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1、第五节第五节 独立重复试验独立重复试验独立重复试验的特征：独立重复试验的特征：1、每次试验都在相同条件下进行；、每次试验都在相同条件下进行；2、每次试验的结果是相互独立的；、每次试验的结果是相互独立的；3、每次试验有有限个确定的结果；、每次试验有有限个确定的结果；如果试验共进行如果试验共进行n次，称为次，称为n重独立重复试验重独立重复试验.4、每次试验的结果发生的概率相同；、每次试验的结果发生的概率相同；比如：多次掷骰子；比如：多次掷骰子；产品有放回地抽样检验。产品有放回地抽样检验。概率论与数理统计156节课件如果每次试验的结果如果每次试验的结果有且仅有两种：，有且仅有两种：，称为称为n重伯努
2、利试验重伯努利试验.贝努利贝努利(17001782) 瑞士瑞士下面我们来研究下面我们来研究n重伯努利重伯努利试验中事件试验中事件A发生发生k次的概率。次的概率。概率论与数理统计156节课件例例1 设在设在10件产品中有件产品中有1件废品，现进行件废品，现进行3次有放回的次有放回的抽样检查，求抽得抽样检查，求抽得2件废品的概率。件废品的概率。解解 设设 “第第 次抽取时抽到废品次抽取时抽到废品”“共抽得共抽得2件废品件废品”概率论与数理统计156节课件例例1 设在设在M件产品中有件产品中有N件废品，现进行件废品，现进行n次有放回次有放回的抽样检查，求抽得的抽样检查，求抽得k件废品的概率。件废品的
3、概率。解解 设设 “第第 次抽取时抽到废品次抽取时抽到废品”“共抽得共抽得k件废品件废品”概率论与数理统计156节课件 n 重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A恰好出现恰好出现 k 次次的概率简记为的概率简记为 b ( k；n，p）.则则 b ( k；n，p） Cnk pk qnk.概率论与数理统计156节课件例例2 一条自动生产线上产品的一级品率为一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，检查，检查10件，求至少有两件一级品的概率件，求至少有两件一级品的概率P(B)。解：这是解：这是n10的的10重伯努利试验，重伯努利试验，p0.6依题意依题意概率论与数理统计156节课件例例3向单位圆中随机
4、抛入向单位圆中随机抛入3个点，求这个点，求这3个点个点中恰有中恰有2个点落在第个点落在第1象限的概率。象限的概率。解解 抛入抛入3个点相当于个点相当于3重贝努利试验，重贝努利试验，所求概率为所求概率为3个点中恰有个点中恰有2个点落在第个点落在第1象限的事件记为象限的事件记为B由几何概率，点落在第由几何概率，点落在第1象限的概率为象限的概率为1/4概率论与数理统计156节课件思考思考 彩票投注点的门口有一副对联彩票投注点的门口有一副对联: “多买少买多少要买，早中晚中早晚要中多买少买多少要买，早中晚中早晚要中” 每次开奖，中奖的概率为每次开奖，中奖的概率为而坚持十年，从未中奖的概率为而坚持十年，
5、从未中奖的概率为每年按每年按52周算，则十年中奖周算，则十年中奖1次的概率为次的概率为你如何理解你如何理解“早晚要中早晚要中”？假定每周开奖一次，假定每周开奖一次，每次中奖的概率为十万分之一，每次中奖的概率为十万分之一，概率论与数理统计156节课件趣例趣例-“惊人的预测惊人的预测” 一天，乔治在自己的邮箱中发现一封陌生的邮一天，乔治在自己的邮箱中发现一封陌生的邮件，他好奇地打开了它：件，他好奇地打开了它：“亲爱的球迷，我们的亲爱的球迷，我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方法。统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方法。今晚英国足球杯第三场考文垂队对谢非尔队，我今晚英国足球杯第三场考文垂队
6、对谢非尔队，我们以们以95%的概率预测考文垂队获胜。的概率预测考文垂队获胜。” 乔治看后一笑。乔治看后一笑。乔治并不在意。乔治并不在意。 当晚看比赛时，考文垂队果然获胜。当晚看比赛时，考文垂队果然获胜。 三周后，他又收到一封邮件：三周后，他又收到一封邮件：“亲爱的球迷，亲爱的球迷，我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方法。今晚考文垂队对米德尔斯堡队，我们以方法。今晚考文垂队对米德尔斯堡队，我们以95%的概率预测米德尔斯堡队获胜。的概率预测米德尔斯堡队获胜。”概率论与数理统计156节课件 当晚，米德尔斯队果然获胜。当晚，米德尔斯队果然获胜。 乔治不
