《线性代数：第一章 行列式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数：第一章 行列式（127页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式由方程组右边值取代相应的系数列由方程组右边值取代相应的系数列则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的
2、系数行列式.例例例例1 1 1 1解解二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式. .(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算. .列标列标行标行标(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列
3、式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .若记若记或或记记即即得得得得则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:例例例例 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为: 二阶和三阶行列式是由解二元和三元
4、线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结作业：作业：一、概念的引入引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种种放法放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有2 全排列、逆序数全排列、逆序数二、全排列及其逆序数问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的
5、所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例同理同理 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1
6、4逆序数为逆序数为31故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元
7、素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;3 2 5 1 4于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故
8、逆序数为故逆序数为1;例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.解解当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 计算排列逆序数常用的方法有计算排列逆序数常用的方法有2 种种.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为三、小结作业：作业：分别用两种方法求排列分别用两种方法求排列16352487的逆序数的逆序数.一、概念的引入三
9、阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积3 n阶行列式定义（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列二、n阶行列式的定义定义定义(big formula)说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而
10、程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、 的符号为的符号为例例1 1计算行列式计算行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 , 同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中
11、项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例3同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕例例5 5设设证明证明证证由行列式定义有由行列式定义有由于由于 所以所以故故1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、 阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列
12、的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.三、小结作业：作业：已知已知提示，在不求解行列式结果的前提下如何确定特定项系提示，在不求解行列式结果的前提下如何确定特定项系数？数？一、概念的引入4 对换 由于我们已经学会解对角行列式、上下三角形由于我们已经学会解对角行列式、上下三角形行列式，我们希望一般的行列式能够化成这些形式，行列式，我们希望一般的行列式能够化成这些形式，所以必须研究行列式的性质。本节先推出对换的概所以必须研究行列式的性质。本节先推出对换的概念以及行列式的另一种定义，从而说明行列式中行、念以及行列式的另一种定义，从而说明行列式中行、列
13、地位的平等性。列地位的平等性。定义定义 把一个排列中任意两个元素的位置互换，把一个排列中任意两个元素的位置互换，而其余的元素不动，就得到另一个排列，这样一而其余的元素不动，就得到另一个排列，这样一个变换叫做个变换叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换经过经过1，2对换，排列对换，排列 2431 就变成了就变成了 1432；例如，例如，排列排列 2134 就变成了就变成了 1234。二、对换的定义及性质定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性改变奇偶性证明证明先证相邻对换的情形，设排列为先证相邻对换的情形
14、，设排列为对换对换 与与 显然，在排列显然，在排列（1）中，中，a ,b与其它元素构成逆序，与其它元素构成逆序， 则在排列则在排列（2）中仍然构成逆序，中仍然构成逆序， 如不构成逆序则在如不构成逆序则在（2）中也不构成逆序；中也不构成逆序；因此，对于相邻对换的情形，定理是对的。因此，对于相邻对换的情形，定理是对的。 如果原来如果原来 a ,b 组成逆序，那么经过对换，逆组成逆序，那么经过对换，逆序数就减少一个；序数就减少一个； 如果原来如果原来 a ,b 不组成逆序，那么经过换，逆序不组成逆序，那么经过换，逆序数就增加一个数就增加一个. . 无论是增加无论是增加 1 1还是减少还是减少 1 1
15、，排列的逆序数的，排列的逆序数的奇偶性总是变了奇偶性总是变了. .不同的只是不同的只是 a ,b 的次序。的次序。经过对换经过对换 ， 再证一般对换的情形再证一般对换的情形设排列为设排列为排列（排列（3 3）变为）变为 不难看出，这样一个对换可以经过一系列相不难看出，这样一个对换可以经过一系列相邻对换来实现。邻对换来实现。 次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换 2m+1 是奇数，相邻对换改变排列的奇偶性，是奇数，相邻对换改变排列的奇偶性，故这两个排列的奇偶性相反故这两个排列的奇偶性相反. .推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
