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1、 七、七、环与域环与域 本节讨论具有两个运算的代数系统本节讨论具有两个运算的代数系统, 它可视为它可视为和和组合而成的代数系统组合而成的代数系统. 我们把第一个运算我们把第一个运算*称为称为“加法加法”，把第二个运算，把第二个运算 称为称为“乘法乘法”. 例如，实数集上具有加和乘运算的代数系统例如，实数集上具有加和乘运算的代数系统.(一一)环环环环环环：设：设是代数系统，若是代数系统，若1)是阿贝尔群，是阿贝尔群，2)是半群，是半群，3)乘法乘法*对加法对加法 可分配，即可分配，即 a, b, c A, 有有a*(b c)=a*b a*c, (b c)*a=b*a c*a,则称则称是一个是一个
2、环环(ring).说明：说明：F为了方便，常称环的第一个运算为了方便，常称环的第一个运算*为为“加法加法”，并记为并记为+, 第二个运算第二个运算 为为“乘法乘法”，并记为，并记为 ;F在环中，加法幺元记为在环中，加法幺元记为 ，加法逆元，加法逆元a-1记为记为-a, a+(-b)记为记为a-b.七七、环与域环与域例例例例5.7.15.7.1判断以下代数系统是否是环判断以下代数系统是否是环.七、七、环与域环与域代数系统代数系统 环环Y代数系统代数系统环环YYYYYFS表示所有表示所有n阶方阵的集合，其中阶方阵的集合，其中n Z+;FRx表示所有系数属于实数的表示所有系数属于实数的x的多项式的集
3、合的多项式的集合.例例例例5.7.25.7.2证明代数系统证明代数系统是环是环.证：证： 1)证明证明是阿贝尔群：是阿贝尔群：i)运算封闭：运算封闭：ii)结合律：结合律： x, y Nk,x+ky=故故x+ky Nk. x, y, z Nk,x+y+zx+y,(x+ky)+kz=x+k(y+kz)七七、环与域环与域证证(续续)：1)证明证明是阿贝尔群：是阿贝尔群：例例例例5.7.25.7.2证明代数系统证明代数系统是环是环.iii)幺元的存在：幺元的存在：幺元幺元0以自身为逆元，每个非幺元以自身为逆元，每个非幺元x都有逆元都有逆元k-x.v) 关于运算关于运算+k可交换：可交换：0是幺元是幺
4、元.iv) x Nk存在逆元：存在逆元： x, y Nk,x+ky=y+kxx+y七七、环与域环与域2)证明证明是半群：是半群：证证(续续)：例例例例5.7.25.7.2证明代数系统证明代数系统是环是环.i)运算封闭：运算封闭：ii)结合律：结合律： x, y Nk,x ky=故故x ky Nk. x, y, z Nk,xyzxy,(x ky) kz=x k(y kz)七七、环与域环与域3)证明运算证明运算 k对运算对运算+k可分配：可分配：证证(续续)：例例例例5.7.25.7.2证明代数系统证明代数系统是环是环. x, y, z Nk,x(y+z)x k(y+kz)=x ky+k x kz
5、=xy+xz故故x k(y+kz)= x ky+k x kz(y+kz) kx =y kx+kz kx.同理可证同理可证七七、环与域环与域(二二)环的性质环的性质设设是环是环, a, b, c A,1) 环的加法幺元必为乘法零元，即环的加法幺元必为乘法零元，即 a=a = .a =由消去律可得：由消去律可得：类似可证类似可证 a= .证：证：a ( + )=a +a ,a = .2)(-a) b=a (-b)=-(a b).(-a) b+a b=故故(-a) b=-(a b).类似可证类似可证a (-b)=-(a b).证：证：(-a)+a) b = b = , 七七、环与域环与域3) (-a
