《大学数学：ch4-1(3)变号级数的审敛准则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学数学：ch4-1(3)变号级数的审敛准则（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第4章章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数函数项级数函数项级数2008年12月25日1南京航空航天大学 理学院 数学系第第4章章 无穷级数无穷级数第第1节节 常数常数项级数项级数第第2节节 函数项级数函数项级数第第3节节 幂级数幂级数第第4节节 Fourier级数级数2008年12月25日2南京航空航天大学 理学院 数学系第第1 1节节 常数常数项级数项级数1.1 1.1 常数项级数的概念、性质与收敛原理常数项级数的概念、性质与收敛原理1.2 1.2 正
2、项级数的审敛准则正项级数的审敛准则1.3 1.3 变号级数的审敛准则变号级数的审敛准则2008年12月25日3南京航空航天大学 理学院 数学系1.3 1.3 变号级数的审敛准则变号级数的审敛准则2008年12月25日4南京航空航天大学 理学院 数学系1 交错级数及其交错级数及其审敛准则审敛准则2 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛3 Dirichlet and Abel判别法判别法1.3 1.3 变号级数的审敛准则变号级数的审敛准则4 绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质2008年12月25日5南京航空航天大学 理学院 数学系定义定义1 1: : 正、负项交替出现的级数称为正、负项交替出现的
3、级数称为交错级数交错级数. .1 1 交错级数及其敛散性交错级数及其敛散性2008年12月25日6南京航空航天大学 理学院 数学系证明证明2008年12月25日7南京航空航天大学 理学院 数学系满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.2008年12月25日8南京航空航天大学 理学院 数学系解解2008年12月25日9南京航空航天大学 理学院 数学系解解原级数收敛原级数收敛.2008年12月25日10南京航空航天大学 理学院 数学系收敛收敛!2008年12月25日11南京航空航天大学 理学院 数学系？2 2 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛2008年12月25日13南京航空航
4、天大学 理学院 数学系证明证明注注：该定理可由柯西收敛原理证明（见：该定理可由柯西收敛原理证明（见P.273)2008年12月25日14南京航空航天大学 理学院 数学系定理定理1.9的作用：的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数2008年12月25日15南京航空航天大学 理学院 数学系解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.2008年12月25日16南京航空航天大学 理学院 数学系解解故由定理知原级数条件收敛故由定理知原级数条件收敛.2008年12月25日17南京航空航天大学 理学院 数学系例例5以下填写是绝对收敛以下填写是绝对收敛,还是条件收敛还是条件收敛,还是发散还是发
5、散2008年12月25日18南京航空航天大学 理学院 数学系例例7 7解解2008年12月25日19南京航空航天大学 理学院 数学系2008年12月25日20南京航空航天大学 理学院 数学系3 3 DirichletDirichlet and Abel and Abel判别法判别法-判别条件收敛的两个方法判别条件收敛的两个方法(1). Abel变换变换(2). Abel引理引理2008年12月25日21南京航空航天大学 理学院 数学系(3). Dirichlet判别法判别法证明证明:由由Abel引理引理和和Cauchy收敛收敛原理原理注意注意:由Dirichlet判别法判别法可推出可推出Leb
6、uniz判别法判别法2008年12月25日22南京航空航天大学 理学院 数学系(4). Abel判别法判别法证明证明:由条件由条件(1)由条件由条件(2)有有由由Dirichlet判别法判别法注意注意:2008年12月25日23南京航空航天大学 理学院 数学系例例9解解由由Dirichlet判别法知所讨论判别法知所讨论的级数收敛的级数收敛!2008年12月25日24南京航空航天大学 理学院 数学系更一般的情形：更一般的情形： 若数列若数列an具有性质具有性质: :都收都收敛.2008年12月25日25南京航空航天大学 理学院 数学系解解是条件收敛是条件收敛由由Abel判别法判别法2008年12
7、月25日30南京航空航天大学 理学院 数学系小结小结: 任意项级数敛散性判别法任意项级数敛散性判别法2008年12月25日31南京航空航天大学 理学院 数学系(5)(5)绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质1). .级数的重排级数的重排 我们把正整数列我们把正整数列1,2,n, 到它自身的一一映射到它自身的一一映射 原数列的重排原数列的重排. 相相应地称地称级数数 为原原级数的重数的重 作作 称称为正整数列的重排正整数列的重排, 相相应地地对于数列于数列 2008年12月25日32南京航空航天大学 理学院 数学系意重排后所得到的级数绝对收敛且和也为意重排后所得到的级数绝对收敛且和也为S. .定
8、理定理 设级数数 绝对收收敛, 且其和等于且其和等于S, 则任任 注注 定理只定理只对绝对收收敛级数成立数成立. 条件收条件收敛级 数重排后得到的新级数数重排后得到的新级数, ,不一定收敛不一定收敛, , 即使收即使收敛敛,也也不一定收敛于原来的和不一定收敛于原来的和. . 事实上，条件收敛的级数经过适当重排后事实上，条件收敛的级数经过适当重排后, , 既可以得到发散级数既可以得到发散级数,也可以收敛于也可以收敛于任何给定的数任何给定的数. . 2008年12月25日33南京航空航天大学 理学院 数学系2). 级数的乘积级数的乘积若若为收收敛级数数, a为常数常数, 则 由此可以立刻推广到收由
9、此可以立刻推广到收敛级数数 与有限与有限项和的乘和的乘 积积, ,即即那么无那么无穷级数之数之间的乘的乘积是否也有上述性是否也有上述性质?2008年12月25日35南京航空航天大学 理学院 数学系设有收敛级数设有收敛级数将将级数数(1)与与(2)中每一中每一项所有可能的乘所有可能的乘积列成下表：列成下表： 2008年12月25日36南京航空航天大学 理学院 数学系可以按各种方法排成不同的可以按各种方法排成不同的级数数, 常用的有按常用的有按正方形顺序正方形顺序或按或按对角线顺序对角线顺序. 上述表中的所有乘积上述表中的所有乘积2008年12月25日37南京航空航天大学 理学院 数学系2008年12月25日38南京航空航天大学 理学院 数学系2008年12月25日39南京航空航天大学 理学院 数学系依次相加依次相加, ,于是分别有于是分别有和和中所有乘中所有乘积按任意按任意顺序排列所得到的序排列所得到的级数数也也绝对收收敛, 且其和等于且其和等于AB.定理定理 (柯西定理柯西定理) 若若级数数(1)、(2)都都绝对收收敛, 则对表表2008年12月25日40南京航空航天大学 理学院 数学系
