《第03章刚体力学基础(转动定理新法)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第03章刚体力学基础(转动定理新法)（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3-1 3-1 刚体运动的描述刚体运动的描述3-2 3-2 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 3-3 3-3 刚体定轴转动的的功和能刚体定轴转动的的功和能 3-4 3-4 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 质点力学中，我们把物体当作质点处质点力学中，我们把物体当作质点处理，显然过于理想化。在很多实际问题中，理，显然过于理想化。在很多实际问题中，必须考虑物体的大小与形状，不能抽象为必须考虑物体的大小与形状，不能抽象为质点。质点。 刚体力学就是解决刚体力学就是解决刚体力学就是解决刚体力学就是解决有大小、形状物体有大小、形状物体有大小、形状物体有大小、形状物体的运动的运
2、动的运动的运动与动力学规律的。与动力学规律的。与动力学规律的。与动力学规律的。 内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。作用在刚体各部分之间的内力，在刚体的整体运动作用在刚体各部分之间的内力，在刚体的整体运动作用在刚体各部分之间的内力，在刚体的整体运动作用在刚体各部分之间的内力，在刚体的整体运动中不起作用。中不起作用。中不起作用。中不起作用。一刚体一刚体质点质点
3、质点质点质点系质点系质点系质点系 刚体刚体刚体刚体刚体不发生形变，所以各质元间的距离不刚体不发生形变，所以各质元间的距离不刚体不发生形变，所以各质元间的距离不刚体不发生形变，所以各质元间的距离不发生变化，因此刚体是一个发生变化，因此刚体是一个发生变化，因此刚体是一个发生变化，因此刚体是一个不变的质点系不变的质点系不变的质点系不变的质点系 这样，就可以把质点的动力学规律用于每这样，就可以把质点的动力学规律用于每这样，就可以把质点的动力学规律用于每这样，就可以把质点的动力学规律用于每个质元，再考虑到刚体的特点，从而得到刚体个质元，再考虑到刚体的特点，从而得到刚体个质元，再考虑到刚体的特点，从而得到
4、刚体个质元，再考虑到刚体的特点，从而得到刚体整体所服从的规律整体所服从的规律整体所服从的规律整体所服从的规律 刚体力学的研究方法刚体力学的研究方法刚体与一般质点系的区别刚体与一般质点系的区别质心质心ABABAB选哪个点来代表？选哪个点来代表？平动特点：平动特点：其上其上各个质点各个质点的运动状态完全相同，故的运动状态完全相同，故可用可用任意一点任意一点的运动代表刚体整体的运动。的运动代表刚体整体的运动。 通常用质心的运通常用质心的运动来代表整体的运动。动来代表整体的运动。2二刚体的运动二刚体的运动1.1.平动：平动：在运动时，刚体上任意两点的连线方向在运动时，刚体上任意两点的连线方向在在各个时
5、刻的位置各个时刻的位置始终保持平行。始终保持平行。作平动的刚体可简化为质点作平动的刚体可简化为质点 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动. 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+转轴ZP P x适用于质点的圆周运动适用于质点的圆周运动通过一个共同的通过一个共同的角位移、角速度和角加速度角位移、角速度和角加速度 来描述刚体的转动来描述刚体的转动定轴转动的研究方法：定轴转动的研究方法：轴上所有各点都保持不动轴上所有各点都保持不动轴外所有各点都在轴外所有
6、各点都在转动平面转动平面内做圆周运动内做圆周运动 ( (转心、半径）转心、半径）轴外所有各点在同一时间间隔轴外所有各点在同一时间间隔 内走过的弧长虽不同，但对转内走过的弧长虽不同，但对转心的位矢转过的角度都相等。心的位矢转过的角度都相等。二刚体的定轴转动二刚体的定轴转动. .定轴转动的特点定轴转动的特点(1) 角位置角位置定轴转动的运动方程定轴转动的运动方程(3) 角速度角速度(4) 角加速度角加速度单位：单位： 弧度弧度(rad)(2) 角位移角位移22dtddtdq qw wb b= = =6转轴转轴刚刚 体体参考参考方向方向xp. 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 方向方向: 右手右
7、手螺旋方向螺旋方向定轴转动中角量与线量的基本关系定轴转动中角量与线量的基本关系7【比较比较】 1 1）匀加速度直线运动：）匀加速度直线运动：2 2）匀角加速定轴转动：）匀角加速定轴转动：例例3-1 3-1 一飞轮直径为一飞轮直径为0.30m, 0.30m, 质量为质量为5.00kg5.00kg，边缘绕边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地加速加速 ，经，经 0.50 s 0.50 s 转速达转速达10rev10revs s。假定飞轮可看假定飞轮可看作实心圆柱体，求：作实心圆柱体，求：（1 1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；）