6、) (-b)=a b.证：证： (-a) (-b)=-(a (-b)=-(-(a b)= a b.4) a (b-c)=a b-a c.a (b-c)=a (b+(-c)=a b+a (-c)=a b+(-(a c)=a b-a c.证：证：5) (b-c) a=b a-c a.(b-c) a=(b+(-c) a=b a+(-c) a=b a+(-(c a)=b a-c a.证：证：环的性质环的性质七七、环与域环与域(三三)零因子零因子零因子零因子：设：设是环，若是环，若 a, b A, a , b ,使使a b= , 则称则称a,b为为零因子零因子，是是零因零因子环子环.F无零因子无零因子：
7、F无零因子的环称为无零因子的环称为无零因子环无零因子环. a,b A, a , b , 必有必有a b . F零因子零因子：“两个非零的数相乘等于零两个非零的数相乘等于零”；F强调这个概念，是因为强调这个概念，是因为a*b=0a=0或或b=0(1)这这条条普普通通的的计计算算规规则则，在在一一个个一一般般的的环环里里并并不一定成立；不一定成立；F显然，在而且只在一个没有零因子的环里，显然，在而且只在一个没有零因子的环里，(1)式才成立式才成立.七七、环与域环与域定理一定理一：环：环无零因子无零因子,当且仅当当且仅当满满足消去律（即足消去律（即 a,b, c A, 若若a b=a c,a 必有必
8、有b=c). a,b, c A,若若a b=a c,a 证：证： 必要性必要性:则则a b-a c= , 因为因为无零因子，无零因子，所以所以b-c= , 从而从而a (b-c)= , 即即b=c.充分性充分性: a A, a , ab= ,则则 a b=a , 由由消去律消去律所以环所以环无零因子无零因子.b= ,七七、环与域环与域(四四)整环整环交换环交换环：给定环：给定环, 若若可交换，则可交换，则称称为交换环为交换环(commutative ring).含幺环含幺环：给定环：给定环, 若若含幺元，则含幺元，则称称为含幺环为含幺环(ring with unity).整环整环：给定环：给定
9、环, 若若可交换、含幺可交换、含幺元、无零因子（或满足消去律），则称元、无零因子（或满足消去律），则称为整环为整环(integral domain).F环环+乘法幺元乘法幺元+乘法可交换乘法可交换+无零因子无零因子=整环整环F环环+乘法幺元乘法幺元+乘法可交换乘法可交换+乘法消去律乘法消去律=整环整环七七、环与域环与域整环整环整环整环：设：设是代数系统，若是代数系统，若1)是阿贝尔群，是阿贝尔群，2)是可交换独异点，且无零因子（或满足是可交换独异点，且无零因子（或满足消去律），消去律），3)运算运算 对对+可分配，可分配，则称则称是一个是一个整环整环(ring).整环的另一种定义整环的另一种定