7、由心中一震。乔治不由心中一震。 一周后，他又收到第三封邮件：一周后，他又收到第三封邮件：“亲爱的球迷，亲爱的球迷，我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方法。今晚我们以法。今晚我们以95%的概率预测米德尔斯队将败给的概率预测米德尔斯队将败给特伦米尔队。特伦米尔队。”。 乔治发现这次预测又对了时不由大吃一惊。乔治发现这次预测又对了时不由大吃一惊。 第四次，预测仍然是对的。第四次，预测仍然是对的。 第五次，预测还是对的。第五次，预测还是对的。概率论与数理统计156节课件 这之后，乔治又收到一封邮件：这之后，乔治又收到一封邮件：“亲爱的球迷，亲爱的球迷
8、，你是否发现我们已经多次预测成功。如果你支付你是否发现我们已经多次预测成功。如果你支付200英镑，我们将为你预测以下多次比赛结果，并英镑，我们将为你预测以下多次比赛结果，并保证正确率在保证正确率在95%以上。以上。” 乔治想：如果发邮件的人只是猜测，则乔治想：如果发邮件的人只是猜测，则5次猜测次猜测成功的概率为成功的概率为 这不太可能这不太可能!当然他们也可能与黑社会有关或有当然他们也可能与黑社会有关或有非法财团支持非法财团支持,但这与乔治无关但这与乔治无关-只要能挣钱就只要能挣钱就行行!如果预测成功如果预测成功,可以从彩票商那里赚回可以从彩票商那里赚回20万万.乔治支付了乔治支付了200英镑
9、英镑.概率论与数理统计156节课件 实际上实际上,这些骗子先发出这些骗子先发出8000封封电子邮件电子邮件,一半猜甲胜一半猜甲胜,一半猜乙胜一半猜乙胜,于是有于是有4000人得到正确预测。第二人得到正确预测。第二次只给这些人发邮件，次只给这些人发邮件，.，依次，依次类推，可以有类推，可以有250人获得五次成功人获得五次成功的结论。只要有的结论。只要有100人付钱，就可人付钱，就可骗到骗到20000英镑！乔治就是这英镑！乔治就是这100人人中的一个。中的一个。概率论与数理统计156节课件第六节第六节 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式概率论与数理统计156节课件1.1.完备事件组完备事
10、件组如果如果n n个事件个事件A A，A A，A A互不相容互不相容，并且它，并且它们的和是们的和是必然事件必然事件，称这，称这n n个事件构成一个完备个事件构成一个完备事件组。事件组。复复 习习概率论与数理统计156节课件2.2.加法公式加法公式：当当A、B互斥时，有互斥时，有P(AB)P( A)P(B)P(AB)P(AB)P( A)P(B)3.3.乘法公式：乘法公式：P(AB)P(B)P(A|B)当当A、B独立时，有独立时，有 P(AB)P()P()互斥简化了加法公式，独立简化了乘法公式互斥简化了加法公式，独立简化了乘法公式概率论与数理统计156节课件这一节我们将要学习的这一节我们将要学习
11、的全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式是加法公式和乘法公式的综合运用，是加法公式和乘法公式的综合运用，主要用于计算一些复杂事件的概率。主要用于计算一些复杂事件的概率。概率论与数理统计156节课件A1BA2BA3BA1，A2，A3构成一个完备事件组构成一个完备事件组B 的发生必然伴随着的发生必然伴随着A1 , A2 , A3之一同时发生之一同时发生即即故故概率论与数理统计156节课件如如果果事事件件A1，A2，An构构成成一一个个完完备备事事件件组组，且且有有P(Ai)0，i =1,2,n，则则对对任任一一事事件件B，有，有全概率公式（定理全概率公式（定理1.9）:概率论与数理统计156节课
12、件 某一事件某一事件B的发生有各种可能的原因，的发生有各种可能的原因，全概率公式可以这样来理解：全概率公式可以这样来理解： 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的总发生的总概率是各原因引起的概率是各原因引起的B发生概率的总和。发生概率的总和。P(AiB)P(Ai)P(B |Ai)这些原因我们用这些原因我们用A1、A2、 、 An等来表示，等来表示，其中原因其中原因Ai 对总概率对总概率P(B)所作的贡献为所作的贡献为全概率全概率公式公式概率论与数理统计156节课件 例例2 某厂的一批产品某厂的一批产品,由甲、由甲、 乙乙 、丙三名工人生、丙三名工人生产产,其产量分别占总
13、产量的其产量分别占总产量的25%、35%、40%,若已若已知他们的次品率依次为知他们的次品率依次为5%、4%、2%,现在从这批产现在从这批产品中任意抽取一件品中任意抽取一件,求这一件是次品的概率求这一件是次品的概率.解解 用用A1、A2 、A3分别表示分别表示“甲、乙、丙生产的产甲、乙、丙生产的产品品”， 用用B表示表示“抽取的是次品抽取的是次品”则则 A1 、A 、A 构成一个完备事件组构成一个完备事件组由全概率公式得由全概率公式得概率论与数理统计156节课件 例（教材例（教材P35） M地为甲种疾病多发区，该地共有南、地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比例为北、中三
