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1、温州大学城市学院温州大学城市学院 第四节一、函数单调性一、函数单调性二、函数的极值二、函数的极值函数的单调性与极值 调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 oxxoyy则能否用导数的符号来判断函数的单调性呢则能否用导数的符号来判断函数的单调性呢? 当曲线为当曲线为上升上升(或或下降下降)时时,其上各点切线与其上各点切线与x轴正向夹轴正向夹角为角为锐角锐角(或或钝角钝角),则其切线斜率则其切线斜率tan是非负是非负(或或非正非正)的的.根据导数的几何意义知函数根据导数的几何意义知函数(x)单调单调增加增加(或或减少减少)时时, 有有可见函数的单调性与导数的符号有关可见函数的单调性与导数的
2、符号有关.一、函数的单调性一、函数的单调性调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 1、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法(a,b)可导可导. 若在若在(a,b)内，恒内，恒有有定理定理1 设函数设函数则则 在在 a,b内单调增加内单调增加(减少减少) .在闭区间在闭区间 a,b内连续内连续, 在开区在开区间间注：注：如果函数在如果函数在个别点处导数为零个别点处导数为零, 其余各地处都为正（或其余各地处都为正（或负），那么函数在该区间上仍是单调增（或负），那么函数在该区间上仍是单调增（或 单调减少）的单调减少）的 .例如例如,调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 若函数在其
3、定义域的某个区间内单调的，则该若函数在其定义域的某个区间内单调的，则该区间称为函数的区间称为函数的单调区间单调区间.例例2. 确定函数确定函数的单调区间的单调区间.调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 (1) 证明不等式证明不等式:例例3 证明：当证明：当 时，时，2、 函数单调性的应用函数单调性的应用利用单调性利用单调性: 关键是根据所给条件及区间构造辅助函数关键是根据所给条件及区间构造辅助函数, 并讨论它在指定区间内的单调性并讨论它在指定区间内的单调性.例例4 证明方程证明方程(2) 判断方程根的个数判断方程根的个数:在区间在区间(-1, 0)内有且只有内有且只有一个实根一个实根
4、.调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 练习练习 证明：当证明：当 时，时，作业作业 P 129 21 (2)，(4)， 24 (2)调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 (1) 则称则称 为为 的的极大值点极大值点 ,称称 为函数的为函数的极大值极大值 ;(2) 则称则称 为为 的的极小值点极小值点 ,称称 为函数的为函数的极小值极小值 .极大值点与极小值点统称为极大值点与极小值点统称为极值点极值点 .1、极值的定义、极值的定义二、函数的极值函数的极值设函数设函数 y = f (x) 在点在点x0 的某邻域内有定义的某邻域内有定义.如果对该邻域内任意的如果对该邻域内任意的
5、 x ( ) 总有总有而极大值与极小值统称为而极大值与极小值统称为极值极值 .调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 y性态性态取得值的点取得值的点值的个数值的个数值的情况值的情况极值极值局部局部内点内点若干个极值若干个极值极小值可能大于极小值可能大于极大值极大值最值最值整体整体内点内点,端点端点只有一个最大最只有一个最大最小值小值最小值不能大于最小值不能大于最大值最大值oxy= (x)Mmab调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 2、 函数极值的判定与求法函数极值的判定与求法xyOCD可导函数的极值点必为驻点可导函数的极值点必为驻点 反之是否成立？反之是否成立？调性与极值最
6、值温州大学城市学院温州大学城市学院 因此，函数的极值点只可能在函数的驻点和不可因此，函数的极值点只可能在函数的驻点和不可导点取到导点取到 oxy=|x|调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 定理定理 2 (极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1) “左左正正右右负负” ,(2) “左左负负右右正正” ,(3) “不变符号不变符号” ,则因此求极值的一般步骤为因此求极值的一般步骤为:(1)给出定义域给出定义域,并找出函数的驻点及连续不可导点，将定义域并找出函数的驻点及连续不可导点，将定义域划分为小区间划分为小区间;(2)考察这些点两侧导函数的符号，从而确定极值点考察这
7、些点两侧导函数的符号，从而确定极值点;(3)求出极值点的函数值求出极值点的函数值,即为极值即为极值.调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 例例2求函数求函数的极值的极值 .练习练习. 确定函数确定函数的极值的极值.定理定理3 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数二阶导数 , 且且则则 在点在点 取极大值取极大值 ;则则 在点在点 取极小值取极小值 .调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 若若(x)在驻点在驻点 处的二阶导数处的二阶导数 , 则该判别法失效则该判别法失效.对于一阶导数对于一阶导数,二阶导数不存在的点二阶导数不