10、义七七、环与域环与域例例例例5.7.35.7.3判断以下代数系统是否是整环判断以下代数系统是否是整环.七、七、环与域环与域代数系统代数系统 环环Y代数系统代数系统 环环NYYYYFS表示所有表示所有n阶方阵的集合，其中阶方阵的集合，其中n Z+;FRx表示所有系数属于实数的表示所有系数属于实数的x的多项式的集合的多项式的集合.乘法不可交换，乘法不可交换，有零因子有零因子 Y(当且仅当当且仅当k为质数为质数)(五五)域域域域域域：设：设是代数系统，若是代数系统，若1)是阿贝尔群，是阿贝尔群，2)是阿贝尔群，是阿贝尔群，3)运算运算 对对+可分配，可分配，则称则称是是域域(field).七七、环与
11、域环与域域域V.S.整环整环两者的定义区别在第二条：两者的定义区别在第二条：整环整环 是可交换独异点，且无零因子是可交换独异点，且无零因子域域是阿贝尔群是阿贝尔群事实上，域的概念是在整环中增加了事实上，域的概念是在整环中增加了“除了零除了零元外，每个元素都有逆元元外，每个元素都有逆元”这个条件这个条件.那么域是否有零因子呢？那么域是否有零因子呢？因为因为 b= . a-1 a b= a-1 a , a b= 所以域无零因子所以域无零因子.定理二定理二：域一定是整环：域一定是整环.七七、环与域环与域例例例例5.7.45.7.4判断以下代数系统是否是域判断以下代数系统是否是域.七、七、环与域环与域
12、代数系统代数系统 环环N代数系统代数系统 环环NNYYYF整环不一定是域整环不一定是域. Y(当且仅当当且仅当k为质数为质数)FS表示所有表示所有n阶方阵的集合，其中阶方阵的集合，其中n Z+;FRx表示所有系数属于实数的表示所有系数属于实数的x的多项式的集合的多项式的集合.必要性：必要性：（反证法）（反证法）证：证：设设是域，若是域，若k不是质数，不是质数，i)k=1, a kb= 故故不是域，矛不是域，矛盾盾.ii)k=ab, 则则则则|N1|=1, 故故N1不是域，矛盾；不是域，矛盾；0, 即即a,b是零因子，是零因子，例例例例5.7.5 5.7.5 Nk=0,1,k-1, 证明证明是是
13、域当且仅当域当且仅当k是质数是质数.七七、环与域环与域充分性：充分性： 若若k为质数，往证为质数，往证是域是域.1)证明证明是阿贝尔群：是阿贝尔群：2)证明证明是阿贝尔群：是阿贝尔群：同例同例5.7.2的的1)i) a,b Nk-0, 有有a kb=所以，所以，Nk-0对对 k封闭封闭.ab Nk-0,ii) a,b,c Nk-0, 有有 (a kb) kc=所以，所以，满足结满足结合律合律. ab kc=abc=a kbc=a k(b kc)证证(续续)：例例例例5.7.5 5.7.5 Nk=0,1,k-1, 证明证明是是域当且仅当域当且仅当k是质数是质数.七七、环与域环与域iii) 有幺有
14、幺元元：iv) a Nk-0, 证明证明a存存在逆元在逆元:1;假设存在假设存在b,c Nk-0, b c,使使a kb=a kc,注意到注意到k为质数，不能被分解成两个数的乘积，为质数，不能被分解成两个数的乘积，故等式左边至少有一个数是故等式左边至少有一个数是k的倍数，而这是不可的倍数，而这是不可能的能的. 因此，因此， a k1, a k2, ,a kk-1此此k-1个数均不相同个数均不相同,其中必有一个为其中必有一个为1.从而从而ab=ac,不妨设不妨设bc,则则ab=nk+r, ac=mk+r, nm, 因而，因而，a(b-c)=(n-m)k.证证(续续)：例例例例5.7.5 5.7.
