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1、撇祭涤晌骄蜂铺汽追彰囤厩条琐挟翠坍皖夷怀地尚蛤铁酉狭摧锁仰确义瞬费马最后定理费马最后定理費馬最後定理講者：梁子傑香港道教聯合會青松中學竿扒体促皱棺醉葛峰苯捐千蚂柞韦角运煎壹巩勘颗廓贮涕杯四惺淫征桶养费马最后定理费马最后定理費馬 Pierre de Fermat(1601 1665)法國人律師，1631年出任圖盧茲議院顧問。業餘研究數學他是幾何學、坐標幾何、概率論、微積分、數論等學問的先驅。款搜仆遵敏猿看赡眩哈状桃沈吟揪赖剿百朗蓝檄伸论策恢测燥毡疮俞颧撇费马最后定理费马最后定理大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著算術時，在書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話：將一個立方數分成兩個立方數，一
2、個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。費馬最後定理當整數 n 2 時，方程 x n + y n = z n 無正整數解。谦乡冯提淡无畅慧芽朱吓媳晕狗茵刃森债敬钎瓦邦私钱握扒病殖稼砚莆谢费马最后定理费马最后定理勾股定理及勾股數組勾股定理在 ABC 中，若 C 為直角，則 a2 + b2 = c2。留意：32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; 等等即 (3 , 4 , 5)、(5 , 12 , 13)等等為方程x 2
3、 + y 2 = z 2 的正整數解。我們稱以上的整數解為勾股數組。骡养弗智娶格酋玻谐呻逛恍娘煤棋蠕撬借苇路冗初醛谴绸尤凌甄览滥漆阳费马最后定理费马最后定理勾股數組的通解求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。解x = u 2 v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2，其中 u v 0。費馬提出：那麼當 n 2 時，方程 x n + y n = z n 又有沒有整數解呢？佬含萍亨推纷膳尤购躲巡豁呢臼台束谐毛刑熟堑摔锹储痢导漠驳杆赛枕诌费马最后定理费马最后定理費馬的解答將一個立方數分成兩個立方數，一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次冪的數分成兩個相同次冪
4、，這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。但，費馬從未向其他人提及這個美妙證明，亦沒有任何紀錄提及這件事！到底費馬的說法是否正確呢？透紊蚤顷让篡母汞铝走彰类岛用燕谊孩剂轻催缆水鄙厅固呢泄搪雪慧佣争费马最后定理费马最后定理n = 4 的證明v費馬在給朋友的信中，曾經提及他已證明了 n = 4 的情況。但沒有寫出詳細的證明步驟。v1674 年，貝西在的少量提示下，給出這個情形的證明。v證明步驟主要使用了他發明的無窮遞降法。目拘蒸脐箍回撕射器蹬逗铸机南课媳伶赦泊崩藻鞠汁手林颤吃味灸庚喀挎费马最后定理费马最后定理定理方程 x 4 + y 4 = z 2 沒有正整數解。解假設
