《高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课件 新人教A版选修11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课件 新人教A版选修11（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式主题基本初等函数的导数主题基本初等函数的导数1.1.函数函数y=f(x)=c,y=f(x)=x,y=f(xy=f(x)=c,y=f(x)=x,y=f(x)=x)=x2 2,y=f(x,y=f(x)= )= 的导的导数分别是什么数分别是什么? ?提示提示: :y=f(xy=f(x)=c)=c的导数是的导数是y y=0,y=f(x=0,y=f(x)=x)=x的导数是的导数是y y=1,y=f(x=1,y=f(x)=x)=x2 2的导数是的导数是y y=2x,y=f(x=2x,y=f(x)= )= 的导数是的导数是y y=- .=-
2、.2.2.结合结合1 1中探究你能总结出函数中探究你能总结出函数f(x)=xf(x)=x的导数吗的导数吗? ?提示提示: :由于由于0=00=0x x0-10-1,1=1,1=1x x1-11-1,2x=2,2x=2x x2-12-1,- =-1,- =-1x x-1-1-1-1, ,由此可猜想由此可猜想:y=f(x)=x:y=f(x)=x的导数是的导数是y y= =x x-1-1. .3.3.怎样理解常见函数怎样理解常见函数f(x)=c,f(x)=x,f(xf(x)=c,f(x)=x,f(x)=x)=x2 2的导数的的导数的物理意义物理意义? ?提示提示: :对于对于f(xf(x)=c,)=
3、c,由于由于f f(x(x)=0,)=0,其物理意义为某物体其物理意义为某物体的瞬时速度始终为的瞬时速度始终为0,0,即一直处于静止状态即一直处于静止状态; ;对于对于f(xf(x)=x,)=x,由于由于f f(x(x)=1,)=1,其物理意义为某物体的瞬时速其物理意义为某物体的瞬时速度为度为1 1的匀速运动的匀速运动; ;对于对于f(xf(x)=x)=x2 2, ,由于由于f f(x(x)=2x,)=2x,其物其物理意义为物体的变速运动理意义为物体的变速运动. .结论结论: :对于有些基本初等函数对于有些基本初等函数, ,由于不方便用定义法求由于不方便用定义法求导数导数, ,可直接使用下面的
4、求导数公式可直接使用下面的求导数公式: :f(x)=cf(x)=cf(xf(x)=_,)=_,f(x)=xf(x)=xf(xf(x)=x)=x-1-1(Q(Q* *),),f(x)=sinxf(x)=sinxf(xf(x)=_,)=_,f(x)=cosxf(x)=cosxf(xf(x)=_.)=_.0 0cosxcosx-sinx-sinxf(x)=af(x)=ax xf(xf(x)=_(a0),)=_(a0),f(x)=ef(x)=ex xf(xf(x)=_,)=_,f(x)=logf(x)=loga ax x_(a_(a0,0,且且a1),a1),f(x)=lnxf(x)=lnxf(xf(
5、x)=_.)=_.a ax xlnalnae ex x【微思考【微思考】1.1.在同一平面直角坐标系中在同一平面直角坐标系中, ,画出函数画出函数y=2x,y=3x,y=4xy=2x,y=3x,y=4x的图象的图象, ,并根据导数定义并根据导数定义, ,求它们的导数求它们的导数. .(1)(1)从图象上看从图象上看, ,它们的导数分别表示什么它们的导数分别表示什么? ?(2)(2)这三个函数中这三个函数中, ,哪一个增加得最快哪一个增加得最快? ?哪一个增加得最哪一个增加得最慢慢? ?(3)(3)函数函数y=kx(k0)y=kx(k0)增增( (减减) )的快慢与什么有关的快慢与什么有关? ?
