2016考研数学一真题及答案解析

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、若反常积分01(1)abdxxx收敛，则（A）1a 且1b .（B）1a 且1b .（C）1a 且1ab.（D）1a 且1ab.2、已知函数2(1),1,( )ln ,1,xxf xxx则( )f x的一个原函数是（A）2(1) ,1.( )(ln1),1.xxF xxxx（B）2(1) ,1.( )(l

2、n1) 1,1.xxF xxxx（C）2(1) ,1.( )(ln1) 1,1.xxF xxxx（D）2(1) ,1.( )(ln1) 1,1.xxF xxxx3、若222(1)1yxx，222(1)1yxx是微分方程( )( )yp x yq x的两个解，则( )q x （A）23 (1)xx.（B）23 (1)xx.（C）21xx.（D）21xx.4、已知函数,0,( )111,1,2,1xxf xxnnnn则（A）0x 是( )f x的第一类间断点.（B）0x 是( )f x的第二类间断点.（C）( )f x在0x 处连续但不可导.（D）( )f x在0x 处可导.5、设A，B是可逆矩阵

3、，且A与B相似，则下列结论错误的是（A）TA与TB相似.（B）1A与1B相似.（C）TAA与TBB相似.（D）1AA与1BB相似.6、设二次型222123123121323(,)444f x xxxxxx xx xx x，则123( ,)2f x xx在空欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！间直角坐标下表示的二次曲面为（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（D）柱面7、设随机变量2( ,)(0)XN ，记2pP X ，则（A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加（C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少8、随机试验E有

4、三种两两不相容的结果1A，2A，3A，且三种结果发生的概率均为13，将试验E独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果1A发生的次数，Y表示 2 次试验中结果2A发生的次数，则X与Y的相关系数为（A）12（B）13（C）13（D）12二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、020ln(1sin )lim_.1 cosxxttt dtx10、向量场( , , )()A x y zxyz ixyjzk的旋度_.rotA 11、设函数( , )f u v可微，( , )zz x y由方程22(1)(, )xzyx f xz y确定，则(0,1)|_

5、.dz12、设函数2( )arctan1xf xxax，且(0)1f ，则a _.13、行列式1000100014321_.14、设12,nx xx为来自总体2( ,)N的简单随机样本，样本均值9.5x ，参数的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8，则的置信度为 0.95 的双侧置信区间为_.三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、 （本题满分 10 分）已知平面区域= ( , )|22(1cos ),22Drr，计算二重积分Dxdxdy.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系

6、删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！16、 （本题满分 10 分）设函数( )y x满足方程20yyky，其中01k.（1）证明：反常积分0( )y x dx收敛；（2）若(0)1y，(0)1y，求0( )y x dx的值.17、 （本题满分 10 分）设函数( , )f x y满足2( , )(21)x yf x yxex，且(0, )1fyy，tL是从点(0,0)到点(1, ) t的光滑曲线。计算曲线积分( , )( , )( )ddtLf x yf x yI txyxy，并求( )I t的最小值.18、 （本题满分 10 分）设有界区域由平面222xyz与三个坐标平面围成，为整个表面的外

7、侧，计算曲面积分2(1)d d2 d d3 d dIxy zy z xz x y.19、 （本题满分 10 分）已知函数( )f x可导， 且(0)1f，10( )2fx.设数列 nx满足1()(1,2)nnxf xn.证明： （1） 级数11()nnnxx绝对收敛；（2）limnnx存在，且0lim2.nnx20、 （本题满分 11 分）设矩形1112111Aaa，22112Baa .当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求此方程.21、 （本题满分 11 分）已知矩阵011230000A（1）求99A（2）设 3 阶矩阵123(,)B 满足2BBA。记100123(