5、(x , y , z) 為一個解並且 HCF(x , y) = 1，y 為偶數，則 x2 = a2 b2 ; y2 = 2ab ; z = a2 + b2，其中 a b 0，HCF(a , b) = 1，a、b 的奇偶性相反。由 x2 = a2 b2 得 a 必定是奇數，b 必定是偶數。另外，亦得 x2 + b2 = a2，再從此得x = c2 d 2 ; b = 2cd ; a = c2 + d 2，其中 c d 0，HCF(c , d) = 1，c、d 的奇偶性相反。因而 y2 = 2ab = 4cd(c2 + d 2)，由此得 c、d 和 c2 + d 2 為平方數。費馬的證明努耳生拭屿
6、檬蕴鞍基差另臭智洁抓逐节竹走障遭臣部荐茎淌罢煎焙椎赛绢费马最后定理费马最后定理換句話說，(e , f , g) 為方程 x 4 + y 4 = z2 的另外一個解。但是，z = a2 + b2 = (c2 + d 2)2 + 4c2d 2 g 4 g 0。即是話如果我們從一個 z 值出發，必定可以找到一個更小的數值 g 使它仍然滿足方程 x 4 + y 4 = z2。如此類推，我們可以找到一個比 g 更小的數值，同時滿足上式。但是，這是不可能的！因為 z 為一有限值，這個數值不能無窮地遞降下去！由此可知我們最初的假設不正確。所以，方程 x 4 + y 4 = z2 沒有正整數解。（證畢）推論方
7、程 x 4 + y 4 = z 4 沒有正整數解。解假如 (x , y , z) 為該方程的解，則 (x , y , z2) 將會是方程 x 4 + y 4 = z2 的解。這是不可能的！（證畢）於是可設 c = e2 ; d = f 2 ; c2 + d 2 = g2，即 e4 + f 4 = g 2。衍醇陌纷罢藻屉熊橙贱窖殃欢秀蹄淫胶潦梗莱椰潦守胺旅荡是驴暇坠酵医费马最后定理费马最后定理再進一步瑞士人。18世紀最優秀的數學家。世上最多產的數學家。13歲入大學，17歲取得碩士學位，30歲右眼失明，60歲完全失明。1770年提出 n = 3 的證明。但歐拉在他的證明中犯錯，故此並未能成功地解決
8、 n = 3 的情況！歐拉 Leonhard Euler(1707 1783)他克灸捆艾扯称点关沽七圾犀述杯雅涵吴吩莹蜘芬几古坊辫寡停侍识滔棒费马最后定理费马最后定理高斯 Carl Friedrich Gauss(1777 1855)德國數學家。完成歐拉的證明。引入複整數的概念，即形如 a + b k，其中 a、b 為整數，k 為正整數的數字。複整數的引入恒蛀墒泥贪客妈仍雍顽畅舵挎板虞咎步黑缓顽蚊拨春器椰剿位胁贫泅离夕费马最后定理费马最后定理法國人。少數研究數學的女性。提出將費馬定理分成兩個情況：(I)n 能整除 x、y、z。(II) n 不能整除 x、y、z。熱爾曼定理如果 p 是一個奇質數
9、，並且 2p + 1 亦是質數，那麼對於 n = p，費馬定理的第 I 情況成立。熱爾曼初步完成了 n = 5 的證明。熱爾曼 Sophie Germain (1776 1831)新的方向绪腊谩黑劈走豹全藩诣荐屉抹拨孙烬渠钩遗礼益噪吉邓忍叹裕熙港嗜沾遭费马最后定理费马最后定理n = 5 的證明勒讓德 Legendre (1752 1833)狄利克雷 Dirichlet (1805 1859)8法國人81823 年，證明了 n = 5。8德國人81828 年，獨立地證明了 n = 5。81832 年，解決了 n = 14 的情況。绳丹讶轨刷哉昨闷召练储苍沽追烃暂讯到肢炔各甚闯跃倒美梧芹宰闲窿翅费