6、提示提示: :(1)(1)函数函数y=2x,y=3x,y=4xy=2x,y=3x,y=4x的图象如图所示的图象如图所示, ,导数分导数分别为别为y=2,y=3,y=4.y=2,y=3,y=4.从图象上看从图象上看, ,函数函数y=2x,y=3x, y=2x,y=3x, y=4xy=4x的导数分别表示这三条直线的斜率的导数分别表示这三条直线的斜率. .(2)(2)在这三个函数中在这三个函数中y=4xy=4x增加得最快增加得最快,y=2x,y=2x增加得最慢增加得最慢. .(3)(3)函数函数y=kx(ky=kx(k0)0)增加的快慢与增加的快慢与k k有关系有关系, ,即与函数的即与函数的导数有
7、关系导数有关系,k,k越大越大, ,函数增加得越快函数增加得越快,k,k越小越小, ,函数增加函数增加得越慢得越慢. .函数函数y=kx(ky=kx(k0)0)减少的快慢与减少的快慢与|k|k|有关系有关系, ,即与函数导数即与函数导数的绝对值有关系的绝对值有关系,|k|,|k|越大越大, ,函数减少得越快函数减少得越快,|k|,|k|越小越小, ,函数减少得越慢函数减少得越慢. .2.2.如何区分如何区分f(x)=sinxf(x)=sinx与与f(x)=cosxf(x)=cosx的导数特征的导数特征? ?提示提示: :从导数公式从导数公式(sinx(sinx) )=cosx,(cosx=co
8、sx,(cosx) )=-sinx=-sinx看出看出: :一要注意函数名称的变化一要注意函数名称的变化, ,二要注意符号的变化二要注意符号的变化, ,特别特别注意注意(cosx(cosx) )=-sinx=-sinx, ,而不是而不是(cosx(cosx) )=sinx=sinx. .3.3.函数函数f(x)=lnxf(x)=lnx与与f(x)=logf(x)=loga ax x的导数公式之间有哪些的导数公式之间有哪些差异与联系差异与联系? ?提示提示: :函数函数f(x)=logf(x)=loga ax x的导数公式为的导数公式为f f(x)=(log(x)=(loga ax x) )=
9、,= ,当当a=ea=e时时, ,上述公式就变为上述公式就变为(lnx(lnx) )= .= .即即f(x)=lnxf(x)=lnx的导数公式是的导数公式是f(x)=logf(x)=loga ax x的导数公式的特的导数公式的特例例. .【预习自测【预习自测】1.1.函数函数f(xf(x)=0)=0的导数是的导数是( () )A.0 B.1A.0 B.1C.C.不存在不存在 D.D.不确定不确定【解析【解析】选选A.A.常数函数的导数为常数函数的导数为0.0.2.2.已知函数已知函数f(xf(x)= ,)= ,则则f(-2)=f(-2)=( () )A.4 B. A.4 B. C.-4 C.-
10、4 D.- D.- 【解析【解析】选选D.D.因为因为f f(x(x)=)=所以所以f(-2)=f(-2)=3.3.曲线曲线y=-xy=-x3 3+3x+3x2 2在点在点(1,2)(1,2)处的切线方程为处的切线方程为( () )A.y=3x-1 B.yA.y=3x-1 B.y=-3x+5=-3x+5C.yC.y=3x+5 =3x+5 D.yD.y=2x=2x【解析【解析】选选A.A.因为因为y y=-3x=-3x2 2+6x,y+6x,y| |x=1x=1=-3=-31 12 2 +6+61=3,1=3,即所求切线的斜率等于即所求切线的斜率等于3,3,故所求直线的方程故所求直线的方程是是y
11、-2=3(x-1),y-2=3(x-1),即即y=3x-1.y=3x-1.4.4.曲线曲线y=xy=xn n在在x=2x=2处的导数为处的导数为12,12,则则n n等于等于_._.【解析【解析】y y=nx=nxn-1n-1, ,所以所以y y| |x x=2=2=n2=n2n-1n-1=12,=12,所以所以n=3.n=3.答案答案: :3 35.5.一木块沿某一斜面自由下滑一木块沿某一斜面自由下滑, ,测得下滑的水平距离测得下滑的水平距离scmscm与时间与时间tsts之间的函数关系为之间的函数关系为:s=t:s=t2 2, ,试求试求t=2(s)t=2(s)时时, ,此木块的瞬时速度此