8、存在的点,不能用第二判别法判定不能用第二判别法判定.故第一判别法故第一判别法 比第二判别法比第二判别法 更普遍更普遍.(只需点连续即可只需点连续即可)定理定理3 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数二阶导数 , 且且则则 在点在点 取极大值取极大值 ;则则 在点在点 取极小值取极小值 .调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 作业：作业：P13025 (1)(4) 26 (2)调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 第五节、最值问题第五节、最值问题 y性态性态取得值的点取得值的点值的个数值的个数值的情况值的情况极值极值局部局部内点内点若干个极值若干个极值极小值可能大于极小值
9、可能大于极大值极大值最值最值整体整体内点内点,端点端点只有一个最大最只有一个最大最小值小值最小值不能大于最小值不能大于最大值最大值oxy= (x)Mmab极值点或端点极值点或端点调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 第五节、最值问题第五节、最值问题 则其最值只能则其最值只能在在极值点极值点或或端点端点处达到处达到 . .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求求 在在 内的极值可疑点内的极值可疑点(2) 最大值最大值最小值最小值调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 例例1 求函数求函数上的最值上的最值在在调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 特别特别: 当
10、当 在在 内只有内只有一个一个极值可疑点时极值可疑点时, 当当 在在 上上单调单调时时, 最值必在端点处达到最值必在端点处达到.若在此点取极若在此点取极大大 值值 , 则也是最则也是最大大 值值 . (小小)(小小) 在实际问题中在实际问题中, 若由分析得知确实存在最大值若由分析得知确实存在最大值或最小值或最小值, 而所讨论的区间内仅有一个可能的极值而所讨论的区间内仅有一个可能的极值点点, 那么这个点的函数值一定是最大值或最小值那么这个点的函数值一定是最大值或最小值.调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 例例2. 设圆柱形有盖茶缸容积设圆柱形有盖茶缸容积V为常数为常数,求表面积为最小
11、求表面积为最小时时, 底半径底半径 r 与高与高 h 之比之比.hr解 设表面积为s,则目标函数为调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 作业：作业： P130 28(3), 30则其最值只能则其最值只能在在极值点极值点或或端点端点处达到处达到 . . 当当 在在 内只有内只有一个一个极值可疑点时极值可疑点时,若在此点取极大若在此点取极大 值值 , 则也是最大则也是最大 值值 . (小小)(小小) 在实际问题中在实际问题中, 若由分析得知确实存在最大值若由分析得知确实存在最大值或最小值或最小值, 而所讨论的区间内仅有一个可能的极值而所讨论的区间内仅有一个可能的极值点点, 那么这个点的函
12、数值一定是最大值或最小值那么这个点的函数值一定是最大值或最小值.课堂小结课堂小结调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 例例3. 求函数的极值 . 解解: 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值 ;又故需用第一判别法判别.调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 若若定理定理 设函数设函数则则 在在 I 内单调递增内单调递增(递减递减) .在开区间在开区间 I 内可导内可导,课堂小结课堂小结一、单调性一、单调性调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 二二. 连续函数的极连续函数的极值值(1) 极值可疑点极值
13、可疑点 :使导数为使导数为0 或不存在的点或不存在的点(2) 第一充分条件第一充分条件过过由由正正变变负负为极为极大大值值过过由由负负变变正正为极为极小小值值(3) 第二充分条件第二充分条件为极为极大大值值为极为极小小值值调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 求极值的一般步骤为求极值的一般步骤为:(1)给出定义域给出定义域,并找出函数的驻点及连续不可导点，并找出函数的驻点及连续不可导点，将定义域划分为小区间将定义域划分为小区间;(2)考察这些点两侧导函数的符号，从而确定极值点考察这些点两侧导函数的符号，从而确定极值点;(3)求出极值点的函数值求出极值点的函数值,即为极值即为极值.作业：作业：P13025 (1)(4) 26 (2)调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 练习练习: 求函数求函数 的极值的极值.个驻点调性与极值最值温州大学城市学院温州大学城市学院 例例2 求函数求函数 的极值的极值.故函数有极大值故函数有极大值 (0) = 0. 函数有极小值函数有极小值x(-, 0)0(0,1)1(1,+)+不存在不存在0+(x)极大值极大值极小值极小值调性与极值最值