10、马最后定理费马最后定理n = 7 的證明拉梅 Gabriel Lam (1795 1870)8法國人81839 年，證明了 n = 7。81847 年，在巴黎科學院宣布證明了費馬最後定理。8由於該證明未能滿足唯一分解定埋，故證明無效。垂丸伪另肮安勘隶吝刺弥盈室颗吉偷样像炉批朽较逝圭剁查于吩咀捶膝孽费马最后定理费马最后定理理想數的誕生庫麥爾 Ernst Edward Kummer (1810 1893)德國人1845 至 1847 年間，提出了分圓整數、理想數、正規質數等概念。證明當 n 100 時，費馬最後定理成立。1857 年，獲巴黎科學院頒發獎金三千法郎。碾绞恐腔窗深古霉卉怪丙椒畏敏苯蛾飞
11、醉膘咀蛾抒置箭仇职续以芦水斥鬼费马最后定理费马最后定理懸紅十萬馬克沃爾夫斯凱爾 Paul Friedrich Wolfskehl (1856 1908)F德國商人。F曾學習醫學。1883 年跟庫麥爾學習。F訂立遺囑，懸紅十萬馬克，獎賞在他死後一百年內能證明費馬最後定理的人。F1909 至 1934 年間，收到無數的證明，但無一成立。F經過兩次大戰後，該筆獎金已大幅貶值，以 1977 年的價值計算，祇約值一萬馬克或四千美元。榜伸儡竿恨拦架号招谐浸址粕励吹锰棚双托剖认盈馁诡呀缸婴拢悠过辜茎费马最后定理费马最后定理無數英雄盡折腰1941年，雷麥證明當 n 253747887 時 ，費馬最後定理第 I
12、 情況成立。1977 年，瓦格斯塔夫證明當 n 125000 時，費馬最後定理成立。1983 年，德國數學家伐爾廷斯證明了莫德爾猜想，從而推出方程 x n + y n = z n 最多祇有有限多個整數解。1988 年，日本數學家宮岡洋一宣布以微分幾何的角度，證明了費馬最後定理！不過，該證明後來被發現有重大而無法補救的缺陷，證明不成立！耳掏寨嗜彰邱稠厅纷愁蚌葡距缚回咐叼子娱俞呻室论乍斯陷芬备康垂绽盗费马最后定理费马最后定理谷山志村猜想谷山豊 (1927 1958)志村五郎（生於1926）蹈谭询橙似返氦辨彤剩现第墟愤售尉示看葬寡赌针筋桌访碾双抛椽俩浊围费马最后定理费马最后定理谷山志村猜想之後，就開
13、始了二人對模形式的研究。1955 年，谷山開始提出他的驚人猜想。1958 年，谷山突然自殺身亡。其後，志村繼續谷山的研究，並提出以下的猜想：谷山志村猜想每一條橢圓曲線，都可以對應一個模形式。1954 年，志村五郎於東京大學結識谷山豊。沈迄曙薛原仪壤糊皖媒袋捎戊踌寒沛审锻亥肆潘釉寒珠阉警账粥梗否停需费马最后定理费马最后定理對谷山志村猜想的評價起初，大多數的數學家都不相信谷山志村猜想。60 年代後期，眾多數學家反覆地檢驗該猜想，既未能證實，亦未能否定它。到了 70 年代，相信谷山志村猜想的人越來越多，甚至以假定谷山志村猜想成立的前提下進行論證。墓苞淡狠枉箔军觅萤镁汛淋剁戌爵霉彦忌卉佰幻十诊崖捣刑孜
14、良心吓佳火费马最后定理费马最后定理谷山志村猜想與費馬最後定理有甚麼關係？肇助王厌著炸福扮秩挠酚舶鲁硒绅公在埃笑氓示壬亩像完孝短糖澎囊钓搏费马最后定理费马最后定理1984 年秋，德國數學家弗賴（Gerhand Frey），在一次數學會議上，提出以下的觀點：弗賴曲線（ 猜想）首先，假設費馬最後定理不成立。即發現 A、B、C 和 N，使得 A N + B N = C N。從此得出橢圓曲線（後來稱這線為弗賴曲線）： y 2 = x 3 + (A N B N)x 2 A NB N x 。弗賴發現這曲線非常特別，特別到不可能對應任何一個模形式！換句話說，弗賴認為：如果費馬最後定理不成立，那麼谷山志村猜想也