14、个行政小区，其人口比例为9：7：4。据统计。据统计资料，甲种疾病在该地区三个小区内的发病率依次为资料，甲种疾病在该地区三个小区内的发病率依次为4，2，5，试求出，试求出M地甲种疾病的发病率。地甲种疾病的发病率。解：设解：设Ai =“某人是第某人是第i个小区内的人个小区内的人”，i=1,2,3 B= “M地的人得病地的人得病”，则则 A1，A2，A3构成完备事件组构成完备事件组, 由全概率公式由全概率公式概率论与数理统计156节课件全概率公式应用的关键全概率公式应用的关键在于寻找或构造一个完备事件组在于寻找或构造一个完备事件组概率论与数理统计156节课件 例例 3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射
15、击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击三人击中的概率分别为中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞飞 机被一人击中而击机被一人击中而击落的概率为落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为被两人击中而击落的概率为0.6,若三人若三人都击中都击中,飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率.解解 设设 A=飞机被击落飞机被击落由全概率公式由全概率公式则则 A=C1A+C2A+C3ACi =飞机被飞机被i人击中人击中 , i=1,2,3Bi =飞机被第飞机被第i人击中人击中 , i=1,2,3显然显然1，2，3构成一个完备事件组构成一个完备事件组P(A)=P(C1)P
16、(A |C1)+ P(C2)P(A|C2)+ P(C3)P(A |C3)概率论与数理统计156节课件 实际生活中还存在这样一类问题，是实际生活中还存在这样一类问题，是“已已知结果求原因知结果求原因”.全概率公式解决的是全概率公式解决的是“已知原因求结果已知原因求结果”的问题的问题. 解决这一类问题就要用到解决这一类问题就要用到 贝叶斯公式贝叶斯公式 概率论与数理统计156节课件例例1 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1 号箱装有号箱装有 1 个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2个红球个红球3个白球，个白球，3号箱号箱装有装有3个红球个红球. 某人从三箱中任
17、取一箱，再从中任意某人从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，摸出一球，求摸出红球的概率求摸出红球的概率.如果摸出的是红球，求该球取自号箱如果摸出的是红球，求该球取自号箱的概率的概率.解设解设 Ai球取自球取自i号箱号箱 , i=1,2,3 ; B 取得红球取得红球所求概率为所求概率为 P(A1|B)概率论与数理统计156节课件概率论与数理统计156节课件例例1 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1 号箱装有号箱装有 1 个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2个红球个红球3个白球，个白球，3号箱号箱装有装有3个红球个红球. 某人从三箱中任取一箱，再从中任意某人从
18、三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，摸出一球，如果摸出的是红球，求该球取自号箱如果摸出的是红球，求该球取自号箱的概率的概率.如果摸出的是红球，求该球最有可能取如果摸出的是红球，求该球最有可能取自哪个箱子自哪个箱子?解解概率论与数理统计156节课件1.结果结果B的发生来自于原因的发生来自于原因Ai的可能性的可能性:已知结果求原因已知结果求原因2.结果结果B的发生来自于哪种原因的可能性最大的发生来自于哪种原因的可能性最大:求求 P(Ai | B)比较哪个比较哪个 P(Ai | B)最大最大概率论与数理统计156节课件 贝叶斯公式：贝叶斯公式： 设设 A1,A2,An构构 成成 一一 完完 备备 事
19、事 件件 组组 ， 且且P(Ai)0，i=1,2,n, 则则对对任任一一概概率率不不为为零零的的事事件件B，有，有概率论与数理统计156节课件 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因。以帮助人们确定某结果发生的最可能原因。 例如，贝叶斯公式可用于鉴定废品来源例如，贝叶斯公式可用于鉴定废品来源,从而可以为进一步的经济处罚提供依据。从而可以为进一步的经济处罚提供依据。概率论与数理统计156节课件 例例2 某厂的一批产品，由甲、某厂的一批产品，由甲、 乙乙 、丙三名工人生产，其产、丙三名工人生产，其产量分别占总产量的量分别占总产量的2
