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1、第第3章章 动态系统的时域分析动态系统的时域分析1目录齐次解特解系统分析方法齐次解特解系统分析方法3-4 引言引言3-1动态元件的基本特性动态元件的基本特性3-2连续动态电系统的数学模型连续动态电系统的数学模型 3-3一阶动态电系统的零输入响应一阶动态电系统的零输入响应 3-5一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 3-62目录卷积积分的性质卷积积分的性质 3-10一阶电路的全响应一阶电路的全响应3-7单位冲激响应单位冲激响应3-8卷积积分卷积积分3-933-1 引言引言实际电路中除了电阻元件之外，根据具体需要还可能含实际电路中除了电阻元件之外，根据具体需要还可能含有有电容器、电感器电容器、
2、电感器这样的储能元件，因而在模型中往往这样的储能元件，因而在模型中往往要包含要包含电容元件和电感元件电容元件和电感元件。4这两种元件的电压、电流关系都涉及对电流、电压的微分或积分运算，被称为动态元件。3-2 动态元件的基本特性动态元件的基本特性 1 1、电容器电容器(capacitor)(capacitor) 电容器是一种能够存储电荷乃至电场能量的器件。绝缘介质充充电理想电容器只具有存储电荷从而在电容器中建立电场的作用，因而是一种电荷与电压相约束的器件。线性非时变电容元件：电容元件的特性曲线是 u-q 平面上的一条过原点的直线，且不随时间而变化。 单位：法拉（位：法拉（F）库仑/伏特伏特微法微
3、法( )，皮法，皮法(pF)电容元件电容元件即：即：或：或：符号符号电容的电容的VCR通常，电压、电流采用如下参考方向时：通常，电压、电流采用如下参考方向时：结论：某一时刻，电容的电流取决于该时刻电容电压的结论：某一时刻，电容的电流取决于该时刻电容电压的变化变化率率。若电容电流为有限值，则：结论：若电容电流有界，电容电压不能跳变，即电容电压是连续的,即：电容电压的连续性质 电容电压的记忆性质 电容电压具有电容电压具有“记忆记忆”电流的性质，电容是一种记忆元件。电流的性质，电容是一种记忆元件。3-2-2电感器(inductor)把导线绕成线圈即构成电感器（电感线圈）。把导线绕成线圈即构成电感器（
4、电感线圈）。电感器是存储磁场能量的器件。电感器是存储磁场能量的器件。理想电感器只具有产生磁通从而建立磁场的作用，因而是一理想电感器只具有产生磁通从而建立磁场的作用，因而是一种磁链与电流相约束的器件。种磁链与电流相约束的器件。线性非性非时变电感元件感元件：电感元件的特性曲感元件的特性曲线是是 i- 平面上平面上的的一条一条过原点的直原点的直线，且不随，且不随时间而而变化。化。电感元件感元件电感感(inductance): L 单位：亨利（位：亨利（H）韦伯伯/安培安培毫亨毫亨(mH)，微亨，微亨( )即：即：或：或：符号符号电感的电感的VCR 结论：结论：某一时刻，电感的电压取决于该时刻某一时刻
5、，电感的电压取决于该时刻电感电流的变电感电流的变化率。化率。电容与电感的对偶性电容与电感的对偶性-结论：电感感电流具有流具有连续性和性和记忆性。性。连续性：性：（电感感电流不能流不能跃变）记忆性：性：3-3 连续动态电系统的数学模型连续动态电系统的数学模型 现举例说明电路方程的建立方法。现举例说明电路方程的建立方法。 14【例例题3-2】下下 图中所示中所示为RLC并并联电路，已知激励源路，已知激励源为列出以并列出以并联电路的端路的端电压为变量的微分方程。量的微分方程。RLC并并联电路路解：解： 若把作若把作 为变量，根据元件的电压电流关系有：为变量，根据元件的电压电流关系有： 15对两边求微
6、分，整理得：对两边求微分，整理得：电阻电阻电感电感电容电容对整个电路，根据电流定律有对整个电路，根据电流定律有【例题例题3-3】图所示电路，分别列出以图所示电路，分别列出以 、 为响应为响应的电路方程。的电路方程。16解：解：以以 为响应的方程为为响应的方程为17经整理后有经整理后有以以 为响应的方程，可由同上方法求得，即为响应的方程，可由同上方法求得，即两个结论：两个结论：电路具有几个独立动态元件，电路就是几阶的电路具有几个独立动态元件，电路就是几阶的。18 同一电路，不同的响应，其方程不同，但方程左边同一电路，不同的响应，其方程不同，但方程左边各项系数相同，即各响应方程的特征方程相同。各项
7、系数相同，即各响应方程的特征方程相同。3-4 连续时间系统分析方法连续时间系统分析方法 经典解法经典解法 一一个个线性性系系统，其其激激励励信信号号 与与响响应信信号号 之之间的的关关系系可可以用下列形式的微分方程式来描述以用下列形式的微分方程式来描述若系若系统为时不不变的，的，则C，E均均为常数，此方程常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程性常微分方程。阶次次：方程的方程的阶次由独立的次由独立的动态元件的个数决定。元件的个数决定。n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法建立了系统微分方程后，就应该求解方程以分析该系建立了系统微
8、分方程后，就应该求解方程以分析该系统。统。 我们先来介绍求解方程我们先来介绍求解方程时域经典法时域经典法，即：，即：齐次解齐次解+ +特解特解。 齐次解齐次解：由特征方程：由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解通解形式写出齐次解通解形式（注意重根情况处理方法）（注意重根情况处理方法）特特 解解：根根据据微微分分方方程程右右端端函函数数式式形形式式，写写出出含含待待定定系系数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数，定出特解。代入原方程，比较系数，定出特解。几种典型激励函数相应的几种典型激励函数相应的特解特解激励函数激励函数e(t)响响应函数函数r(t)的特解的特解全全 解：齐次解解：齐
9、次解+ +特解，特解， 由初始条件定出齐次解由初始条件定出齐次解 。初始条件初始条件23 一般将激励信号加入的时刻定义为一般将激励信号加入的时刻定义为 t = 0 ，响应为，响应为 时时的方程的解，初始条件的方程的解，初始条件由于只有确定了初始条件才能进行求解，所以初始条件的由于只有确定了初始条件才能进行求解，所以初始条件的确定是经典法求解微分方程的关键问题。确定是经典法求解微分方程的关键问题。【例题例题3-5】 给定微分方程给定微分方程24如果已知如果已知 ， 求此方程的解。求此方程的解。解解:（1）求方程的齐次解通解形式）求方程的齐次解通解形式 系统的特征方程为系统的特征方程为特征根：特征
10、根：因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为(2)求特解。求特解。25这里这里B为待定系数。为待定系数。则特解函数式则特解函数式等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有所以，特解为所以，特解为当当 将将 代入微分方程代入微分方程(3)完全解完全解 上面求出的齐次解上面求出的齐次解 和特解和特解 相加即得方程的完全相加即得方程的完全解解26已知题中给出边界条件已知题中给出边界条件所以，全解为所以，全解为自由响应和强迫响应自由响应和强迫响应27其中微分方程中的特征方程根 称为系统的“固有频率”（或“自由频率”、“自然频率”），它决定了系统自由响应的全部形式。齐次解表
11、示系统的自由响应。全响应全响应完全解中的特解称为系统的强迫响应，可见强迫响应只与激励函数的形式有关。自由响应强迫响应3-5 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应几个定义几个定义零状态响应：零状态响应：零输入响应：零输入响应：全响应：全响应：X X(zero input response-z.i.r)：在没有外加激：在没有外加激励情况下，仅由非零初始状态引起的响应。励情况下，仅由非零初始状态引起的响应。(zero state response-z.s.r) ：在零初始状态：在零初始状态下，仅由外加激励引起的响应。下，仅由外加激励引起的响应。(complete response-c.r) ：零
12、输入响应与零状：零输入响应与零状态响应之和。态响应之和。3-5-1 RC电路的零输入的响应电路的零输入的响应29电路的微分方程路的微分方程: 已知电容在开关闭合前已储存有电荷，已知电容在开关闭合前已储存有电荷， 发生换路，即开关发生换路，即开关K闭合闭合齐次微分方程的通解齐次微分方程的通解30得到特征方程得到特征方程方程的通解方程的通解待定系数待定系数A称为电路的固有频率或自然频率电电压曲压曲线线: : 时间常数：常数：时间常数的常数的单位：位：称称为电路的路的固有固有频率率(natural frequency)电压、电流衰减的快慢取决于流衰减的快慢取决于时间常数的大小，常数的大小， 越大，衰
13、减越慢，反之越大，衰减越慢，反之则越快。越快。 t = 时，电压下降下降为初始初始值的的36.8%。工程上常取工程上常取t = (4 5 ) 作作为放放电完完毕所需所需时间。XX不同不同时间常数常数时的放的放电曲曲线RL电路的零输入响应电路的零输入响应 KVL方程方程: X放放电曲曲线解得解得: 其中其中: 电感感电压: 电路的路的固有固有频率：率：3.RL电路的零输入响应电路的零输入响应 X小结小结(1) 零输入响应是在输入为零时由非零初始状态产生的响应，它取决于电路的初始状态和电路特性。 (2) 零输入响应线性：初始值增加k倍，零输入响应也增加k倍。3-6 一阶电路的零状态响应一阶电路的零
