nXXX独立同分布,方差存在,记与20 分别是它们相同的期望和方差,则对任意实数x,恒有11lim()( ),niniPXnxxn 其中( )x是标准正态分布函数.2.方差计算公式：22( )()( )D XE XEX.