8、飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；（2 2）从拉动后经）从拉动后经 t t =10s=10s时飞轮的角速度及轮边缘时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。上一点的速度和加速度。=1.26102 (rad/s2 ) N=q2=2.5 (rev) n=2(1)解：解：（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；=tn2t23.1410 0.51.26102(0.5)2 = 5 21t2=q21Rv= 0.151.26103 =1.89102 (m/s) an2=R= 0.15(1.26103)2 =2.38105 (m/s2) =1.26103
9、 (rad/s) 解：解：解：解：at=R= 0.151.26102=18.9 (m/s2 )（2）从拉动后经）从拉动后经 t =10s时飞轮的角速度及轮边缘时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。上一点的速度和加速度。=1.2610210t= + +Law of rotation on Rigid body with fixed-axisP*O : 力臂力臂 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 一一 力矩力矩 -
10、1. 力在转动平面内力在转动平面内( (与转轴垂直与转轴垂直）转动转动平面平面2. 2. 力不在转动平面内力不在转动平面内力不在转动平面内力不在转动平面内( ( ( (不不不不与转轴垂直与转轴垂直与转轴垂直与转轴垂直）FM=rF=12rF)(+ 在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是指是指力在转动平面内的分力力在转动平面内的分力对转轴的力矩。对转轴的力矩。FrFF21对转动无贡献。对转动无贡献。对转动无贡献。对转动无贡献。F1rF+=21rrF=2rF转动转动平面平面FrFF21合力矩合力矩合力矩合力矩 合合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和
11、矢量和3 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消OO二二 定轴转动定律定轴转动定律2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接外外力矩力矩内内力矩力矩O 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . 转动定律转动定律定义转动惯量定义转动惯量O在刚体运动中，转动定理的地位与质点运动中牛在刚体运动中，转动定理的地位与质点运动中牛顿第二定律相当。顿第二定律相当。注意：注意： 是对同一转轴的。是对同一转轴的。(1
12、)质点：力质点：力F是产生是产生a的原因，的原因，m是物体惯性的量度是物体惯性的量度(2)刚体：力矩刚体：力矩M是产生是产生的原因，的原因，I是转动惯性的量度是转动惯性的量度质点：质点：刚体：刚体： 比较比较 三、 转动惯量转动惯量1. 1. 1. 1. I I I I 的物理意义的物理意义的物理意义的物理意义 I I I I 是刚体转动惯性大小的量度是刚体转动惯性大小的量度是刚体转动惯性大小的量度是刚体转动惯性大小的量度 2. 2. 2. 2. 决定决定决定决定 I I I I 的因素的因素的因素的因素 （1 1 1 1）与刚体质量有关）与刚体质量有关）与刚体质量有关）与刚体质量有关 （2
13、2 2 2）与刚体质量分布有关）与刚体质量分布有关）与刚体质量分布有关）与刚体质量分布有关 （3 3 3 3）与转轴有关）与转轴有关）与转轴有关）与转轴有关 例：轻杆上固定三质点，可绕例：轻杆上固定三质点，可绕 l 轴转动轴转动 a a 2a . . . . 转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量I I I I 的计算的计算的计算的计算 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量：质量元：质量元（2）连续型）连续型原则：原则： （1 1）任取小质元任取小质元 dm dm 并并 写出其表达式写出其表达式（2 2）取）取 ， r r 是是d
14、mdm到转轴的垂直距离。到转轴的垂直距离。（3 3）统一变量后积分统一变量后积分 转轴Z质量元质量元dm 的计算方法如下：的计算方法如下：质量为质量为线分布线分布质量为质量为面分布面分布质量为质量为体分布体分布线密度线密度面密度面密度体密度体密度OO 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 例例2 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .OO如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒例例3. . 求质量为求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转