14、状态响应 3-6-1 RC电路的零状态响应电路的零状态响应36开关闭合开关闭合KVL方程：方程：零状态响应：是在零初始状态下，仅由外加激励源产生的响应。电容的初始储能为零，即37解的形式为：解的形式为：由初始值求得：由初始值求得：-非齐次方程的特解非齐次方程的特解(1)零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的响应，零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性它取决于电路的稳定状态和电路特性（2）零状态响应）零状态响应线性：激励增长线性：激励增长k倍，响应也增长倍，响应也增长k倍。倍。如果有多个激励，则零状态响应是每个激励单独作用产生如果有多个激励，则零状态
15、响应是每个激励单独作用产生的零状态响应的叠加。的零状态响应的叠加。383-7 一阶电路的全响应一阶电路的全响应3-7-1 电路的全响应求解电路的全响应求解39全响应零输入响应零状态响应全响应由非零初始状态和外加激励共同作用产生的响应。全响全响应三要素公式三要素公式y(t )由由初初值y(0)、稳态值y( )和和 时间常数常数 三个参三个参量确定，将他量确定，将他们称称为三要素三要素。其中：。其中：或或R0为戴戴维南或南或诺顿等效等效电阻。阻。三三要素法要素法X三三要素法解题步骤要素法解题步骤 (1)1.2.(2)X3.暂态分量分量稳态分量分量4.写出所求写出所求变量的函数表达式量的函数表达式3
16、.3.三要素法解题步骤三要素法解题步骤 X3-8 单位冲激响应单位冲激响应定义定义1、单位冲激响应、单位冲激响应 43系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应。简称冲激响应，一般用 表示。2、单位阶跃响应系统在单位阶跃信号 作用下产生的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用 表示。无忧无忧PPTPPT整理发布整理发布3-8 单位冲激响应单位冲激响应定义定义1、单位冲激响应、单位冲激响应 44系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应, 简称冲激响应，一般用 表示。2、单位阶跃响应系统在单位阶跃信号 作用下产生的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称
17、阶跃响应，一般用 表示。45【例题例题3-20】已知某一阶电路的微分方程为已知某一阶电路的微分方程为 求当激励求当激励 时某电压时某电压 的冲激响应的冲激响应 。解：解：当激励当激励 时，则有时，则有齐次方程次方程46将其代入微分方程中，可得将其代入微分方程中，可得冲激响应冲激响应特征方程特征方程特征根特征根47电容器的容器的电流在流在t =0时有一冲激，有一冲激，这就是就是电容容电压突突变的的原因原因 。结果结果48（1）由于冲激响应的定义为零状态下的响应由于冲激响应的定义为零状态下的响应，所以起，所以起始状态始状态冲激响应的求解冲激响应的求解对于用线性常系数微分方程如式（对于用线性常系数微
18、分方程如式（3-21）描述的系统，）描述的系统，令输入为令输入为 ，输出为，输出为 ，则微分方程为，则微分方程为 特点：特点：特点特点49 由于由于 及其导数在及其导数在 时都为零，因而方程式右端的时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。形式相同。 设特征根为简单根（无重根的单根）设特征根为简单根（无重根的单根）与与n, m相对大小有关相对大小有关 与特征根有关与特征根有关50冲激响应和阶跃响应的关系冲激响应和阶跃响应的关系因而因而对LTI（Line Time Invariable，线性性时不不变）
19、系）系统，51 【例题例题】求微分方程描述的系统冲激响应和阶跃响应求微分方程描述的系统冲激响应和阶跃响应解：先求单位冲激响应，则系统方程为 特征根：由于n=m52代入原微分方程：左右两端系数平衡，得到 3-9 卷积积分卷积积分533-9-1 卷积的定义卷积的定义对于任意两个信号对于任意两个信号 ， 两者做卷积运算定义为两者做卷积运算定义为做一变量代换，不难证明做一变量代换，不难证明是两函数做卷积运算的简写符号是两函数做卷积运算的简写符号3-9-2 卷积计算的图解法卷积计算的图解法由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化
