《《高等数学》电子课件（自编教材）：第十章 第5节对坐标的曲面积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》电子课件（自编教材）：第十章 第5节对坐标的曲面积分（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)上上侧和侧和下下侧侧内内侧和侧和外外侧侧左左侧和侧和右右侧侧3曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面4莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:5曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .有向曲面的投影问题有向曲面的投影问题: :6二、概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .781. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .单位法向量为单位
2、法向量为 .93. 求和求和104.4.取极限取极限11三、概念及性质三、概念及性质12被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义13存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:14性质性质:15四、计算法1617注意注意(1)(1)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .18解解1920其中 是旋转抛物面 取下侧。 解： 在xoy 面投影域为 取 的方向为下侧， 其中： 把 分成两部分： 21取前侧； 取后侧。 2223例例3. 计算积分其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 由被积表达式及积分曲
3、面的对称性知原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧24五、两类曲面积分之间的联系252627两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系28向量形式向量形式29例例4. 设是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算解解: 30解解313233内容小结内容小结定义定义:1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 34性质性质:联系联系:思考思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 352. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化36当时，（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .37371、计算曲面积分解解: 利用两类曲面积分的联系, 有其中球面取外侧。 练习题练习题38382、设S 是球面的外侧 , 计算解解: 利用轮换对称性, 有39393、位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解解:。求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .
