《概率论与数理统计：4-3 矩、协方差和相关系数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：4-3 矩、协方差和相关系数（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 4.3 矩、矩、协方差和相关系数协方差和相关系数问题问题 对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数反映了随机变量反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系之间的某种关系 4.4 4.4几个重要的 r.v. 函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对原点矩 X 的 k 阶中心矩 X 的 方差矩矩 X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 X ,Y 的 二阶原点矩 X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 X ,
2、Y 的相关系数 称为 X ,Y 的协方差. 记为 称为（X , Y ）的协方差矩阵可以证明可以证明 协方差矩阵协方差矩阵 为为 半正定矩阵半正定矩阵协方差和相关系数的定义协方差和相关系数的定义定义定义定义定义若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称为X ,Y 的 相关系数，记为事实上，若称 X ,Y 不相关.无量纲 的量 若若 ( X ,Y ) 为离散型，为离散型，若若 ( X ,Y ) 为连续型，为连续型，协方差和相关系数的计算协方差和相关系数的计算q 求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 1 已知 X ,Y 的联合分布为XYpij 1
3、010 p 0 0 q0 p 0, D(Y ) 0 时，当且仅当时, 等式成立 Cauchy-Schwarz不等式证证 令对任何实数 t ,即等号成立有两个相等的实零点即显然 即即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1, 这种线性关系为完全类似地可以证明当E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 时,当且仅当时, 等式成立.相关系数的性质q q Cauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为系性质如例1中 X ,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1已求得 , 则必有其中q X , Y 不相关X ,Y 相互
4、独立X , Y 不相关若 ( X , Y ) 服从二维正态分布，X , Y 相互独立X , Y 不相关例例4 4 设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ解解例4 若 X , Y 是两个r.v., 用X 的线性函数去逼近 Y 所产生的平均平方误差为当取平均平方误差最小. 矩在线性回归中 的应用附录附录附录附例附例 设 X ,Y 相互独立, 且都服从 N ( 0, 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 为常数，且都不为零，求UV 解解由附例而故 a,b 取何值时, U与V 不相关？此时, U与V 是否独立？继续继续讨论讨论但 UN (0, 2a2 2), VN (0, 2a2 2 ), 若 a = b，UV = 0, 则 U , V 不相关. 且U ,V 相互独立
