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1、12.512.5二次根式及其性质二次根式及其性质要点、考点聚焦要点、考点聚焦课前热身课前热身典型例题解析典型例题解析课时训练课时训练1要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.二次根式的定义二次根式的定义(1)(1)式子式子 ( (a0)a0)叫做二次根式叫做二次根式. .(2)(2)二次根式二次根式 中，被开方数必须非负，即中，被开方数必须非负，即a0a0，据此可以确定被开方数为非负数据此可以确定被开方数为非负数. .(3)(3)公式公式( )( )2 2= =a(a0).a(a0).2.2.积的算术平方根积的算术平方根(1)(1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积的算术平方根，等于积
2、中各因式的算术平方根的积积. .(2)(2)公式公式 = ( = (a0a0，b0).b0).23.3.二次根式的乘法二次根式的乘法(1)(1)公式公式 = . = .(2)(2)二二次次根根式式的的运运算算结结果果，应应该该尽尽量量化化简简，有有理理数数的的运运算律在实数范围内仍可使用算律在实数范围内仍可使用 4.4.商的算术平方根商的算术平方根(1)(1)商商的的算算术术平平方方根根等等于于被被除除式式的的算算术术平平方方根根除除以以除除式式的算术平方根的算术平方根. .(2)(2)公式公式 （a0,ba0,b0 0）. .5.5.二次根式的除法二次根式的除法(1) (1) 公式公式. .
3、(2)(2)二二次次根根式式的的除除法法运运算算，通通过过采采用用化化去去分分母母中中的的根根号号的方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化的方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化. .36.6.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. .(1)(1)被开方数的因数是整数，因式是整式被开方数的因数是整数，因式是整式. .(2)(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式被开方数中不含开方开得尽的因数或因式. .(3)(3)化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数. .7.7.几个二次根式化成最简二
4、次根式以后，若被开方数几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. .8. 8. 41.如果最如果最简简二次根式二次根式与与是同是同类类根式，那么使有意根式，那么使有意义义的的x x的取的取值值范范围围是是()A.x x 1010 B.x x 10 10 C.x x 1010课前热身课前热身A2.计算：计算：的结果是的结果是。3.若若，则的取值范围是，则的取值范围是。12x2x2C4.在函数在函数中，自中，自变变量量x x的取的取值值范范围围是是()A.x x 4 4 B.x x 4 4C.x x 4 4D.x x
5、455.化化简简课前热身课前热身6.直接写出下列各题的计算结果：直接写出下列各题的计算结果：(1)=；(2)；(3)=；(4)(3+ )2002(3 )2003= .112487.在在、中与中与是同类二次根式的是是同类二次根式的是、.68.下列各式属于最下列各式属于最简简二次根式的二次根式的是是 ( )A.B.C.D.9.(1)化简化简(a-1a-1)的结果是的结果是.(2)当当x5时，化简时，化简. (3)若若1x4时，则时，则=。32x-82x-8课前热身课前热身B10.计计算：算：7典型例题解析典型例题解析【例【例1】x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：为何值时，下列各式在实数范围
