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1、第七章第七章 7-1第七章第七章参数估参数估计问题计问题假设检假设检验问题验问题点点 估估 计计区间估区间估 计计统计统计推断推断 的的基本基本问题问题7-2什么是参数估计？什么是参数估计？参数是刻画总体某方面概率特性的数量参数是刻画总体某方面概率特性的数量. .当此数量未知时当此数量未知时, ,从总体抽出一个样本，从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计是参数估计. .例如，例如，X N ( , 2), 点估计点估计区间估计区间估计若若 , 2未知未知, 通过构造样本的函数通过构造样本的函数, 给出给出它们的估计值或取值范围就是参数估
2、计它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容的内容.参数估计的类型参数估计的类型点估计点估计 估计未知参数的值估计未知参数的值区间估计区间估计 估计未知参数的取值范围，估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值真值的概率为给定的值.7.1 点估计方法点估计方法点估计的思想方法点估计的思想方法设总体X 的分布函数的形式已知, 但含有一个或多个未知参数：1,2, ,k设 X1, X2, Xn为总体的一个样本构造 k 个统计量：随机变量7-57.1当测得样本值(x1, x2, xn)时,代入上述统计量，即可得到 k 个数：数 值称数为未知参数的估计值如
3、何构造统计量？如何构造统计量？如何评价估计量的好坏？如何评价估计量的好坏？7-6对应统计量 为未知参数的估计量问问题题 方法方法用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的估计量, 建立含有待估参数的方程, 从而解出待估参数7-9一般, 不论总体服从什么分布, 总体期望 与方差 2 存在, 则它们的矩估计量分别为q 矩法矩法 法二法二两种常用的点估计方法两种常用的点估计方法7-10事实上，按矩法原理，令7-11设待估计的参数为设总体的 r 阶矩存在，记为样本 X1, X2, Xn 的 r 阶矩为令 含未知参数 1,2, ,k 的方程组7-12解方程组 , 得 k 个统计量： 未知参数 1, ,k 的矩
4、估计量代入一组样本值得 k 个数: 未知参数 1, ,k 的矩估计值例例2 2 设总体 X N ( , 2 ), X1, X2, Xn为 总体的样本, 求 , 2 的矩法估计量.解解例例3 3 设总体 X E(), X1, X2, Xn为总体的 样本, 求 的矩法估计量.解解令7-13故例例2323例例4 4 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.解解7-14例例4 4例例5 5 设总体
5、 X U (a, b), a, b 未知, 求参数 a, b 的 矩法估计量.解解由于令7-15例例5 5解得7-16q 极大似然估计法极大似然估计法 思想方法思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率 例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.答答: : 第一箱. .7-17问问: : 所取的球来自哪一箱？法三法三例例6 6 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, 用极大似然法求 p 的估计值.解解总体 X 的概率分布为 设 x1, x2, xn为总
6、体样本X1, X2, Xn的样本值,则7-18例例6 6对于不同的 p , L (p)不同, 见右下图现经过一次试验，发生了，事件则 p 的取值应使这个事件发生的概率最大.7-19在容许范围内选择 p ，使L(p)最大 注意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若某个p 使ln L(p)最大, 则这个p 必使L(p)最大。7-20所以为所求 p 的估计值.一般一般, 设 X 为离散型随机变量, 其分布律为则样本 X1, X2, Xn的概率分布为7-21或称 L( ) 为样本的似然函数称这样得到的 为参数 的极大似然估计值极大似然估计值称统计量为参数 的极大似然估计量极大似然估计量7-22M
7、LE简记mle简记选择适当的 = ,使 取最大值, 即L( )极大似然法的思想若 X 连续, 取 f (xi, )为Xi 的密度函数似然函数为7-23注注1 1注注2 2未知参数可以不止一个, 如1, k 设X 的密度(或分布)为则定义似然函数为若关于1, , k可微,则称为似然方程组若对于某组给定的样本值 x1, x2, xn，参数 使似然函数取得最大值, 即则称为1, k 的极大似然估计值7-24显然，称统计量为1, 2, k 的极大似然估计量7-25例例7 7 设总体 X N (, 2), x1, x2, xn 是 X 的样本值, 求 , 2 的极大似然估计.解解7-26例例7 7 , 2 的极大似然估计量分别为似然方程组为7-27极大似然估计方法极大似然估计方法1） 写出似然函数 L2）求出, 使得7-28可得未知参数的极大似然估计值然后, 再求得极大似然估计量.7-29 L是 的可微函数,解似然方程组若若 L不是 的可微函数, 需用其它方法求极大似然估计值. 若若