20、5%、35%、40%，且已知他们的次品，且已知他们的次品率依次为率依次为5%、4%、2%，现在从这批产品中任意抽取一件，现在从这批产品中任意抽取一件，发现是次品。而工厂规定，出现一件次品罚款发现是次品。而工厂规定，出现一件次品罚款69元。请问这元。请问这69元该谁出？元该谁出？解：解：概率论与数理统计156节课件 贝叶斯公式在疾病诊断中也有着重要的意义贝叶斯公式在疾病诊断中也有着重要的意义 A1，A2，An：种疾病：种疾病：中疾病都会导致的某种症状：中疾病都会导致的某种症状概率论与数理统计156节课件例例4 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一，患者对一种试验反应是
21、阳性的概率为种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试，正常人对这种试验反应是阳性的概率为验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. 解解设设 A抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， B试验结果是阳性试验结果是阳性， 所求为所求为P(A|B).已知已知 P(A)0.005 , P(B|A)0.95, P( )0.995 , P(B| )0.04概率论与数理统计156节课件下面来分析一下结果的意义：下面来分析一下结果的意义：由贝叶
22、斯公式，可得由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得代入数据计算得: P(A|B)= 0.1066 2. 检查出阳性是否一定患有癌症检查出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？概率论与数理统计156节课件如果不做试验如果不做试验, 抽查一人抽查一人, 他是患者的概率他是患者的概率 P(A)=0.005 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(A|B)= 0.1066 这种试验对于诊断一
23、个人是否患有癌症是有意义的这种试验对于诊断一个人是否患有癌症是有意义的从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？概率论与数理统计156节课件2. 检查出是阳性是否一定患有癌症检查出是阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为 P(A|B)=0.1066即使检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症即使检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症因为这种情况下患癌症的可能性只有因为这种情况下患癌症的可能性只有10.66% (平均平均1
24、000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生，此时医生常要通过再试验来确认常要通过再试验来确认. 概率论与数理统计156节课件下面我们再回过头来看一下下面我们再回过头来看一下全概率公式全概率公式 和和 贝叶斯公式贝叶斯公式概率论与数理统计156节课件完备事件组：完备事件组：A1，A2，An核心事件：核心事件：B原因原因结果结果概率论与数理统计156节课件已知已知：用全概率公式求用全概率公式求：用贝叶斯公式求用贝叶斯公式求先验先验概率概率后验后验概率概率概率论与数理统计156节课件 P(Ai) 是在没有进一步信息（不知道事件是在没有进一步信息（不知道事件B是是否发生）
25、的情况下，人们对事件否发生）的情况下，人们对事件Ai发生的可能性发生的可能性大小的认识大小的认识. 当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对事件发生），人们对事件Ai发生的可能性大小有了新的估计，这就是发生的可能性大小有了新的估计，这就是P(Ai | B).贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。P(Ai | B)P(Ai)概率论与数理统计156节课件在不知道事件在不知道事件B发生的情况下，发生的情况下，但在知道事件但在知道事件B发生后，发生后，先验概率先验概率后验概率后验概率也就是说，也就是说，在不知道摸出的是红球的情况下，在不知道摸出的是红球的情
