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1、第五节第五节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程这是一类有专门的求解方法微分方程这是一类有专门的求解方法微分方程定义定义 形如形如ypy qy f(x)的方程称的方程称为二阶常系数线性微分方程为二阶常系数线性微分方程 其中其中p, q是常是常数数, f(x)称为自由项称为自由项. 特别地特别地, 当当f(x)=0时时, ypy qy 0称为二阶常系数线性称为二阶常系数线性齐次微分方程齐次微分方程 否则称为线性非齐次否则称为线性非齐次微分微分方程方程.证毕证毕是方程是方程的两个解的两个解,也是该方程也是该方程证证:代入方程左边代入方程左边, 得得定理定理.(叠加原理叠加原理)
2、的解的解. 定理定理表明表明, 二阶二阶线性齐次微分方程任线性齐次微分方程任何两个解何两个解 y1(x), y2(x) 的线性组合的线性组合那么那么, 是不是方程的通解呢？是不是方程的通解呢？仍是方程的解仍是方程的解.例例. 对于二阶常系数对于二阶常系数线性齐次微分方程线性齐次微分方程容易验证容易验证:也是它的解也是它的解. 但这个解中只含有一个任意常但这个解中只含有一个任意常数数C, 显然它不是所给方程的通解显然它不是所给方程的通解.由定理知由定理知都是它的解都是它的解. 问题问题: 方程的两个特解方程的两个特解 y1(x), y2(x) 满满足什么条件时足什么条件时,的通解？的通解？ 由例
3、由例7-12的分析可知的分析可知, 如果方程的两个如果方程的两个特解特解y1(x), y2(x)之间不是常数倍的关系之间不是常数倍的关系, 那么它们线性组合得到的解那么它们线性组合得到的解就必定是方程的通解就必定是方程的通解.才是方程才是方程 定义定义 设设y1(x) 与与y2(x)是定义在某区是定义在某区间内的两个函数间内的两个函数, 如果存在不为零的常数如果存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数或存在不全为零的常数k1, k2), 使得对使得对于该区间内的一切于该区间内的一切x, 有有成立成立, 则称函数则称函数y1(x) 与与y2(x) 在该区间内在该区间内线性相关线性相关, 否则称
4、否则称y1(x)与与y2(x)线性无关线性无关.思考思考:中有一个恒为中有一个恒为0, 则则必线性必线性相关相关定理定理. (二阶齐次线性方程通解的结构二阶齐次线性方程通解的结构)是二阶线性齐次方程的两个是二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解线性无关的特解, 则则数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程方程有特解有特解且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为将将y erx代代入入方方程程ypy qy 0得得(r2 pr q)erx 0 分析分析 考虑到当考虑到当y , y , y为同类函为同类函数时数时 有可能使有可能使ypy qy 恒等于零恒等于零 而函数而函数erx具有这种
5、性质具有这种性质 所以猜想所以猜想erx是方程是方程的解的解 二阶齐次线性方程通解的求法二阶齐次线性方程通解的求法由此可见由此可见 只要只要r满足代数方程满足代数方程r2 pr q 0 函数函数y erx 就是微分方程的解就是微分方程的解 r2 pr q 0叫做微分方程叫做微分方程ypy qy 0的特征方程的特征方程. 特征方程的求根公式为特征方程的求根公式为(1) 当当时时, 方程有两个相异实根方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解则微分方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为因此方程的通解为设设r1, r2是特征方程的两个根是特征方程的两个根.(2) 当当时时, 特征方程有两相
6、等实根特征方程有两相等实根则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解设另一特解为设另一特解为, ( u(x) 待定待定).是特征方程的重根是特征方程的重根取取u=x, 得得因此原方程的通解为因此原方程的通解为得得:代入原微分方程代入原微分方程(3) 当当时时, 方程有一对共轭复根方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理利用解的叠加原理, 得原方程线性无关特得原方程线性无关特解解:因此原方程的通解为因此原方程的通解为实根实根 特特 征征 根根通通 解解(1) 写出微分方程的特征方程写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0 (2) 求出特征方程的两个根求出特征
7、方程的两个根r1, r2 求求y +py +qy=0的通解的步骤的通解的步骤: (3) 根据特征方程根的不同情况根据特征方程根的不同情况, 写出微分写出微分方方 程的通解程的通解. 因此微分方程的通解为因此微分方程的通解为y C1e x C2e3x 例例1 求微分方程求微分方程y2y 3y 0的通解的通解 解解: 微分方程的特征方程为微分方程的特征方程为 r2 2r 3 0 特征方程有两个不等的实根特征方程有两个不等的实根r11 r2 3 即即(r 1)(r 3) 0 例例2 求解初值问题求解初值问题解解: 特征方程特征方程, 特征根特征根为为因此原方程的通解为因此原方程的通解为由初始条件得由初始条件得于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为例例3 求微分方程求微分方程解：解： 所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为其根为其根为, 故所求通解故所求通解为为的通解的通解.习题习题6-5 (p358)全部做于书上全部做于书上, 1(5), 2(5)交作业交作业.