8、,)B ，将123, 分别表示为123, 的线性组合。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！22、 （本题满分 11 分）设二维随机变量(, )X Y在区域2( , )|01,Dx yxxyx上服从均匀分布，令1,.0,.XYUXY（1） 写出(, )X Y的概率密度；（2） 问U与X是否相互独立？并说明理由；（3）求ZUX的分布函数( )F z.23、 （本题满分 11 分）设总体的概率密度为233( , ),0,0,xf xx其他，其中+（0， ）为未知参数，123,XXX为来自总体X的简单随机样本，令123max(X ,X ,X )

9、T ，（）求T的概率密度；（）确定a，使得aT为的无偏估计.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！一、选择（1）考察反常积分的定义（即反常积分的简单计算）选 C。只有当, a b均已知时，才有计算的可能，直接计算行不通。因此应先赋值，再计算。综上本题采用“特例排除法” ：取0a ，须1b ，此时反常积分存在，即收敛，排除,B D；取3a ，原式变成301bxdxx，易知，2b 时，分子幂次高于分母，321xx可分解出一个x，则积分结果为，反常积分不存在，排除A。相比往年类似考点，较难。（2）考察原函数的定义。选D。直接计算即可。211,

10、211xxdxxC；21, lnlnxxdxxxxC；观察选项，排除,B C。一元函数可导必连续，排除A。较易。（3）考察非齐次方程解的性质选A。 非齐次方程的两个解作减法是对应齐次方程的解， 即22 1x是齐次解， 去系数2依旧是齐次解，代入齐次方程，记作方程；非齐次方程的两个解取平均值，仍是非齐次方程的解，即221x是非齐次解，代入非齐次方程，记作方程；方程联立可得 q x。（4）考察极限的定义，函数的连续与间断（和网上答案不一样，网上答案选 D ）选B。考察一个函数在某点的极限或连续性或可导性，首先至少须保证函数在该点的去心领域有定义。观察题干条件，0x 的“右领域”有“问题” ，函数在

11、10,1n上无定义，右极限不存在，因此可直接排除,A C D。较难。（5）考察相似的充要条件：11,ABP APB P选C。可先将题目等效为：已知1P APB，记作式，验证选项“ABCD”的正确性。基本思路：由已知通向未知是联系过去与未来的重要途径。考察A：式两边同时转置得 11111TTTTTTTTTTP APP APPAPB，符合；同理，式两边同时取逆得111P A PB，记作式，符合；式+，即得111PAAPBB，D亦符合。难度持平。（6）考察二次型之惯性定理与二次曲面的方程选B。2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权

12、请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！3思路：根据二次曲面的方程可知：单页双曲面：2,1pq；双页双曲面：1,2pq；椭球面：3,0pq；柱面：3pq，, p q视具体情况而定。采用配方法或特征值法均可很快确定本题二次型1,2pq，所以选B。较新颖。（7）考察一般正态分布的概率计算选B。 XpP ，其中 x是标准正态分布的分布函数，分布函数单调不减。较易（8）考察相关系数的计算选A。(, )XYCOV X YEXYEXEYDXDYDXDY。易知11(2, ),(2, )33XBYB，所以24,39EXEYDXDY；求XY的分布列：0 1 242009 XYP，29EXY；代入得12XY 。

13、持平。二、填空（9）考察00型未定式极限。12。23300ln 1sinsin1limlim222原式xxxxxxxxx。较易（10）考察旋度公式1jyk。较易（11）考察多元函数之隐函数求导2dxdy。0,1代入原方程，得1z 。方程两边同时对x或y求导，可得(1,0)(1,0),zzxy。（12）考察泰勒公式与幂级数展开。12。31arctan3xxx，22111axax ，所以32231arctan1131()xxxxxaxaxa x ， 011()332faa 。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！持平（13）考察行列式的计算4

14、32234 。1114321，只需要从第四列开始，后一列的倍加到前一列，最后得01010143211，沿第一列展开即得。较难（14）考察一个正态总体的置信区间（8.2,10.8） 。代入公式22,XuXunn即可，其中2210.81.3Xuunn。较易。三、计算题（15）考察极坐标系下的二重积分计算2 1 cos222cos3253Dxdxdydd较易。（16）考察反常积分的计算以及二阶常系数线性齐次微分方程的求解。（）证明： （依据反常积分定义）1212122011,11其中xxyykyyC eC ekk ，代入反常积分得 12122101212CCCCy x dx 反常积分存在，所以反常积

