《高数D13函数的极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数D13函数的极限（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节 函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限三、函数极限的性质三、函数极限的性质目录 上页 下页 返回 结束 从函数的观点看，数列是下标变量的函数它有极限也可以这样叙述：若在自变量时，相应的函数则称当时，函数有极限。 这种定义数列极限的思维方法也适合于一般的函数，由于的自变量 x 变化方式的不同，的极限定义就有不同的形式，需分类定义。自变量变化过程的六种形式:目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 时函数极限的定义问题: 如何
2、用数学语言描述下述过程:在的过程中, 函数无限趋近于确定值要点:(1)过程体现与的接近程度.(2)函数与无限接近:有目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时, 有若记作极限存在函数局部有界(P36定理2) 这表明: 几何解释几何解释:目录 上页 下页 返回 结束 一般说来一般说来, ,应从不等式应从不等式出发出发,这个正数就是要找的与这个正数就是要找的与 相对应的相对应的这个推导常常是困难的这个推导常常是困难的. 但是但是, , 注意到我们不需要找最大的注意到我们不需要找最大的所以所以适当放大些适当放大些
3、,的式子的式子,变成易于解出变成易于解出找到一个需要的找到一个需要的找到找到就证明完毕就证明完毕.可把可把推导推导 小于怎样的正数小于怎样的正数, ,目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明证证:故对任意的当时 , 因此总有目录 上页 下页 返回 结束 证证证证 这是证明吗？这是证明吗？非非常常非非常常严严格格！例例2.2.目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明证证:欲使取则当时, 必有因此只要目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明证证:故取当时, 必有因此目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明: 当证证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证 .必有目录 上页 下页 返
4、回 结束 2. 保号性定理保号性定理定理定理1 . 若且 A 0 ,证证: 已知即当时, 有当 A 0 时, 取正数则在对应的邻域上( 0)则存在( A 0 )(P37定理3)目录 上页 下页 返回 结束 若取则在对应的邻域上 若则存在使当时, 有推论推论:(P37定理3)分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 . 若在的某去心邻域内, 且 则证证: 用反证法.则由定理 1,的某去心邻域 , 使在该邻域内与已知所以假设不真, (同样可证的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为是否必有不能不能! 存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故目录 上页 下页 返回 结束 3. 左极限与右极
5、限左极限与右极限左极限 :当时, 有右极限 :当时, 有定理定理 3 .( P39 题*11 )目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 给定函数讨论 时的极限是否存在 . 解解: 利用定理 3 . 因为显然所以不存在 .目录 上页 下页 返回 结束 验证验证不存在不存在. .证证左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等. .不存在不存在. .目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2 . 设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y = A 为曲线的水平渐近线 .A 为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结
6、束 例例7. 证明证证:取因此注注:就有故欲使只要目录 上页 下页 返回 结束 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :当时, 有当时, 有几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，目录 上页 下页 返回 结束 解解显然有显然有可见可见和和虽然都存在虽然都存在, , 但它们不相等但它们不相等. .故故不存在不存在. . 讨论极限讨论极限 是否存在是否存在? ?目录 上页 下页 返回 结束 三、函数极限的性质三、函数极限的性质与收敛数列的性质相比较与收敛数列的性质相比较, ,可得函数极限的一些相可得函数极限的一些相应性质应性质.
7、.下面仅以下面仅以的极限形式为代表给出这的极限形式为代表给出这些性质些性质, ,至于其他形式的极限的性质至于其他形式的极限的性质, ,只需作出些修只需作出些修改即可得到改即可得到. .唯一性唯一性若若存在存在, ,则极限唯一则极限唯一. .局部有界性局部有界性若若则存在常数则存在常数和和使得当使得当时时, ,有有目录 上页 下页 返回 结束 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系如果极限如果极限存在存在,为函数为函数的定义域内任一收敛于的定义域内任一收敛于x0的数列的数列,那么相应的函数值数列那么相应的函数值数列且满足且满足:必收敛必收敛,且且证证 设设则则有有故对故对有有有有即即)(lim0xfxx).(lim)(lim0xfxfxxnn = = = )(limnnxfA,)(lim0Axfxx= =目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数极限的或定义及应用2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1. 若极限存在,2. 设函数且存在, 则例3 作业作业 P38 *5(1)(4) ; *6(2) ; Th1Th3Th2是否一定有？