12、木块的瞬时速度.(.(仿照教材仿照教材P83P83例例1 1的解析过程的解析过程) )【解析【解析】由幂函数导数公式得由幂函数导数公式得s s(t(t)=2t,)=2t,故故s(2)=4,s(2)=4,因此当因此当t=2(s)t=2(s)时时, ,木块的瞬时速度为木块的瞬时速度为4cm/s.4cm/s.类型一常用函数的导数类型一常用函数的导数【典例【典例1 1】(1)(1)下列结论中正确的个数为下列结论中正确的个数为( () )y=ln2,y=ln2,则则y= ;y= ,y= ;y= ,则则y|y|x x=3=3=- ;y=2=- ;y=2x x, ,则则y=2y=2x xln2;y=logl
13、n2;y=log2 2x,x,则则y=y=A.0 B.1 A.0 B.1 C.2 C.2 D.3D.3(2)(2)函数函数y= y= 在点在点 处的导数值是处的导数值是( () )A.4 B.-4 A.4 B.-4 C.- C.- D. D. 【解题指南【解题指南】(1)(1)直接利用常用函数的导数即可直接利用常用函数的导数即可.(2).(2)可可先求出函数先求出函数y= y= 的导数的导数, ,再代入求值再代入求值. .【解析【解析】(1)(1)选选D.D.若若y=ln2,y=ln2,则则y y=0,=0,故故错错; ;若若y= ,y= ,则则y y=- ,=- ,所以所以y y| |x x
14、=3=3=- ,=- ,对对; ;若若y=2y=2x x, ,则则y y=2=2x xln2,ln2,对对, ,也对也对. .(2)(2)选选B.B.因为因为y=- ,y=- ,所以当所以当x= x= 时时,y=-4.,y=-4.【延伸探究【延伸探究】1.1.若把本例若把本例(2)(2)中的点中的点“ ”改为改为“ ”, ,则结果则结果如何如何? ?【解析【解析】因为因为y y=- ,=- ,所以当所以当x=2x=2时时,y,y= =2.2.若把本例若把本例(2)(2)中的条件改为中的条件改为“函数函数y= y= 在点在点(m,n(m,n) )处处的导数值为的导数值为-1-1”, ,则则m+n
15、m+n的值是多少的值是多少? ?【解析【解析】因为因为y y=- ,=- ,又在点又在点(m,n(m,n) )处的导数值为处的导数值为-1,-1,所以所以 =-1,=-1,故故m m2 2=1,=1,所以所以m=m=1.1.当当m=1m=1时时,n=1,n=1,当当m=-1m=-1时时,n=-1,n=-1,故故m+nm+n=2=2或或m+nm+n=-2.=-2.【方法总结【方法总结】定义法求导与公式法求导的对比定义法求导与公式法求导的对比(1)(1)定义法求导定义法求导: :导函数定义本身就是函数求导的最基导函数定义本身就是函数求导的最基本方法本方法, ,但导函数是用极限定义的但导函数是用极限
16、定义的, ,所以该方法求导最所以该方法求导最终归结为求极限终归结为求极限, ,在运算上很麻烦在运算上很麻烦, ,运算会很困难运算会很困难. .(2)(2)公式法求导公式法求导: :用导数定义推导出常见函数与基本初用导数定义推导出常见函数与基本初等函数的导数公式后等函数的导数公式后, ,就可以用公式直接求导就可以用公式直接求导, ,该方法该方法简捷迅速简捷迅速. .【补偿训练【补偿训练】如果函数如果函数f(xf(x)=x)=x2 2, ,则则的值等于的值等于_._.【解析【解析】因为因为f(xf(x)=x)=x2 2, ,所以所以f f(x(x) )=2x,=2x,=f=f(4)(4)=8.=8
