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1、1/16数理方程1常微分方程回顾常微分方程回顾常微分方程常数变易法常微分方程常数变易法简谐振动的数学模型简谐振动的数学模型格林公式和高斯公式格林公式和高斯公式思考题与练习题思考题与练习题2/16物理量的数学描述物理量的数学描述一元一元( (多元多元) )函数、矢量函数函数、矢量函数物理现象物理现象 物理定律物理定律 微分方程微分方程 求解求解物理量在空间的分布情况其及随时间变化的规律物理量在空间的分布情况其及随时间变化的规律, ,常使用基于物理原理的微分方程来描述常使用基于物理原理的微分方程来描述3/16Ex.1Ex.2通解通解:通解通解:定解定解条件条件: 初始位移初始位移 u(t0) =
2、? 初始速度初始速度 u(t0) = ?代数方程代数方程x2 3x + 2 = 0(x 1)(x 2) = 0微分方程：微分方程：含自变量、未知函数以及未知函数的导数的等式含自变量、未知函数以及未知函数的导数的等式( 为已知常数为已知常数 )4/16二阶常系数齐次线性常微分方程二阶常系数齐次线性常微分方程两相异实根两相异实根 两相等实根两相等实根 两共轭复根两共轭复根莱布尼兹莱布尼兹记号记号表示导数表示导数撇记号撇记号 辅助方程辅助方程5/16一阶一阶非齐非齐次次方程的常数变易法方程的常数变易法第一步第一步, 求对应齐次方程通解求对应齐次方程通解第二步第二步, 常数变易常数变易令令代入非齐次代
3、入非齐次方程方程, 得得6/16二阶非齐次方程常数变易法二阶非齐次方程常数变易法设设对应的齐次方程通解为对应的齐次方程通解为: C1 y1(x) + C2 y2(x)常数变易，设常数变易，设 y(x) = u(x)y1(x) + v(x)y2(x)令令则有则有故故 u, v 满足方程组满足方程组7/16求解得求解得其中其中非齐次方程通解为非齐次方程通解为朗朗斯基斯基行列式行列式8/16例例1 用常数变易法求用常数变易法求 通解通解.解解: 由辅助方程由辅助方程 m2 4 m + 4 = 0, 得齐次方程通解得齐次方程通解C1 e2x + C2 xe2x 则则 y1 = e2x , y2 = x
4、 e2x9/16非齐次方程特解非齐次方程特解非齐次方程通解非齐次方程通解10/16例例 求解初值问题求解初值问题对应的齐次方程通解为对应的齐次方程通解为: 11/16如果微分方程中涉及单因素如果微分方程中涉及单因素( (一个自变量）一个自变量）, , 相应相应的方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素的方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素( (多个自变量多个自变量),),方程中出现的导数是偏导数方程中出现的导数是偏导数, ,相应的相应的方程称为偏微分方程。方程称为偏微分方程。 弦振动弦振动 (偏微分方程偏微分方程)uO简谐振动简谐振动 (常微分方程常微分方程)u = u( t )u=u
5、(x, t )12/16简简谐振动谐振动(自由无阻尼运动自由无阻尼运动)数学模型数学模型牛顿第二定律牛顿第二定律: F = m a a加速度加速度;F合外力合外力;m物体质量物体质量虎克定律虎克定律: F= k u(t)F弹力弹力;k弹性系数弹性系数; u(t)弹簧伸长弹簧伸长m a = k u(t)uO由辅助方程由辅助方程 m2 + m = 0, 得得13/16令令14/16格林格林公式公式应用应用:D的面积的面积=面积公式面积公式 顶点按逆时针排列顶点按逆时针排列, ,且且 (xn+1，yn+1)=(x1，y1) 15/16高斯高斯公式公式应用应用:V 的体积的体积=eki jk16/16思考题与练习题思考题与练习题1.微分方程和代数方程的最大区别是什么微分方程和代数方程的最大区别是什么2. 二二阶阶常微分方程常微分方程 的系数的系数满足什么条件时满足什么条件时,通解中含有正弦函数？通解中含有正弦函数？4. 谐振动中的参数谐振动中的参数 有何意义？有何意义？3.给定两个函数给定两个函数y1和和y2,如何构造朗斯基行列式？如何构造朗斯基行列式？5. 不定积分不定积分 和和 的结果有何区别？的结果有何区别？