26、况下，我们只能认为我们只能认为球取自三个箱子的可能性相同，即球取自三个箱子的可能性相同，即即知道摸出的是红球了，即知道摸出的是红球了，我们对于球取自哪个箱子的可能性较大的估计就我们对于球取自哪个箱子的可能性较大的估计就发生变化了：发生变化了：考虑刚才摸球的例子考虑刚才摸球的例子概率论与数理统计156节课件 在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件B)的情况下，侦破人员根据过去的情况下，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性的前科，对他们作案的可能性有一个估计。有一个估计。比如原来认为作案可能性最小的丙，比如原来认为作案可能性最小的丙，现在变成了重点嫌疑犯现在变成了重点嫌疑犯.丙丙乙乙甲甲
27、P(A1) P(A2) P(A3)但在知道案情细节后但在知道案情细节后(知道知道B发生后发生后), 这个这个估计就有了变化估计就有了变化.P(A1 | B)P(A2 | B)P(A3 | B)最大最大最小最小再如：再如：某地发生了一个案件，怀疑对象有某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人。甲、乙、丙三人。概率论与数理统计156节课件 例（教材例（教材P36） 用某种检验方法用某种检验方法,对发病率为对发病率为0.35%的的甲种疾病的漏检率为甲种疾病的漏检率为5,对无甲种疾病者经检验认为对无甲种疾病者经检验认为有甲种疾病的概率为有甲种疾病的概率为1.若在一次普查中若在一次普查中,某人经此某
28、人经此检验查为患甲种病检验查为患甲种病,求该人确实患有甲种病的概率求该人确实患有甲种病的概率.解：设解：设B=“患甲种病患甲种病”，C=“经检验认为患甲种病经检验认为患甲种病”则则欲求后验概率欲求后验概率概率论与数理统计156节课件全概率公式的应用全概率公式的应用-敏感性问题调查敏感性问题调查 学生阅读黄色书刊和观看黄色影像会严学生阅读黄色书刊和观看黄色影像会严重影响学生身心健康发展重影响学生身心健康发展,但这些都是背着家但这些都是背着家长和教师进行的长和教师进行的,属个人隐私行为属个人隐私行为,现在要设现在要设计一个调查方案计一个调查方案,从调查数据中估计出学生阅从调查数据中估计出学生阅读黄
29、色书刊和观看黄色影像的比率读黄色书刊和观看黄色影像的比率p. 为了使被调查者愿意作出真实回答又能为了使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密保守个人秘密,心理学家和统计学家设计了如心理学家和统计学家设计了如下调查方案下调查方案,被调查者只需回答两个问题中的被调查者只需回答两个问题中的一个一个,且只需回答且只需回答“是是”与与“否否”。概率论与数理统计156节课件问题一：你的生日是否在问题一：你的生日是否在7月月1日之前？日之前？问题二：你是否看过黄色书刊和黄色影像？问题二：你是否看过黄色书刊和黄色影像？ 具体操作时要求被调查者从一个罐子中具体操作时要求被调查者从一个罐子中（其中有（其中有60
30、个红球和个红球和40个白球）任取一球，看个白球）任取一球，看后放回，若抽到白球则回答问题一，若抽到红后放回，若抽到白球则回答问题一，若抽到红球则回答问题二。球则回答问题二。 答卷时只需划钩。答卷时只需划钩。 答卷答卷是是 否否概率论与数理统计156节课件在一次调查后，收到在一次调查后，收到1853张有效答卷，其张有效答卷，其中中389张为张为“是是”，则，则p大约是多少？大约是多少？分别用分别用A和和B表示表示“取到白球取到白球”和和“答是答是”由全概率公式由全概率公式约有约有7.62%的学生看过黄色书刊和黄色影像的学生看过黄色书刊和黄色影像.概率论与数理统计156节课件 贝叶斯公式在疾病诊断
31、中的意义贝叶斯公式在疾病诊断中的意义 A1，A2，An：种疾病：种疾病：中疾病都会导致的某种症状：中疾病都会导致的某种症状概率论与数理统计156节课件1.全概率公式：已知原因求结果全概率公式：已知原因求结果 小小 结结原概原概率率全概率公式用来求较复杂事件的概率。所谓复杂，全概率公式用来求较复杂事件的概率。所谓复杂，是因为它的发生是有若干个原因或来源。用全概是因为它的发生是有若干个原因或来源。用全概率公式的关键在于找到一个完备事件组，而完备率公式的关键在于找到一个完备事件组，而完备事件组往往要从这样的原因或来源中找。事件组往往要从这样的原因或来源中找。概率论与数理统计156节课件.贝叶斯公式：
32、已知结果求原因贝叶斯公式：已知结果求原因条条件件概概率率概率论与数理统计156节课件 贝叶斯公式用来求后验概率。贝叶斯公式用来求后验概率。 后验概率后验概率P(Am|B)是相对于先验概率是相对于先验概率P(Am)来来说的。说的。 P(Am)是试验前根据以往经验确定的一种假设是试验前根据以往经验确定的一种假设概率，概率， P(Am|B)是在获知事件是在获知事件B已经发生这一信息已经发生这一信息之后，事件之后，事件Am发生的条件概率，发生的条件概率， 它是根据新的它是根据新的信息对各信息对各“原因原因”的发生情况获得新的认知的发生情况获得新的认知。 贝叶斯公式又称为后验概率公式或逆概公式。贝叶斯公式又称为后验概率公式或逆概公式。概率论与数理统计156节课件稍事休息稍事休息概率论与数理统计156节课件课间休息课间休息概率论与数理统计156节课件