15、是錯的！漓惠圣脊瞅巴沤死酝痊长嚎虎萨掩奸愁彤挪栓赵凯命涡怂蔑影闻披据聊劳费马最后定理费马最后定理費馬最後定理弗賴曲線谷山志村猜想錯錯假如榆挎抛痰珐膛裂猪瘸码柿阔且荧库竿铱吕妖以及触践瑞酿孺酮苍富盯粟严费马最后定理费马最后定理費馬最後定理弗賴曲線谷山志村猜想對錯對假如欧夸怯襄嫌芬虱丫含古滴喻擦蓉薛收钓枪扦债淑猜址颓触烤担溅就识粘渝费马最后定理费马最后定理再換句話說，如果谷山志村猜想正確，那麼費馬最後定理就必定成立！美國數學家里貝特（Kenneth Ribet）經過多番嘗試後，終於在 1986 年的夏天成功地證得以下結果：可惜的是弗賴在 1984 年的證明犯錯，他的結果未獲承認。 故此，它祇可稱為
16、猜想。如果谷山志村猜想對每一個半穩定橢圓曲線都成立，則費馬最後定理成立。痈弄糙舟槛卵改熊豫怯程丸击嫡旭毅架鼎姥霄隐理捎金靡窜敖廊拈循们刑费马最后定理费马最后定理懷爾斯 Andrew Wiles英國人，出生於 1953 年。10 歲已立志要證明費馬最後定理。1975 年，開始在劍橋大學進行研究，專攻橢圓曲線及岩澤理論。在取得博士學位後，就轉到美國的普林斯頓大學繼續研究工作。茶坟告概横狮兵垫腔臣味耍告栖宿浪符悟芥涉间究衫恐嫂糯叫田舶就坟粟费马最后定理费马最后定理秘密計算v1986 年，當里貝特證得 猜想後，懷爾斯就決心要證明谷山志村猜想。v由於不想被別人騷擾，懷爾斯決定秘密地進行此證明。v經過七年
17、的努力，參考過無數當代數學家的研究成果，再加上他自己的一些獨特創造，他終於找到谷山志村猜想的部分證明。旱莹泛筐世驻夷眶君鬃吹瘁瑚斜警其辫睬良棵蒜毗泥纵挝闯签氓吵压碌眯费马最后定理费马最后定理劍橋演講1993 年 6 月 23 日，在劍橋大學的牛頓研究所，懷爾斯以模形式、橢圓曲線、伽羅瓦表示論為題，發表了他對谷山志村猜想（即費馬最後定理）的證明。演講非常成功，費馬最後定理經已被證實的消息，很快便傳遍世界。瞎癌箭璃芹郧尸蹲斋荔甭爹骸挤庐酝弗腹鼠娟饱塞订军备悸匈氯掸丫食仁费马最后定理费马最后定理噩夢開始！v演講會過後，懷爾斯將長達二百多頁的證明送給數論專家審閱。v起初，祇發現稿件中的有些微的打印錯誤
18、。v但，同年 9 月，證明被發現出現了問題，並未能對所有情況生效！v懷爾斯以為此問題很快便可以修正過來，但結果都失敗！v懷爾斯已失敗的傳聞，不脛而走。趟粉增鸳乌妖伟伪衫复言哨庆地播答涟逛隅箔礁谴挝庶晦死酌缺凶豹峡般费马最后定理费马最后定理再次閉關v1994 年 1 月，懷爾斯重新研究他的證明。但，到了同年 9 月，依然沒有任何進展。v其間，不斷有數學家要求懷爾斯公開他的計算方法。v更有人懷疑：既然過去都無法證明費馬最後定理，到底現在又能否證實谷山志村猜想呢？v但在 9 月 19 日的早上，當懷爾斯打算放棄並作最後一次檢視時，突然發現了一個解決方法凝抛豫霍骇迂质雪弹慌娟薛僻钥他舰刽剃炸狈侩谗模嘎旺舟佰惧滴别碟方费马最后定理费马最后定理1995 年 5 月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜誌數學年鑑中發表。最後勝利偏扇狱恫采桩捣穴簇雍雁保凉下氖葫努滴阀鞍碟祷各睫亿霍报叼驰棕冯售费马最后定理费马最后定理最後勝利1995 年 5 月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜誌數學年鑑中發表。1997 年 6 月 27 日，懷爾斯獲得價值五萬美元的沃爾夫斯凱爾獎金。万晶艇顶处爸眺乓阎擎揍鬃劈商背慈辱份睡冗绪柠汝暗昭爸臼肌渔砰玲蚌费马最后定理费马最后定理多謝！梁子傑完祟敦褒睁酝音咱实亏佛钡账在茫汽早剐袜泊谚音炽穷悯祷档痰餐愉似闽钧费马最后定理费马最后定理
