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1、第六讲三角恒等变换与解三角形第六讲三角恒等变换与解三角形总纲目录考点一 三角恒等变换及求值考点二 正、余弦定理在解三角形中的应用考点三 正、余弦定理的实际应用考点一三角恒等变换及求值1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()=sincoscossin;(2)cos()=coscossinsin;(3)tan()=.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2=2sincos;(2)cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;(3)tan2=.3.辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+).(2018江苏,16,14分)已知,为锐角,tan=,cos(+)=-
2、.(1)求cos2的值;(2)求tan(-)的值.解析解析(1)因为tan=,tan=,所以sin=cos.因为sin2+cos2=1,所以cos2=,所以cos2=2cos2-1=-.(2)因为,为锐角,所以+(0,).又因为cos(+)=-,所以sin(+)=,因此tan(+)=-2.因为tan=,所以tan2=-.因此tan(-)=tan2-(+)=-.方法归纳方法归纳三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2+cos2=tan45等;(2)项的分拆与角的配凑:如sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+等;(3)降次与升次:正用二
3、倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦.提醒要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用.1.(2018课标全国,15,5分)已知tan=,则tan=.答案答案解析解析tan=,解得tan=.2.(2018浙江,18,14分)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.(1)求sin(+)的值;(2)若角满足sin(+)=,求cos的值.解析解析(1)由角的终边过点P得sin=-,所以sin(+)=-sin=.(2)由角的终边过点P得cos=-,由sin(+)=得cos(+)=.由=(+)-得cos=cos(+)cos+sin(+)sin,所以cos=
4、-或cos=.考点二正、余弦定理在解三角形中的应用1.正弦定理及其变形在ABC中,=2R(R为ABC的外接圆半径).变形:a=2RsinA,sinA=,abc=sinAsinBsinC等.2.余弦定理及其变形在ABC中,a2=b2+c2-2bccosA.变形:cosA=.3.三角形面积公式SABC=absinC=bcsinA=acsinB.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcosC+bsinC=a.(1)求角B的大小;(2)若BC边上的高等于a,求cosA的值.命题角度一:求解三角形中的角解析解析(1)由bcosC+bsinC=a,得sinBcosC+sinBsinC=s
5、inA.因为A+B+C=,所以sinBcosC+sinBsinC=sin(B+C),即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC,因为C(0,),所以sinC0,所以sinB=cosB.因为B(0,),所以B=.(2)设BC边上的高为AD,则AD=a.因为B=,所以BD=AD=a,所以CD=a,所以AC=a,AB=a.由余弦定理得cosA=-.方法归纳方法归纳利用正、余弦定理求三角形的角,常见形式:(1)已知两边及其夹角,先由余弦定理求第三边,再由正弦定理求角;(2)已知三边,直接由余弦定理求角;(3)已知两边及其中一边的对角,先由正弦定理求另一边的对角,再由三角形
6、内角和求第三角,注意此类问题有一解、两解或无解的情况.命题角度二:求解三角形的边与面积如图所示,在ABC中,点D为BC边上一点,且BD=1,E为AC的中点,AE=,cosB=,ADB=.(1)求AD的长;(2)求ADE的面积.解析解析(1)在ABD中,cosB=,B(0,),sinB=,sinBAD=sin(B+ADB)=+=.由正弦定理知=,得AD=2.(2)由(1)知AD=2,依题意得AC=2AE=3,在ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC,即9=4+DC2-22DCcos,DC2-2DC-5=0,解得DC=1+(负值舍去),SACD=ADDCsinADC=
7、2(1+)=,从而SADE=SACD=.方法归纳方法归纳利用余弦定理求边,一般是已知三角形的两边及其夹角.利用正弦定理求边,必须知道两角及其中一边,如该边为其中一角的对边,要注意解的多样性与合理性.而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解.(1)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,且a=,则b2+c2的取值范围是()A.(5,6B.(3,5)C.(3,6D.5,6(2)已知点O是ABC的内心,BAC=60,BC=1,则BOC面积的最大值为.命题角度三:求解三角形中的最值与范围问题答案(1)A(2)解析
8、解析(1)(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a-b)(a+b)=(c-b)c,可化为b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=.A,A=,又a=,由正弦定理可得=2,b2+c2=(2sinB)2+=3+2sin2B+sin2B=4+2sin.易知B,2B-,sin,b2+c2(5,6.(2)O是ABC的内心,BAC=60,BOC=180-=120,由余弦定理可得BC2=OC2+OB2-2OCOBcos120,即OC2+OB2=1-OCOB.又OC2+OB22OCOB(当且仅当OC=OB时,等号成立),OCOB,SBOC=OCOBsin120,则BOC面
9、积的最大值为.方法归纳方法归纳解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法:一是利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所求式的范围.1.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cosB=-.(1)求A;(2)求AC边上的高.解析解析(1)在ABC中,因为cosB=-,所以sinB=.由正弦定理得sinA=.由题设知B,所以0A.所以A=.(2)在ABC中,因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,所以AC边上的高为asinC=7=.2.(2018河南郑州质量预测)在ABC中,角A,B
10、,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b.(1)求角C;(2)若ABC的面积S=c,求ab的最小值.解析解析(1)解法一:由2ccosB=2a+b及余弦定理,得2c=2a+b,得a2+c2-b2=2a2+ab,即a2+b2-c2=-ab,cosC=-,又0C,C=.解法二:=,由已知可得2sinCcosB=2sinA+sinB,则有2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB,2sinBcosC+sinB=0,B为三角形的内角,sinB0,cosC=-.C为三角形的内角,C=.(2)S=absinC=c,c=ab.又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab,=a2+b
11、2+ab3ab,ab12,当且仅当a=b时取等号.故ab的最小值为12.考点三正、余弦定理的实际应用解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解条件都具备的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.如图,小明在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30,45,且BAC=135.若山高AD=100m,汽车
12、从B点到C点历时14s,则这辆汽车的速度约为m/s(精确到0.1).参考数据:1.414,2.236.答案答案22.6解析解析因为小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30,45,所以BAD=60,CAD=45.设这辆汽车的速度为vm/s,则BC=14v,在RtADB中,AB=200.在RtADC中,AC=100.在ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ACABcosBAC,所以(14v)2=(100)2+2002-2100200cos135,所以v=22.6,所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.方法归纳方法归纳解三角形中的实际问题的四个步骤(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解;(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.答案答案-1解析解析由DAC=15,DBC=45可得BDA=30,DBA=135,BDC=90-(15+)-30=45-,由三角形内角和定理可得DCB=180-(45-)-45=90+,根据正弦定理可得=,即DB=100sin15=100sin(45-30)=25(-1),又=,即=,得cos=-1.
