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1、第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵原点矩原点矩 中心矩中心矩协方差矩阵协方差矩阵n 元正态分布的概率密度元正态分布的概率密度1一、一、 原点矩原点矩 中心矩中心矩定义定义 设设X和和Y是随机变量，若是随机变量，若 存在，称它为存在，称它为X的的k阶原点矩阶原点矩，简称，简称 k阶矩阶矩. 存在，称它为存在，称它为X的的k阶中心矩阶中心矩.可见，均值可见，均值 E(X)是是X一阶原点矩，方差一阶原点矩，方差D(X)是是X的二阶中心矩。的二阶中心矩。2协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二阶混合中心矩二阶混合中心矩.称它为称它为 X 和和 Y 的的 k+L 阶混合（原点）矩阶混合（
2、原点）矩.若若存在，存在，称它为称它为X 和和 Y 的的 k+L 阶混合中心矩阶混合中心矩. 设设 X 和和 Y 是随机变量，若是随机变量，若 k,L=1,2,存在，存在，可见，可见，3二、二、协方差矩阵协方差矩阵将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.这是一个非这是一个非负定对称矩阵负定对称矩阵4 类似定义类似定义n 维随机变量维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵。的协方差矩阵。都存在都存在,(
3、i, j=1,2,n )若若矩阵矩阵称称5三、三、n 元正态分布的概率密度元正态分布的概率密度f (x1,x2, ,xn)则称则称 X 服从服从 n 元正态分布元正态分布.其中其中C是是(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵.|C|是它的行列式，是它的行列式， 表示表示C的逆矩阵，的逆矩阵，X 和和 是是 n 维列向量，维列向量， 表示表示X 的转置的转置. 设设 =(X1,X2, ,Xn)是一个是一个n维随机向量维随机向量,若它的概率密度为若它的概率密度为6n元正态分布的几条重要性质元正态分布的几条重要性质1. X=(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布a1X1+
4、 a2 X2+ + an Xn 均服从正态分布均服从正态分布.对一切不全为对一切不全为0的实数的实数 a1,a2,an， 由此得到，由此得到，n维正态变量维正态变量(X1,X2, ,Xn)的每的每一个分量一个分量Xi都是都是正态随机变量；反之，若正态随机变量；反之，若每个分每个分量量Xi都是都是正态随机变量，且它们相互独立，则正态随机变量，且它们相互独立，则(X1,X2, ,Xn)是是n维正态变量。维正态变量。7若若 X=(X1, X2 , , Xn) 服从服从 n 元正态分布元正态分布， Y1,Y2, ，Yk是是Xj（j=1,2,n）的线性函数的线性函数，则则 (Y1,Y2, ，Yk) 也服
5、从多元正态分布也服从多元正态分布.2. 正态变量的线性变换不变性正态变量的线性变换不变性. 3. 设设(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布，则则“X1,X2, ,Xn相互独立相互独立”等价于等价于“X1,X2, ,Xn两两不相关两两不相关”8 例例 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2), YN(0,1). 试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.故故X 和和Y 的联合分布为正态分布的联合分布为正态分布，X 和和Y 的任意线的任意线性组合是正态分布性组合是正态分布.解解: XN(1,2),YN(0,1)，且且 X 与与Y 独立独立,D(Z)=4D
6、(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z), D(Z)9故故 Z 的概率密度是的概率密度是ZN(5, 32) 例例 设随机变量设随机变量X,Y独立独立,均服从正态分布均服从正态分布 令令U=aX+bY, V=aX-bY,问常数问常数a,b满足什么条件时满足什么条件时随机变量随机变量U,V相互独立？相互独立？10四、小结四、小结 在这一节中我们学习了随机变量的原点矩在这一节中我们学习了随机变量的原点矩和中心矩以及协方差矩阵和中心矩以及协方差矩阵 . 一般地一般地 , 维随机变量的分布是不知道的维随机变量的分布是不知道的 , 或者太复杂或者太复杂 , 以至于在数学上不易处理以至于在数学上不易处理 , 因此因此在实际中协方差矩阵就显得重要了在实际中协方差矩阵就显得重要了 .11