15、5 Nk=0,1,k-1, 证明证明是是域当且仅当域当且仅当k是质数是质数.七七、环与域环与域证证(续续)：所以所以 a Nk-0, b Nk-0 使使即即a存在逆元存在逆元b.所以所以是是域域. a kb=1,v) 证明证明满足交换满足交换律：律：3)证明运算证明运算 k对运算对运算+k可分配：可分配：同例同例5.7.2的的3) a,b Nk-0, 有有a kb=b kaabF称为模称为模k整数域整数域.例例例例5.7.5 5.7.5 Nk=0,1,k-1, 证明证明是是域当且仅当域当且仅当k是质数是质数.七七、环与域环与域定理三定理三：有限整环一定是域：有限整环一定是域.设设是有限整环，是
16、有限整环，因为因为A为有限集，不妨设为有限集，不妨设A - =a1, a2, ,an，再由运算封闭性，再由运算封闭性，A - =则则 d A - , 使使c d=1, 所以，所以， 是是域域. a,b A, 若若a b, c A, c , 证：证：由消去律，由消去律，a c b c,c a1, c a2, ,c an=c(A- ).设乘法幺元为设乘法幺元为1, 即即c有有逆元逆元d. 七七、环与域环与域环环&整环整环&域域环环整环整环域域七七、环与域环与域(六六)具有两个运算的代数系统间的同态具有两个运算的代数系统间的同态 设设和和是两个代数系统，是两个代数系统， 若若存在映射存在映射f :
17、AB满足：满足： a, b A,有有(1)f(a+b)=f(a) f(b), (2)f(a b)=f(a) f(b),则称则称f是是到到的一个的一个同态映射同态映射，并称并称是是的的同态象同态象.七七、环与域环与域例例例例5.7.6 5.7.6 设设是一个代数系统，并设代数系是一个代数系统，并设代数系统统的运算表如下：的运算表如下： 偶偶 奇奇偶偶 偶偶 奇奇奇奇 奇奇 偶偶若构造映射若构造映射 偶偶 奇奇偶偶 偶偶 偶偶奇奇 偶偶 奇奇f(n)=偶偶, 若若n=2k, k=0,1,2,奇奇,若若n=2k+1, k=0,1,2,则则f是是到到的一个同态映的一个同态映射射.七七、环与域环与域定理
18、四定理四：任一环的同态象是一个环：任一环的同态象是一个环.证：证：设设是一个环，是一个环，是关于同态映射是关于同态映射f 的同态象的同态象. b1, b2, b3 B, 由由是阿贝尔群知，是阿贝尔群知，由由是半群知，是半群知，是阿贝尔群是阿贝尔群.是半群是半群.则存在则存在a1, a2, a3 A, 使使f(ai)=bi, i=1, 2, 3七七、环与域环与域于是于是b1 (b2 b3)=同理可证同理可证 (b2 b3) b1=(b2 b1) (b3 b1).所以，所以， 是一个环是一个环.=f(a1) f(a2+a3)=f(a1 a2) f(a1 a3) =(b1 b2) (b1 b3)f(
19、a1) (f(a2) f(a3)=(f(a1) f(a2) (f(a1) f(a3) =f(a1 (a2+a3)=f(a1 a2)+(a1 a3)定理四定理四：任一环的同态象是一个环：任一环的同态象是一个环.续证：续证：七七、环与域环与域例例例例5.7.7 (5-95.7.7 (5-9习题习题习题习题(1) (1) 已知一个环已知一个环, 它的运算表如下：它的运算表如下：它是一个交换环吗？它是含幺环吗？这个环中的它是一个交换环吗？它是含幺环吗？这个环中的零元是什么？并求出每个元素的加法逆元零元是什么？并求出每个元素的加法逆元. + a b c daa b c dbb c d acc d a b
20、dd a b c a b c da a a a ab a c a cc a a a ad a c a c解：解： (1)因为因为” ”的运算表是对称的，所以环的运算表是对称的，所以环是交换环；是交换环；(2)因为因为没有乘法幺元没有乘法幺元，所以，所以它不是含幺环；它不是含幺环；(3)环中的零元是环中的零元是a;(4) a和和c以自身为加法逆元，以自身为加法逆元，b和和d互为加法逆元互为加法逆元.例例例例5.7.8 (5-95.7.8 (5-9习题习题习题习题(9)(9)设设是一个关于是一个关于 , 分别有幺元分别有幺元e1和和e2的代数系统，且的代数系统，且 和和 彼此可彼此可分配，试证分配，试证: x A, x x=x x=x.证：证： e2 e2=(e1 e2) (e2 e2)x x=e2 (e2 e2)=(e1 e2) e2=e1 e2=e2(x e2) (x e2)=x (e2 e2)=x e2=x.e1 e1=(e2 e1) (e1 e1)x x=e1 (e1 e1)=(e2 e1 ) e1=e2 e1=e1(x e1) (x e1)=x (e1 e1)=x e1=x.HW: 5-9习题习题 (2);(5);(6)