17、.答案答案: :8 8类型二利用基本初等函数的导数公式求导数类型二利用基本初等函数的导数公式求导数【典例【典例2 2】(1)(1)已知函数已知函数f(x) =lnx,f(xf(x) =lnx,f(x) )是是f(xf(x) )的导的导数数,f(x,f(x) )的大致图象是的大致图象是( () )(2)f(x)= ,(2)f(x)= ,则则f (-1)=f (-1)=( () )【解题指南【解题指南】(1)(1)先求出函数先求出函数f(x)=lnxf(x)=lnx的导数的导数, ,再观察再观察其图象其图象, ,注意定义域注意定义域. .(2)(2)注意先对式子注意先对式子f(xf(x)= )=
18、转化转化, ,再利用幂函数导数再利用幂函数导数公式求导公式求导. .【解析【解析】(1)(1)选选C.C.因为函数因为函数f(x)=lnxf(x)=lnx的定义域为的定义域为(0,+(0,+),),所以所以f f(x(x)= )= 的定义域也为的定义域也为(0,+(0,+),),所以其所以其图象为反比例函数在第一象限的部分图象为反比例函数在第一象限的部分. .(2)(2)选选D.D.因为原函数可转化为因为原函数可转化为:f(x:f(x)=)=所以所以f (x)=f (x)=所以所以f (-1)=f (-1)=【方法总结【方法总结】求简单函数导数的策略求简单函数导数的策略(1)(1)看形式看形式
19、: :首先观察函数的形式首先观察函数的形式, ,看是否符合基本初等看是否符合基本初等函数的形式函数的形式, ,如对于形如如对于形如 的函数一般先转的函数一般先转化为幂函数的形式化为幂函数的形式, ,再用幂函数的求导公式求导再用幂函数的求导公式求导. .(2)(2)化简化简: :对于不具备基本初等函数特征的函数可进行对于不具备基本初等函数特征的函数可进行适当变形适当变形, ,将其化成基本初等函数或与之相接近的函数将其化成基本初等函数或与之相接近的函数形式形式, ,如将根式、分式化为指数式如将根式、分式化为指数式, ,利用幂函数求导利用幂函数求导. .(3)(3)选公式选公式: :选择恰当的公式求
20、解函数的导数选择恰当的公式求解函数的导数. .提醒提醒: :区分指数函数、对数函数的求导公式区分指数函数、对数函数的求导公式, ,以免在运以免在运用时混淆用时混淆. .【巩固训练【巩固训练】(2017(2017郑州高二检测郑州高二检测) )已知已知f(xf(x)=)=且且f(1)=- ,f(1)=- ,求求n.n.【解析【解析】f f(x(x)= )= 所以所以f(1)=- ,f(1)=- ,由由f(1)=- f(1)=- 得得- =- ,- =- ,得得n=3.n=3.【补偿训练【补偿训练】已知曲线已知曲线y= -3lnxy= -3lnx的一条切线的斜率的一条切线的斜率为为 , ,则切点的横
21、坐标为则切点的横坐标为( () )A.3 B.2 A.3 B.2 C.1 C.1 D. D. 【解析【解析】选选A.A.因为因为y y= ,= ,所以所以解得解得x=3(x=-2x=3(x=-2不合题意不合题意, ,舍去舍去).).类型三利用导数公式求切线方程类型三利用导数公式求切线方程【典例【典例3 3】已知函数已知函数f(xf(x) )在在R R上满足上满足f(xf(x)=2f(2-x)-)=2f(2-x)-x x2 2+8x-8,+8x-8,则曲线则曲线y=f(xy=f(x) )在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程是处的切线方程是( () )A.y=2x-1 B.yA.y=2
22、x-1 B.y=x=xC.yC.y=3x-2 =3x-2 D.yD.y=-2x+3=-2x+3【解题指南【解题指南】先根据先根据f(xf(x)=2f(2-x)-x)=2f(2-x)-x2 2+8x-8+8x-8求出函数求出函数f(xf(x) )的解析式的解析式, ,然后对函数然后对函数f(xf(x) )进行求导进行求导, ,进而可得到进而可得到y=f(xy=f(x) )在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程的斜率处的切线方程的斜率, ,最后根据点最后根据点斜式可求切线方程斜式可求切线方程. .【解析【解析】选选A.A.因为因为f(xf(x)=2f(2-x)-x)=2f(2-x)-x2