20、。积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键卷积积分中积分限的确定是非常关键的的。卷积积分限的变化，可以借助卷积的图形解释。卷积积分限的变化，可以借助卷积的图形解释。用图解方法说明卷积运算可以把一些抽象的关系形象化，便于用图解方法说明卷积运算可以把一些抽象的关系形象化，便于理解卷积的概念及方便运算。理解卷积的概念及方便运算。5455卷积的图解卷积的图解 步骤步骤1、 ，积分变量改为，积分变量改为2、时延时延3、相乘、相乘4、乘积的积分、乘积的积分【例题例题3-11】对下图两个信号做卷积积分运算。对下图两个信号做卷积积分运算。56卷积的图解法卷积的图解法t ：移：移动的距离的距离下限下限
21、 上限上限t-3 t-0-11t 表示表示 移移动的距离的距离t =0 f2(t- ) 未移未移动,即即t0时，两波形没有公共处，二者乘积为时，两波形没有公共处，二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0 积分下限分下限-1，上限，上限t ，t 为移移动时间;即即1 t 2即即2 t 42 t 4即t 4t-31积分上下限和卷积结果区间的确定积分上下限和卷积结果区间的确定(1)积分上下限积分上下限 由由 的范围（区间）确定。的范围（区间）确定。 原则：原则：上限取小，下限取大上限取小，下限取大(2)卷积结果区间卷积结果区间A, BC, DA+C, B+D一般规律：一般规律：上限上限下限下限卷积
22、结果卷积结果积分上下限和卷积结果区间的确定积分上下限和卷积结果区间的确定(1)积分上下限积分上下限 由由 的范围（区间）确定。的范围（区间）确定。 原则：原则：上限取小，下限取大上限取小，下限取大(2)卷积结果区间卷积结果区间A,BC,DA+C,B+D一般规律：一般规律：上限上限下限下限3-9-3 3-9-3 利用卷积求系统的零状态响应利用卷积求系统的零状态响应任意信号任意信号e(t)可表示可表示为脉冲分量之和脉冲分量之和矩形窄脉冲序列矩形窄脉冲序列从从 到到 ， 可表示为许多窄脉冲的叠加可表示为许多窄脉冲的叠加所以所以69激励响应若将输入信号若将输入信号 作用于冲激响应为作用于冲激响应为 的
23、某线性时不变的某线性时不变系统，设系统的响应为系统，设系统的响应为 。 70这表明可以通过系统输入信号和冲激响应的卷积运算这表明可以通过系统输入信号和冲激响应的卷积运算来求解系统的零状态响应。这种求解方法的优点是概来求解系统的零状态响应。这种求解方法的优点是概念清楚，不必求解微分方程，尤其是可以通过后面介念清楚，不必求解微分方程，尤其是可以通过后面介绍的卷积诸多性质大大简化卷积计算。绍的卷积诸多性质大大简化卷积计算。则有则有所以所以3-10 卷积积分的性质卷积积分的性质3-10-1 卷卷积的代数性的代数性质1交交换律律2分配律分配律3结合律合律71系统并联系统并联 系系统并并联，框，框图表示：
24、表示： 72结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。激响应之和。系统级联，用系统级联，用框框图表示：表示： 系统级联系统级联73结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。统冲激响应的卷积。 3-10-2卷积的微分与积分卷积的微分与积分741. 微分性质微分性质两个函数卷积后的导数等于其中一函数之导数与另一函两个函数卷积后的导数等于其中一函数之导数与另一函数之卷积，其表示式为数之卷积，其表示式为证明证明:由卷积定义可证明此关系式由卷积定义可证明此关系式同
25、理可以证得同理可以证得2、积分性质、积分性质75此此处，当，当 i，j 取正整数取正整数时为导数的数的阶次，取次，取负整数整数时为重重积分的次数。分的次数。设设 ，则有，则有3、应用类似的推演可以导出卷积的高阶导数或多重积分之、应用类似的推演可以导出卷积的高阶导数或多重积分之运算规律。运算规律。3-10-3与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积7677解：解：78注意：注意：79用微用微积分性分性质直接直接从原理上看，如果从原理上看，如果80应有应有很容易证明，上式成立的充要条件是很容易证明，上式成立的充要条件是显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。可以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。81
