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1、通信网基础通信网基础第二、三章 习题课2泊松过程泊松过程1.每天进入图书馆的人数服从参数为的泊松分布，而每一个进入图书馆的人以概率P借书，每个人是否借书彼此独立，问：a) 进入图书馆的人恰有k个借书的概率。b) 某天有k个人借书，则该天进入图书馆的人数为n (nk)的概率。解：An=每天进入图书馆的人数为n， An服从泊松 分布 Bk=进入图书馆的人中恰有k个借书， Bk服从 二项分布3泊松过程泊松过程4M/M/1系统1. 某音乐厅设有一个售票处，营业时间为8时到16时，假定顾客流和服务 时间均为负指数分布，且顾客到来的平均间隔为2.5分钟，窗口对每个 顾客的平均服务时间为1.5分钟，试求：a
2、) 顾客不需要等待的概率； p0 = 1- = 0.4b) 平均队长； Ls = /(1- ) = 1.5人c) 顾客在系统中的平均逗留时间； Ws = 1/(-) = 1/16小时 = 3分45秒d) 平均排队等待队长； Lq = * /(1- ) = 0.9人e) 平均排队等待时间； Wq = Lq / = 3/80小时 = 2分15秒f) 售票处平均每小时服务多少顾客？ 1/=40人/小时，40(1-p0)=400.6=24人/小时5M/M/1系统1. 某音乐厅设有一个售票处，营业时间为8时到16时，假定顾客流和服务 时间均为负指数分布，且顾客到来的平均间隔为2.5分钟，窗口对每个 顾客
3、的平均服务时间为1.5分钟，试求：g) 系统内顾客数超过4人的概率； h) 顾客在系统内逗留时间超过15分钟的概率；i) 6个工作日内系统中没有顾客的小时数； 1天没有顾客的时间8p0 = 3.2小时，6天没有顾客的时间19.2小时j) 若顾客的平均逗留时间超过半小时，则到达率是原来的几倍？ 1 = 38人/小时 1 / = 1.58倍6M/M/1系统2. 一个超级市场的收款员平均每小时服务30人，顾客平均每小时到达25人，试求：a) 有1人或者更多顾客排队的平均等待队长； = 25人/小时，= 30人/小时，=5/6b) 要使平均等待队长减少1人，服务时间要如何改进？ 欲使 ，须= 0.8，
4、即= 31.25人/小时， 因此服务时间t = 1/ = 8/2501分55秒7M/M/1系统3. 假设所有车主在邮箱剩一半油时加油，平均每小时有7.5位客户到只有一个油泵的加油站加油，每辆车的平均加油时间为4分钟。假设到达间隔与服务时间都服从负指数分布，试求：a) 平均队长和平均停留时间； = 7.5人/小时，= 15辆/小时，=0.5 Ls= / (1-) = 1辆，Ws= Ls / = 0.13小时=7.8分钟，不会出现排长队。b) 假设出现汽油短缺，发生抢购，所有车主在邮箱剩3/4汽油时就去加油。由于每次加油量变少，每辆车的平均加油时间变为3.333分钟，这种情况下，平均队长和平均停留
5、时间有何变化？ 由于每个车主加油次数是以前的2倍，因此 = 15人/小时，而= 18辆/ 小时， =5/6 Ls= / (1-) = 5辆，Ws= Ls / = 5/15小时=20分钟，抢购导致排长队。8Erlang分布分布若x1, x2, , xk互相独立，均服从参数为的负指数分布，则Sk= x1+x2+ +xk服从K阶Erlang分布，其概率密度函数为：对于输入过程是参数为的泊松流，第i个顾客与第ik个顾客的到达间隔服从什么分布？K个串联的服务台，它们的服务时间彼此独立，均服从参数为的负指数分布，顾客走完这K个服务台所需的总时间服从什么分布？9利用排队论帮助决策利用排队论帮助决策1工厂每小
6、时平均需要10名机械工人来检验一次工具。目前工具中心雇了一个职员，他每小时的工资是6美元，平均每5分钟处理一次工具请求。机械工每小时的工资是10美元，任何机械工在工具中心停留1小时，工厂将损失10美元。工厂正在考虑是否给该职员配一个助手，助手每小时工资4美元。如果雇用一个助手，工具中心平均每4分钟处理一次工具请求。假设到达间隔和服务时间都服从负指数分布，是否应该雇助手？工厂的目标是将每小时的服务成本和由于机械工空闲而产生的预期成本之和最小化。排队优化问题中，由于顾客排队等待产生的成本称为延迟成本。因此公司希望最小化10利用排队论帮助决策利用排队论帮助决策1工厂每小时平均需要10名机械工人来检验
7、一次工具。目前工具中心雇了一个职员，他每小时的工资是6美元，平均每5分钟处理一次工具请求。机械工每小时的工资是10美元，任何机械工在工具中心停留1小时，工厂将损失10美元。工厂正在考虑是否给该职员配一个助手，助手每小时工资4美元。如果雇用一个助手，工具中心平均每4分钟处理一次工具请求。假设到达间隔和服务时间都服从负指数分布，是否应该雇助手？在这个问题中：=10名机械工/小时，=12名机械工/小时，机械工的平均停留时间Ws=1/(- )=0.5小时。由于职员每小时工资是6美元，所以每小时的服务成本是6美元，而延迟成本是10*0.5*10 = 50美元，如果没有助手，预期每小时的成本是56美元。如
8、果雇一个助手，则=15名机械工/小时，机械工的平均停留时间Ws=0.2小时，此时每小时的延迟成本是10*0.2*10 = 20美元，服务成本是10美元，预期每小时的成本是30美元，因此有必要雇用一个助手。11爱尔兰拒绝系统M/M/s(s)1. 某商店有3个服务员，每个服务员同一时间只能为一个顾客服务，假 设服务时间服从负指数分布，平均服务时间为2.5分钟，顾客到来服从 泊松分布，平均每分钟到达1.2人，服务系统为即时拒绝系统。试求：a) 顾客到达商店被拒绝服务的概率； = 1.2人/分钟，= 0.4人/分钟，a= / =3b) 若要顾客到达商店被拒绝的概率小于5%，需要几个服务员？ 查表得p6
9、=0.052， p7=0.022，取s712爱尔兰等待系统M/M/s1. 设有3个英文打字员，平均打印文件的速度为=6件/小时，文件到达 率=15件/小时，试求：a) 等待打印的平均文件数； a = 15/6 = 2.5b) 在打字室内现有的平均文件数； 13爱尔兰等待系统M/M/s 1. 设有3个英文打字员，平均打印文件的速度为=6件/小时，文件到达 率=15件/小时，试求： ：c) 每份文件在打字室平均停留时间及排队等待的平均时间； d) 3个打字员均不空闲的概率C(3, a)。 14利用排队论帮助决策利用排队论帮助决策2银行经理必须决定星期五需要多少出纳员上班。顾客排队1分钟会导致5美分
10、的延迟成本。平均每分钟有2名顾客到达银行，出纳员平均需要2分钟服务一名顾客。银行雇佣一名出纳的费用是每小时9美元，到达间隔和服务时间都服从负指数分布。要使成本最低，银行应该让多少出纳员星期五上班？由于=2名顾客/分钟，=0.5名顾客/分钟，a/s = /(s ) 1要求s5。因此，至少要有5名出纳上班。在此基础上：当s=5，a/s = 0.8，P(k 5)=0.55，Wq=Lq/ = P(k 5)/(s - )=1.1分钟。因此，预期延迟成本/分钟=11美分 预期总成本/分钟=0.15*5+0.11=86美分15混合制M/M/s(n)系统1. 某加油站设有2条加油管道，汽车按平均每2分钟1辆的
11、泊松流到来， 加油时间服从参数为=0.5辆/分钟的负指数分布，除加油车外，站内 最多还能停3辆车，当站内已有3辆车等待时，新到汽车被拒绝。试求：a) 加油站空闲概率和汽车被拒绝的概率； 此题属M/M/2(5)排队系统，按题意=0.5，a=1，a/s=0.5 当a/s1时 b) 平均队长和平均排队等待队长； 16混合制M/M/s(n)系统1. 某加油站设有两条加油管道，汽车按平均每2分钟1辆的泊松流到来， 加油时间服从参数为=0.5辆/分钟的负指数分布，站内最多能停3辆 车，当发现站内已有3辆车时，其它汽车立即离开。试求：c) 汽车的平均逗留时间和平均排队时间17混合制M/M/s(n)系统2.
12、某维修站有2名修理工人，站内可放5台机器，待维修的机器到达间隔 与被维修的时间均服从负指数分布，平均每5分钟有一台机器送来维 修，每台机器的平均修理时间为10分钟，试求：a) 维修站没有机器修理的概率 此题属于M/M/2(5)排队系统，=0.2，=0.1，因a/s=1，有：b) 维修站场地有空位的概率18混合制M/M/s(n)系统2. 某维修站有2名修理工人，站内可放5台机器，待维修的机器到达间隔 与被维修的时间均服从负指数分布，平均每5分钟有一台机器送来维 修，每台机器的平均修理时间为10分钟，试求：c) 进入维修站机器的平均数 当a/s=1时，有：d) 机器在维修站内平均等待维修的时间19习题2.420习题2.421习题2.522习题2.723习题2.824习题3.425习题3.626习题3.12
