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1、定理定理1 1（柯西收敛准则）（柯西收敛准则）与与有有一、无穷积分的性质一、无穷积分的性质推论推论1 1 若无穷积分若无穷积分 收敛，则收敛，则无穷积分无穷积分 收敛收敛无穷积分无穷积分也收敛。也收敛。推论推论2 2 若无穷积分若无穷积分 收敛，收敛，则无穷积分则无穷积分 也收敛。也收敛。推论推论3 3 无穷积分无穷积分 收敛，收敛，定理定理2 若无穷积分若无穷积分 收敛收敛,则无穷则无穷积分积分 也收敛也收敛,其中其中 是常数是常数,定理定理3 3 若无穷积分若无穷积分与与都都收敛，则无穷积分收敛，则无穷积分且且无穷积分的分步积分与换元积分无穷积分的分步积分与换元积分定理定理4 4 设设有有
2、c c是正常数。是正常数。收敛，则无穷积分收敛，则无穷积分1.1.若无穷积分若无穷积分二、无穷积分的敛散性判别法二、无穷积分的敛散性判别法发散，则无穷积分发散，则无穷积分2.2.若无穷积分若无穷积分也发散也发散. .也收敛也收敛. .证明证明1）根据定理）根据定理1，有有由不等式由不等式有有无穷积分无穷积分 收敛收敛.2）用反证法，根据）用反证法，根据1）可以得到矛盾。）可以得到矛盾。则无穷积分则无穷积分也收敛也收敛.推论推论4 4函数函数且且极限极限1.1.若若则无穷积分则无穷积分收敛；收敛；则无穷积分则无穷积分发散。发散。2.2.若若（1）证明证明1)由由(1)式，式，有有则则当当 时，无
3、穷积分时，无穷积分 收敛。收敛。则无穷积分则无穷积分 收敛。收敛。2）当）当 时，由时，由(1)式，式，有有或或已知已知无穷积分无穷积分 发散，则发散，则发散。发散。当当由由(1)式，式，有有或或已知已知无穷积分无穷积分 发散，则发散，则发散。发散。例例1 1判别无穷积分判别无穷积分 的敛散性的敛散性. .例例2 2判别无穷积分判别无穷积分 的敛散性的敛散性. .例例3 3判别无穷积分判别无穷积分 的敛散性的敛散性. .例例4 4判别无穷积分判别无穷积分 ( ( 是参数是参数) ) 的敛散性的敛散性. .三三. .绝对收敛绝对收敛, ,条件收敛的定义条件收敛的定义定义定义1 1 若无穷积分若无
4、穷积分收敛，则收敛，则称无穷积分称无穷积分绝对收敛绝对收敛。定义定义2 2 若无穷积分若无穷积分收敛，而收敛，而发散，则称无穷积分发散，则称无穷积分条件收敛。条件收敛。定理定理5 5（狄利克雷判别法）（狄利克雷判别法）设函数设函数 与与 在区间在区间 有定义，有定义，在任何有穷区间都可积，若在任何有穷区间都可积，若) )积分积分 为为 的有界的有界函数，函数，即有即有）函数）函数 是单调的，且是单调的，且则无穷积分则无穷积分 收敛收敛证明证明 由柯西收敛准则和积分第二中值定理由柯西收敛准则和积分第二中值定理,由条件由条件2),有有与与存在存在 有有又因为又因为 有界有界,有有则则即无穷积分即无
5、穷积分 收敛收敛.定理定理6 6（阿贝尔判别法）（阿贝尔判别法）设函数设函数 与与 在区间有定义，在区间有定义，在任何闭子区间都可积，若在任何闭子区间都可积，若）函数）函数 在在 单调并且有界单调并且有界）无穷积分收敛）无穷积分收敛则无穷积分则无穷积分 收敛收敛证明证明 因为函数因为函数 在在 单调且单调且有界有界,所以它存在有穷极限所以它存在有穷极限,设设则则即函数即函数 单调减少地趋于零单调减少地趋于零.无穷积分无穷积分也收敛也收敛. 已知已知 收敛收敛,即证即证.例例5证明：无穷积分证明：无穷积分 条件收敛条件收敛例例6 讨论无穷积分讨论无穷积分 与与的敛散性的敛散性注注: : 1.1.
6、对于级数对于级数 收敛收敛对于无穷积分对于无穷积分 收敛收敛2. 2. 对于定积分对于定积分, ,若若 在在 a,ba,b 可积可积在在 a,ba,b 也可积也可积反之不成立反之不成立加上什么条件可以推出此结论加上什么条件可以推出此结论?对于无穷积分对于无穷积分,若若 在在 收敛收敛在在 也收敛也收敛. 反之不成立反之不成立.总结总结: 判断无穷积分收敛的方法判断无穷积分收敛的方法1.利用定积分的计算方法利用定积分的计算方法,求出积分求出积分.2.用柯西收敛准则用柯西收敛准则.3.用比较法用比较法.4.用狄利克雷和阿贝尔判别法用狄利克雷和阿贝尔判别法.练习练习1.讨论无穷积分的收敛性讨论无穷积分的收敛性.
