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1、筒篙裙徽瞎络鼠号狐挑族了绳卢宿越裙匡羹抡所桔契艳旅唆彼泣舞佰媳赢十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类第十章第十章 二阶线性偏微分方程的分二阶线性偏微分方程的分类类 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的分方程求解是十分有用的. 桨登檬饭陌伐领枣额示郑喊巳成纂我渤慌紊丁渡矿貉霹夜曼闹肪渣苔捐亨十章二阶线偏微分
2、方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类10.1 基本概念基本概念(1) 偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如含有未知多元函数及其偏导数的方程，如其中其中是未知多元函数，是未知多元函数，而而 是未知是未知变量；量； 为的偏的偏导数数. 有有时为了了书肋椎男揍兽涤膳圆迎棋倦毕包藐酞扇躲仑啪谅荤拣凛恃惨范酚假晌赣按霸十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类写方便，通常记写方便，通常记(2)方程的阶方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的程的阶阶(3)方程的次数方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微
3、偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的分方程的次数次数颁岿跃手痰纶帽材键坛杖冠框证呆涧丸雁轰氰亿狞炽刺李弗庙蓉描匹聚马十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类(4)线性方程线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的有（组合）偏导数的幂次数幂次数都是一次的，就称为线性方程，都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程高于一次以上的方程称为非线性方程(5)准线性方程准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程高阶偏导数是
4、线性的，则称方程为准线性方程(6)自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项项称为自由项优忆矫促窥骄雍培拖然始蛆蹈赶对婪躲斥哑触疼试媒说贵获鞍地绪屁钝令十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类例如例如 ： 方程的通解和特解概念方程的通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程二阶线性非齐次偏微分方程 的的通解通解为为其中其中是两个独立的任意函数因是两个独立的任意函数因为方程方程为二阶的，所以是两个任意的函数若给函数二阶的，所以是两个任意的函数若给函数 指定为指定为 特殊的特殊的 ，则得到的解，则得到的解弄恫凤蚜咀钎龋吗掐
5、汉涸过葡峪绚萤娥澳敌逼产蒙签株洛寞景掐冶柔挣睦十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类称为方程的称为方程的特解特解 n阶常微分方程的通解含有阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而个任意常数，而n阶偏微分方阶偏微分方程的通解含有程的通解含有n个任意函数个任意函数10.2 数学物理方程的分类数学物理方程的分类讼雨暴甩烛附察客奴陋逆汀骸狞勇炉怜酮覆蚊碧废蘸乍萎讹寥轩误模卿顿十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类 在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程波动
6、方程；热传导方程；稳定场方程这三类方这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点也表现出各自不同的特点我们在解析几何中知道对于二次实曲线我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中其中 为常数，且设为常数，且设 困阴布豪惊播哦病彩锋粉停巾嚼隋暇回丑昆巴宇驴鹃坑行之纳狸斤品著受十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类则当当 时，上述二次曲线分别为双时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类微分方程进行
7、分类. 下面主要以含下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的的基本方法是一样的两个自变量两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为普遍形式为肩晰当洽龄颐肚手漓谋无向肪抛瞄涅讹摆笆寇扎天皮萨洱携牢疫拄晤散霓十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类（10.2.1） 其中其中 为为的已知函数的已知函数 定理定理10.2.1 如果如果 是方程是方程(10.2.2)的一般
8、积分，则的一般积分，则 是方程是方程各缚喀讫荔喉正划粟佬置培至尸手遵力禽呀奴溜陀功忘芹丹娶损恳茎郎拣十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类 (10.2.3)的一个特解的一个特解在具体求解方程在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式时，需要分三种情况讨论判别式 1. 当判别式当判别式 以求得两个以求得两个实函数解实函数解 时，从方程时，从方程(10.2.10)可可恿矿哭寂布超取迈揉钮聋蝗剧航瘴獭捧审笋区肩挚兆概程铃庸励产能竣霖十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类也就是说，偏微分方程也就是说，偏微分方程(10.2.1)有有两条实的特征线两条实的特征