16、证明证明 由定理由定理1 1知对换的次数就是排列知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数奇偶性的变化次数, ,而而标准排列是偶排列标准排列是偶排列( (逆序数为逆序数为0),0),因此，因此，知推论成立知推论成立. .偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .的的逆序数逆序数。三、行列式定义的另一表示法三、行列式定义的另一表示法对于行列式的任意一项对于行列式的任意一项其中其中为自然排列，为自然排列，为排列为排列对换元素对换元素这时，这一项的值不变，而行标排列与列标同时这时，这一项的值不变，而行标排列与列标同时作了一次对换。作了一次对换。设新的行标排列设新的行标排列的
17、逆序数为的逆序数为奇数奇数；设新的列标排列设新的列标排列的逆序数为的逆序数为则则这就表明，这就表明，对换对换乘积中两元素的次序，从而行标排乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列列与列标排列同时同时作了相应的对换。作了相应的对换。 于是行标排列与列标排列的于是行标排列与列标排列的逆序之和并不改变奇偶性逆序之和并不改变奇偶性。经一次对换是如此，经多次对换当然还是如此。经一次对换是如此，经多次对换当然还是如此。 行标排列行标排列自然变为某个新的排列，设此新的排自然变为某个新的排列，设此新的排列为列为q1q2qn, ,其其逆序数为逆序数为 s ，则有：则有：于是经过若干次对换，使于是经过若干次对换
18、，使 列标排列列标排列p1pipjpn（逆序数为逆序数为 t ）变为自变为自然排列（逆序数为然排列（逆序数为 0 0）；）；定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 t 为行标排列为行标排列的逆序数。的逆序数。证证 按行列式定义有按行列式定义有记记按上面讨论知：对于按上面讨论知：对于D 中任一项中任一项有且仅有有且仅有 D1 中的某一项中的某一项之对应并相等。之对应并相等。于是于是 D 与与 D1 中的项可以中的项可以一一对应并相等一一对应并相等，从，从而而 D = D1 。反之，对于反之，对于 D1 中的任一项中的任一项也总也总有且仅有有且仅有 D 中的某一项中的某一项与
19、之对应并相等，与之对应并相等，一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. 记记5 行列式性质证明证明按定义按定义 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为故故证毕证毕性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, , 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.？行列式变号行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同
20、，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行
21、）的元素都是两数之和数之和. .则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如例例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值解解例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将将第第 都加到第一列得都加到第一列得例例3 3证明证明证明证明 (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的
22、地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利利用性质把行列式化简，从而算得行列式的值用性质把行列式化简，从而算得行列式的值三、小结行列式的行列式的6个性质个性质作业：作业：提示：先将行列式变为两个行列式之和，再对行列式提示：先将行列式变为两个行列式之和，再对行列式进行化简进行化简例如例如一、余子式与代数余子式6 行列式按行(列)展开在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式
23、叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而再证一般情形再证一般情形,此时此时得得得得中的余子式中的余子式故得故得于是有于是有定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按
24、行（列）展开法则(cofactors)例例1 证证用用数学归纳法数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证同理同理相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质例例 计算行列式计算行列式解解按按第一行展开，得第一行展开，得例例 计算行列式计算行列式解解 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为
25、低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 三、小结作业：作业：求求第一行各元素的代数余子式之和第一行各元素的代数余子式之和提示：将行列式展开反过来应用，构造新的行列式计算题目提示：将行列式展开反过来应用，构造新的行列式计算题目要求要求设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念7 克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列
26、的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为二、重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . .定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零. .齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次
27、线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解. .定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解有非零解, ,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .有非零解有非零解. .系数行列式系数行列式例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组解解例例2 2 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组解解例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.1. 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .2. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导. .三、小结英语单词列表行列式：determinant行：row列：column元素：component (entry)克拉姆法则：Cramers rule