15、分收敛。（II）解： （常微分方程中的初值问题，两个初值条件求两个任意常数12,C C）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2112211122122111(0)1(0)111CCCyyCCC ，又12122k ，代入得 03y x dxk。较易。（17）考察偏导积分求二元函数，积分与路径无关。解：由偏导积分法： 2( , ),x yf x yfx ydxxeyx，又 0,1fyyy2,1x yf x yxey。易判断此曲线积分的积分结果与路径无关。 1,20,0,ttI tf x yte 进而易知 min23I tI。较难。（18）考

16、察高斯公式与三重积分。解：由高斯公式得21Ixdv（先二后一法）12。 （较易）（19）考察无穷级数收敛性证明，以及拉格朗日中值定理的运用。（）即证11nnnxx的收敛性。 （一般比较法） 1111nnnnnnnnxxfxfxfxxfxx11211122nnnxxxx，显然右端构成的级数收敛，所以原命题成立。（II）考察绝对收敛的性质，及微分中值定理的运用。观察发现11nnnxx展开后即可“加一项消一项” 。易知11nnnxx收敛，所以欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1111limlimlimnnnnnnSxxAxAx，其中limn

17、nAS所以limnnx存在，记为C。由 10nnnxf xffx，在0与nx之间。两边取极限得 11Cf，易判断原命题成立。较难。（20）考察矩阵方程的求解11122,0233400110A Baaaa （i）1a 时1112210011,01111011110000000000A B进而可得12121111Bkkkk ，12,k k为任意常数。无穷解。（ii）2a 时1112211122,00336000060033000330A B易知无解。（iii）21且aa 时11122,0233400110A Baaaa 唯一解。31240210aaaBa。难度持平。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来

18、源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（21）（）分析：考察方阵的n次幂，在本题条件下，易联想到11nnP APAPP 易得A的特征值及对应的特征向量为112233032211 102120TTT ，记123,P，则10,12P AP 9999989999110010099221222221222000APP ，其中110022121112P（II）考察矩阵乘法。由210099BBABBA即99999810010099123123221222,221222,000 9999981001009912312399100112991002129899312221222,221

19、222,000222212122222 难度持平（22）考察多维随机变量的分布函数、概率密度以及相互独立的概念（）二维均匀分布概率密度：即求区域D面积（二重积分） ，再代公式。23,01,0, 其 他 xxyxfx y（II）思路：先考察相互独立的必要条件是否成立。如验证111,122P UXP UP X是否成立欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！12011131,32282xxP UXP XY Xdxdy11111,2282P UP X，代入，等式不成立，必要条件不满足，所以不相互独立。（III）考察“离散+连续型随机变量”的分布函数

20、易知02Z当 0,0zF z， 2,1zF z，当02z时 1,10,F zP ZzP UXzP UXzP UXz23322,1,3,01231211,1222P XY XzP XY Xzzzzzzz综上： 233220,03,01231211,12221,2zzzzF zzzzz。较难。（23）考察一维随机变量函数的分布；无偏估计。（） 12312312333max,XF tP TtPXXXtP Xt Xt XtP Xt P Xt P XtP XtFt 28939,00,其他XXf tFtfttt （II）即求使得E aT成立的a。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！ 8909910109taE aTaE Tatdta。较易整体来看，数学一相比去年较难，主要体现在综合性题目较多，计算量明显增大。但如果一个学生的基础计算能力较扎实，这个“难”能不能再算数就需要再讨论了，因为除了极个别的大题（如 19 题、22 题） ，其他大题的逻辑思路比较明朗，题目不算难，只是计算量着实大，对学生的计算能力要求高，由此可看出研究生选拔考试对学生计算能力很是重视。综上，2016 年考研数学一题目偏向综合性强的基础题型，但计算量大，对基础计算能力要求高。