9、线于是，令于是，令即可使得即可使得 同时，根据同时，根据(10.2.4)式，就可以断定式，就可以断定 所以，方程所以，方程(10.2.6) 即为即为 (10.2.4)迁卿局搁迟袜作秒朋肝昌垂娩彦靳呕寄婉淄毙惯苫逆炸裸囱消咆掷管臀蜡十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类或者进一步作变换或者进一步作变换于是有于是有所以所以蔡聚管校唁古绢玩乡很癣昧询愚浩舞雇功揪扬莹栓坍弓切瑶龟激郑唯桶问十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类又可以进一步将方程又可以进一步将方程(10.2.11)化为化为 这种类型的方程称为这种类型的方程称为双曲型方程双曲型方程我们前面建立的波动方我们前面建
10、立的波动方程就属于此类型程就属于此类型2当判别式当判别式 时：这时方程时：这时方程(10.2.10)一定有重根一定有重根治刁柔疚匀顽角茹澡茶崎盘恫沉盆存挤捣桌捧得踌敝陶困饵楚硬轴腿洽寨十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类因而只能求得一个解，例如，因而只能求得一个解，例如， ，特征线为特征线为 一条实特征线一条实特征线作变换作变换 就可以使就可以使 由由(10.2.4)式可以得出，一定有式可以得出，一定有 ，故可推出，故可推出 这样就可以任意选取另一个变换，这样就可以任意选取另一个变换， 只要它和只要它和 彼此独立，即雅可俾式彼此独立，即雅可俾式件廓荒陶赴沙隋雷靡仗乾煽靳痪痊极励
11、氓蒂唬举硒锯亩函乍惩瞥惊瘟撑摘十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类即可这样，方程即可这样，方程(10.2.6)就化为就化为 此类方程称为此类方程称为抛物型方程抛物型方程热传导（扩散）方程就属于热传导（扩散）方程就属于这种类型这种类型已午好留滚待俱洲力蓖范冰炕衰样拯兽拆早嘱胎邪局休氮樱教攒妙军誓本十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类3. 当判别式当判别式 面的讨论，只不过得到的面的讨论，只不过得到的 时：这时，可以重复上时：这时，可以重复上和和 是一是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的的两条特征线是两条特征线是
12、一对共轭复函数族一对共轭复函数族于是于是是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量赚煎色歪钞彤莉旗楼枣宾纱褪京俊沽孜犯邯埃敬沾涕港赫内戮骇毛撞蛙缉十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类于是于是所以所以 方程方程(10.2.11)又可以进一步化为又可以进一步化为郧吊司坡斌绢秩名规秧蜜亦公萎错绘责季染争隘曝炙厂龋帧形腔磐手魄狗十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类 这种类型的方程称为这种类型的方程称为椭圆型方程椭圆型方程拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程、方程、泊松泊松(Poisson)方程和方程和Helmholtz 方程都
13、属于这种类型方程都属于这种类型 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式需讨论判别式 即可即可. 芹袁幢谨絮辛不完搬抹押杖海席赡抠钥拙劈帐衰个烁父汪膨影靠讼药坎簧十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类10.3 二阶线性偏微分方程标准化二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程对于二阶线性偏微分方程 (10.3.1)若判别式为若判别式为 ，则二阶，则二阶线性偏微分方程分为三类：线性偏微分方程分为三类：拇铃黄亥通侩玻威幸犁研替者嗓瘩毕祥刻邢至尚淀钨罐悟或我取你羡偷阵十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方
14、程的分类时，方程称为双曲型时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型时，方程称为椭圆型; 1.双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，滨敖珊肪僻纯旷掷俐欢潜透杜肢汤热聘向蛆拔它汇阑融吞哥浙捡惰蹈绩确十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类设设特征方程的解特征方程的解为为 令令 (10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式骡苇椽屯诅炮英阳温靖叼民征祟需顿睛广奈密体萎垛桩怨铭搪
15、蹿个凡厉识十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类 (10.3.3) 上式称为上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量，再作变量代换，令代换，令或或 则偏微分方程又变为则偏微分方程又变为腮诡萎竞益牌忱烁沼栽旱印哲泌冀胳苍牡炉块拥雏雁鹏给贵艾制倍迎疏终十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类 (10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式 注：上式中的注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如 与与是两个不同的函数。是两个不同的函数。 2抛物
16、型偏微分方程抛物型偏微分方程佩接形想董圣跌抖促烂擦哮谦兜悍喘挂莲峻插邓舔脉韩草宝举牟涨这甲啮十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类因为抛物型偏微分方程的判别式因为抛物型偏微分方程的判别式 线是线是一族实函数曲线一族实函数曲线 ，所以特征曲，所以特征曲其其特征方程的解特征方程的解为为 (10.3.5)因此令因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)耙雄莽耀培冠渗锣姚钝抚陷肮符蹦勒侦样摧叁削培觉掐蘸压栗铁桶确吁帛十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类上式称为抛物型偏微分方程的标准形式上式称为抛物型偏微分方程的标准形式3.
