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1、Two slogans大道至简大道至简分析最简单情况分析最简单情况 以不变应万变以不变应万变考虑不变量考虑不变量2.5 2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵2.5.1 2.5.1 矩阵的初等变换 2.5.2 2.5.2 初等矩阵 2.5.3 2.5.3* * 分块矩阵的初等变换2.5.1 2.5.1 矩阵的初等变换定义2.5.1 矩阵A的下列变换称为它的初等行（或列）变换：(1)互换矩阵A的第 i行与第 j行（或第 i列与第 j列）的位置，记为 rirj(或cicj );(2)用常数 k0去乘矩阵 A的第 i行(或第 j列)，记为krj(或 kcj );(3)将矩阵 A的第 j行（或第
2、 j列）各元素的 k倍加到第 i行(或第 i列)的对应元素上去，记为 ri+krj(或ci+kcj );这三种初等变换分别简称为互换、倍乘、倍加。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。定义2.5.2 如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵 B,则称 A与 B等价， 记为 AB.等价是矩阵间的一种关系，具有以下基本性质: (1) 自反性：AA ； (2) 对称性：若 AB, 则 AB; (3) 传递性： 若AB, BC, 则AC . .在数学中把具有上述三个基本性质的关系称为等价关系. 利用矩阵的初等变换，可以把矩阵化为简单的阶梯形矩阵，后者在以后将要介绍的利用初等变换求可逆矩阵的逆矩
3、阵，求矩阵的秩以及线性方程组的求解中都是非常有用的. 简单的矩阵应该长什么样？定义2.5.3 如果矩阵A满足下列条件：(1) 若有零行，则零行全在矩阵A的下方； (2) A的各非零行的第一个非零元素的列序数小于下一行中第一个非零元素的列序数； 则称 A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵. 如果矩阵 A除满足上述条件(1) 、(2)外，还满足条件： (3) 各非零行的第一个非零元素均为1，且所在列的其它元素都为零，则称 A为简化阶梯形矩阵. 阶梯形矩阵的一般形式为（2.5.1） 上述矩阵中,bk(1kr)为非零常数，*号表示某一常数. 怎样将一个矩阵化为阶梯形乃至简化阶梯形矩阵？例2.5.1 2.5.
4、1 用初等行变换把矩阵化为阶梯形和简化阶梯形.解 r4+r1这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初等行变换 此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵. r2+(-2)r3 如果再对 A的简化阶梯形作列的初等变换,可得c4c5任何一个矩阵都能化为阶梯形乃至简化阶梯形矩阵吗？定理2.5.1 任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形.证 设矩阵应用行的互换和倍加变换就可以把它化为阶梯形.由于 A为非零矩阵，那么它至少有一列含有非零元素，不妨设j1列是它的第一个非零列，并且 ，否则可通过交换矩阵中行的顺序即可达到目的.记 依次减去第一行的 倍，则A可化为 .从矩阵的第二行起，其中 A1为(m-1)(n-j1)矩
5、阵.再对矩阵 A1应用上述方法，继续进行下去，即可把 A化为形如（2.5.1）的阶梯形矩阵. 证毕. 设矩阵A已通过初等行变换化为阶梯形矩阵(2.5.1),我们再对它的第k行分别乘以 初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶梯形 ，然后再对矩阵作第三种（2.5.2） 再对矩阵（2.5.2）作初等列变换和初等行变换，则可以把它化成如下更加简单的形式 （2.5.3） 矩阵（2.5.3）的左上角是一个单位矩阵，我们称（2.5.3）为矩阵A的标准形. 由以上讨论，我们可以得到如下结论定理2.5.2 任意非零矩阵A=(aij)mn都与它的标准形等价,即存在矩阵 ，使 其中Er为 r阶单位矩阵,1rmin m
6、,n.洗尽铅华不著妆，一般真色自生香。洗尽铅华不著妆，一般真色自生香。矩阵和它的标准形等价是一个重要结论，后面我们还要说明，对于一个矩阵来说，它的标准形是唯一的，它反映了矩阵在初等变换下的一种不变性-以不变应万变 ！2.5.2 2.5.2 初等矩阵定义2.5.4 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.由于矩阵的初等变换有三种，所以对应的初等矩阵有三类：(1)互换E的第i行（列）与第 j 行（列），记为 i 行j行(2) 用数k0乘 E的第i行行(列)，记为 i行(3) 用数k乘 E的第j行行(i列)加到第i行行(j列)上，记为 i 行j 行我们把 分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵
7、. (1) 初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；初等矩阵的性质：(3) 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且 (2) 初等矩阵都是可逆矩阵；初等变换用初等矩阵表达定理2.5.3 设A是一个 mn矩阵, 对 A作一次初等行变换，相当于在 A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对 A作一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的 n初等矩阵.证 仅就对行作第三种初等行变换的情形给出证明.设矩阵 A=(aij)mn，用m阶初等矩阵E(i,j(k)左乘以A ，则 上式右端相当于对矩阵A作第三种初等行变换(即把矩阵 A的第 j行乘以常数 k加到第 i行上). 证毕. 翻 译定理2.5.4 mn矩阵A与B等价
8、有m阶初等矩阵P1,P2,Ps与n阶初等矩阵 Q1,Q2,Qt ,使得 若记P= P1,P2,Ps，Q=Q1,Q2,Qt ，则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵，于是得到推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q ,使得 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使得 （2.5.4） 这里 是矩阵A的标准形. 推论3 若A为n阶可逆矩阵，则A E 若不然，它的标准形矩阵主对角线上至少含有一个零元素，对（2.5.4）两端取行列式，|PAQ|=0即|P|A|Q|=0此与矩阵A,P,Q可逆， |A|P|Q|0矛盾. 若n阶矩阵A可逆，由推论3，存在 n阶初等矩阵 P1,P2,Pt,Pt+1,Ps ，使 即可逆矩阵 A可以表示成有限个初等矩阵的乘积；反之，若A能表示成有限个初等矩阵的乘积，根据可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵的结论，一定是可逆的. 推论4 n阶矩阵 A可逆的充分必要条件是它可表示成有限个初等矩阵的乘积. 意想不到的翻译等闲拾得矩阵逆设矩阵A可逆，则 A-1可表示成有限个初等矩阵的乘积，即 A-1 = P1,P2,Pt.由 AA-1=E，有 （2.5.5） 即 (2.5.6) 根据分块矩阵的乘法，（2.5.5），(2.5.6)两式可合并为例2.5.2 设用初等行变换法求A-1 解 r3+r2 r2+(-3)r3所以