23、 2+8x-8,+8x-8,所以所以f(2-x)=2f(x)-(2-x)f(2-x)=2f(x)-(2-x)2 2+8(2-x)-8,+8(2-x)-8,所以所以f(2-x)=2f(x)-xf(2-x)=2f(x)-x2 2+4x-4+16-8x-8,+4x-4+16-8x-8,将将f(2-x)f(2-x)代入代入f(xf(x)=2f(2-x)-x)=2f(2-x)-x2 2+8x-8+8x-8得得f(xf(x)=4f(x)-)=4f(x)-2x2x2 2-8x+8-x-8x+8-x2 2+8x-8,+8x-8,所以所以f(xf(x)=x)=x2 2,f(x)=2x,f(x)=2x,所以所以y
24、=f(xy=f(x) )在在(1,f(1)(1,f(1)处的切处的切线斜率线斜率y=2,y=2,所以所以y=f(xy=f(x) )在在(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程为处的切线方程为y-1=2(x-1),y-1=2(x-1),即即y=2x-1.y=2x-1.【方法总结【方法总结】求切线方程的步骤求切线方程的步骤(1)(1)利用导数公式求导数利用导数公式求导数. .(2)(2)求斜率求斜率. .(3)(3)写出切线方程写出切线方程. .求解时注意导数为求解时注意导数为0 0和导数不存在的情形和导数不存在的情形. .【巩固训练【巩固训练】1.(20171.(2017广州高二检测广州高二检测
25、) )曲线曲线y=ey=ex x在点在点(0,1)(0,1)处的切线斜率为处的切线斜率为( () )A.1 B.2 A.1 B.2 C.e C.e D.0 D.0【解析【解析】选选A.A.因为因为y=ey=ex x, ,所以所以y y=e=ex x, ,所以曲线所以曲线y=ey=ex x在点在点(0,1)(0,1)处的切线斜率处的切线斜率k=ek=e0 0=1.=1.2.2.求函数求函数y=6y=6x x在在x=1x=1处的切线方程处的切线方程. .【解析【解析】因为因为y y=(6=(6x x) )=6=6x xln6,ln6,所以当所以当x=1x=1时时,y,y=6ln6,=6ln6,又又
26、x=1x=1时时,y=6,y=6,所以切线方程为所以切线方程为y-6=6ln6(x-1),y-6=6ln6(x-1),即即6xln6-y-6ln6+6=0.6xln6-y-6ln6+6=0.【补偿训练【补偿训练】曲线曲线y=-5ey=-5ex x+3+3在点在点(0,-2)(0,-2)处的切线方程为处的切线方程为_._.【解析【解析】由由y=-5ey=-5ex x+3,+3,得得y y=-5e=-5ex x, ,所以切线的斜率所以切线的斜率k=yk=y| |x x=0=0=-5,=-5,所以切线方程为所以切线方程为y+2=-5(x-0),y+2=-5(x-0),即即5x+y+2=0.5x+y+2=0.答案答案: :5x+y+2=05x+y+2=0【课堂小结【课堂小结】1.1.知识总结知识总结2.2.方法总结方法总结(1)(1)导数公式的功能导数公式的功能: :幂函数导数公式有降幂功能幂函数导数公式有降幂功能. .正正( (余余) )弦函数导数公式有名称更换功能弦函数导数公式有名称更换功能. .(2)(2)对于形如对于形如 的函数一般先转化为幂函数的函数一般先转化为幂函数的形式的形式, ,再用幂函数的求导公式求导再用幂函数的求导公式求导. .(3)(3)要区分指数函数、对数函数的求导公式要区分指数函数、对数函数的求导公式, ,以免在运以免在运用时混淆用时混淆. .