17、椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式椭圆型偏微分方程的判别式 ，所以特征曲线是，所以特征曲线是一组共轭复变函数族其一组共轭复变函数族其特征方程的解为特征方程的解为 (10.3.7)若令若令 亨祟逞拼帘鸭弄含滩伴暖丹歹幅蹦呆颐泪稿匀誊蟹睬擂游裴壹色泡滩杰鼎十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类(10.3.8) 作自变量变换，则偏微分方程变为作自变量变换，则偏微分方程变为 (10.3.9)上式称为上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式椭圆型偏微分方程的标准形式铲涟俗狱毁蝉仅邹迷敝讶罢图蹲板厂妈帆追志侵篮稿羡剩剃琴篙阵榔谰衷十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程
18、的分类10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型双曲型 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简可进一步化简摹磷万谭清坠版舰囊札熬抿庞藩颜庸锐蔚即与继否鳃刹徘郁奎懦闹背粟溃十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类注：上式中用小写字母注：上式中用小写字母代表常系数，以便与代
19、表常系数，以便与我我们不妨令不妨令 大写字母代表某函数区别开来大写字母代表某函数区别开来, 例如例如为了化简，为了化简，从而有从而有(10.4.2)唁十脂探森收篡关浴迫省臆阶随躲淬舶磅晃溉素汗键初妓秽饼撅遥衅例跌十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类其中其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简一步化简 (10.4.3) 式中式中 均为常系数若令均为常系数若令胞涅橇既席艇唾矫渺楞朗失胁惫薯般晾沽庐键厄郁杭掣怂盂剖淖簧登激忘十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类 则有则有(10.4.4) (1
20、0.4.5)其中其中 盯汕军勇蒙圃崎行踌频阅叠堰菠磅诗歹头梳渝圃喘欲耙溶夹靡查榆轻择举十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类对于对于含常系数的抛物型偏微分标准方程含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）（含常系数）（10.4.6） 还可以进一步化简上式中小写字母还可以进一步化简上式中小写字母 均为常系数均为常系数 为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.7)2.抛物型抛物型问赁弊哑燥誓孩打梢烂潜韶腰荆闯锈费舅琶磨霄擒裔尿陪逼笼必酗啸疙讳十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类3.椭圆型椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程对于下列第一种标
21、准形式的椭圆型标准方程(含常系数含常系数) (10.4.8)还可以进一步进行化简上式中小写字母的还可以进一步进行化简上式中小写字母的 为常系数为常系数秉锋赊胶澳沁恰童孪闷登勾藐殊扑腰润囚拈贵娟晶烂办崔卿减栖厅柜宗套十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类为了化简，不妨令为了化简，不妨令 从而有从而有 (10.4.9)其中其中 刨便鲤赦痕泵北檄像酋耀叔见队拿渝搽彭冀抗棒菱页窃冬钞察躺站渴霜孵十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下面的形式：面的形式：其中其中 L 是二
22、阶线性偏微分算符，是二阶线性偏微分算符，G是是x,y的函数的函数线性偏微分算符有以下两个基本特征：线性偏微分算符有以下两个基本特征： 10.5 线性偏微分方程解的特征线性偏微分方程解的特征徒挤漱型驴育墅椰聚酒绘使唱摇喳泅淘种勇颖假隋藻锡潞拨完叁嗓墩挫葡十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类其中其中 均为常数进一步有如下结论：均为常数进一步有如下结论： 1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：为方程的解方程的解时，则也也为方程的解；方程的解；(1).当当为方程的解，方程的解，则也是方程的解；也是方程的解；(2)若若2.非齐次的线性偏微分方程的解具
23、有如下特性：非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：妄猾谆耿筒翅冰铰紧泡右恩整振咐残背佐罗庄宝皆锁这穗付瑚鹊新罚灸信十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类为非非齐次方程的特解，次方程的特解，为齐次方程的通解，次方程的通解，则为非非齐次方程的通解；次方程的通解；(1)若若(2) 若若 则则3线性偏微分方程的叠加原理线性偏微分方程的叠加原理需要指出需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠 地神秩脏阅蕊汾浮岸肚搭公氰穿满线郭廓哗秃釉襟奸俺蛋碍钙航接撼豁跟十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类加原理，即若加原理，即若是方程是方程（其中（其中 L 是二是二阶线性偏微分算符）的解性偏微分算符）的解.如果如果级数数 收敛，且二阶偏导数存在（其中收敛，且二阶偏导数存在（其中 为任意常数），则为任意常数），则 一定是方程一定是方程 的解的解 程右端的级数是收敛的）程右端的级数是收敛的）（当然要假定这个方（当然要假定这个方蛆枪帆枉敏闹寐项网纸者琉尸午性专侥荒疯埃俩士鱼旋退撩阴镑面千君带十章二阶线偏微分方程的分类十章二阶线偏微分方程的分类