6、内才有意义：(1) (2)解解:(1)由由2-x0x2， x2时，时，在实数范围的有意义在实数范围的有意义.(2)由由x3时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.(3)由由-5x3时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.8【例【例2】计算：计算：(1)(2)(3) (4)解：解：(1)原式原式=(2)原式原式=(10=(10a a515)( )=515)( )=(3)原式原式=(4)原式原式= =9【例例3】 求代数式的值求代数式的值.(1) (2) 若若x2-4x+1=0，求求 的值的值.解解:(1)(2)由由x2-4x+1=0x+-4=0x+=4. 原式原式=10【例【例4】比
7、较根式的大小比较根式的大小.(1)(a+b)/2与与；(2)(2)解：解：(1)011【例【例5】已知：已知：,求求的值的值.解：已知解：已知x0，a a0,得得1- 1-a a0，即即a a1. 0a a1 原式原式=121.1.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同. .2.2.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根
8、式化成最简二次根式，再约分化成最简二次根式，再约分. .3.3.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷. .13课时训练课时训练1.函数函数中，自变量中，自变量x x的的取值范围是取值范围是.3.函数函数 中，中，自变量自变量x的取值的取值范围是范围是.2.若实数若实数ab，则化简，则化简的的结果是结果是()A.a+bB.a-bC.-a-bD.-a+b4.当当m22时时，化，化简简：
9、D33x5514课时训练课时训练5.计算：计算：7.观观察下列各式：察下列各式： 请请你将猜想到的你将猜想到的规规律用含自然数律用含自然数n(n1)的代数式表示出来：的代数式表示出来：6.化简：化简：34 41516； 网上买药 网上药房 veg08whv 候，一准儿会有三五成群的秃头小子们连蹦带跳地跑来河边，毫无顾忌地脱光了跳到河里去尽情地戏水洗澡。估摸着快起晌了，他们就自觉地上岸来，穿好衣服跑到别处玩，或者下地帮大人干活儿去了，把这条小河留给了很快就要来河边洗衣裳的女人们。结伴儿去小河边洗衣裳是小镇上女人们最乐意做的一件家务事儿。每天上午或午后，尤其是闷热天起晌后，她们总会挎上个装满衣服或
10、鞋袜的竹篮子，再带上一块胰子、一个棒槌，也许还会再带一把猪鬃刷子，互相招呼着高高兴兴地来到河边洗衣裳。沿着河岸有几颗大柳树，树下一溜儿不远不近略略倾斜摆放着几十块平整光滑的洗衣石。来这里洗衣裳的女人们，年轻的大闺女和小媳妇们不嫌累，干脆就蹲在洗衣石后面洗；上了年纪的女人们嫌蹲着洗衣服累得慌，就搬一块适合的石头放在洗衣石的后面，再在这块石头上垫一件准备洗的衣裳，然后舒舒服服地坐着洗。金色的太阳、蓝蓝的天空、缓缓移动的白云、轻轻吹拂的凉风、揺荡着的垂柳枝条、潺潺流动的河水、时不时跃出水面的银色鲢鱼、成群结队的小蝌蚪、河边闪光的洗衣石、草丛上晾晒的花花绿绿的衣裳，以及高一声低一声嘻嘻哈哈的说笑声、棒
11、槌此起彼伏的敲打声构成了一幅无与伦比的乡间美丽画卷，也奏响了一曲美妙动听的乡间美妙交响乐！每逢农忙季节，当人们在自家地里劳作完了以后回家的时候，只要途经这条清澈见底的小河，必然会放下手里的家伙什儿，蹲下来洗脸、洗手、洗脚，洗去尘土和疲乏，然后干干净净高高兴兴一身轻松地回家去。在小河上游不到一里远的地方，有一大片自然形成的泉眼，清澈透明的泉水源源不断地从泉眼里咕嘟咕嘟地涌出来。这些泉眼分布在四个大水塘里，而这四个水塘的面积几乎一样大，并且都是方方正正的样子。一个呈“十”字形，足足有两步宽的青石堤把它们分割开来。在这些青石堤的大约中间位置，各有一个半步宽的洞口使四个水塘相互连通。在西南方向的那个水塘的外侧有一个宽大的开口；泉水从开口处溢出后，就毫无阻挡地流到小河里去了。由于泉水冬暖夏凉，所以，这条混合了大量泉水的小河，即使在严寒的冬季里，流经小镇的河段上也绝对不会结冰。不过，在天儿冷了的时候，尽管小河仍然流淌得很欢畅，但河水还是有些冰手的。所以，每年的这个时候，就很少有人再在小河边上洗衣服了，她们宁愿多走几百步，也要到水塘边上来洗衣裳。这里的四个水塘都没有多深，最深的地方也没不过成年人的脖子。水塘的底子都是些青石板，站在水塘边向水里望去，连石头缝儿也看得清清楚楚。在每一个水塘里面，都有成群结队的青虾和小鱼游来游去。偶尔地，会有人来这里捕捞鱼虾。在小镇周围村子里人们的眼里，小镇是17