15、动的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过环心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过环心。解：解：若若是是半径为半径为R的的薄圆筒薄圆筒（不计厚度不计厚度）结果如何？）结果如何？OdmOR在圆环上取质量元在圆环上取质量元dm结果形式不变！结果形式不变！13ORO 例例4 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环而而圆环质量圆环质量所以所以圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量. . . . 平行轴定
16、理与垂直轴定理平行轴定理与垂直轴定理平行轴定理与垂直轴定理平行轴定理与垂直轴定理平行轴定理：平行轴定理：平行轴定理：平行轴定理：mmR R例：例：例：例：垂直轴定理垂直轴定理垂直轴定理垂直轴定理例：例：例：例：o o竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？LRmm匀质薄匀质薄圆盘圆盘匀质细直棒匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面转轴通过中心垂直盘面22J =mR123J =mL1转轴通过端点与棒垂直转轴通过端点与棒垂直两个常用的结果两个常用的结果18解题要点：解题要点：解题要点：解题要点： 对（刚体对（刚体+ +质点）组成的
17、系统，用隔离物体法质点）组成的系统，用隔离物体法 对刚体：力矩分析，用转动定律对刚体：力矩分析，用转动定律对质点：受力分析对质点：受力分析, , 用牛顿第二定律用牛顿第二定律辅助方程：线量与角量的关系辅助方程：线量与角量的关系 四四、 转动定律的应用转动定律的应用例例1 1 薄圆盘质量为薄圆盘质量为M M，半径为半径为R R，绳子绕在盘上，绳绳子绕在盘上，绳子一端在接力作用下运动的加速度是子一端在接力作用下运动的加速度是a a，求拉力求拉力F F。 aF解：解：解：解：以滑轮为研究对象，分析力矩以滑轮为研究对象，分析力矩以滑轮为研究对象，分析力矩以滑轮为研究对象，分析力矩由转动定理有由转动定理
18、有则得则得盘边缘的切向加速度等于绳子下移的加速度，盘边缘的切向加速度等于绳子下移的加速度，例例2 2 已知：定滑轮质量为已知：定滑轮质量为M,M,半径为半径为R,R,视为刚体。视为刚体。求：求：m m的加速度的加速度a=?a=?解：解：选选M M为研究对象为研究对象选选m m为研究对象为研究对象(1)(1)(2)(2)(3)(3)联立方程联立方程(1)(1)、（、（2 2）、（）、（3 3）可得）可得 m m2 2 m m1 1R RMMR R解：解： 当滑轮质量当滑轮质量M=0时，时，力力 的元功的元功力对力对转动刚体所作的功用转动刚体所作的功用力矩的功力矩的功来计算来计算若在某变力矩 的作
19、用下，刚体由 转到 ，作的总功为作的总功为一力矩的功和功率一力矩的功和功率力矩的功率力矩的功率力矩的功率力矩的功率对比对比对比对比: : : : 质点的直线运动质点的直线运动质点的直线运动质点的直线运动 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动 功功功功 功率功率功率功率思考思考: :重重力力矩矩做做的的功功重重力力做做的的功功力矩做功实质上仍是力所做的功力矩做功实质上仍是力所做的功刚体中任一质元 的速率该质元的动能对所有质元的动能求和转动惯量 II得得二转动动能二转动动能三三 、定轴转动动能定理定轴转动动能定理 刚体定轴转动动能定理：刚体定轴转动动能定理： 合外力矩的功合外力
20、矩的功转动动能的增量转动动能的增量外力矩作的总功从水平摆至垂直由得代入得本题利用的关系还可算出此时杆上各点的线速度水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的匀直细杆一端为轴动能动能= =质点动能质点动能+ +刚体的转动动能，刚体的转动动能，势能势能= =质点势能质点势能+ +刚体质心的势能。刚体质心的势能。 外力功外力功= =外力对质点所作的功外力对质点所作的功+ +外外力矩对刚体定轴的功。力矩对刚体定轴的功。这时，功能原理、机械能守恒定律仍然适用。这时，功能原理、机械能守恒定律仍然适用。机械外力非保守内力矩力力矩动势动势质点刚体质点刚体势推广：推广：推广：推广：对含有刚体和质点复杂系统，若对含有刚体
21、和质点复杂系统，若对含有刚体和质点复杂系统，若对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，且内力都是保守力外力不做功，且内力都是保守力外力不做功，且内力都是保守力外力不做功，且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即，则系统机械能守恒，即，则系统机械能守恒，即，则系统机械能守恒，即 势A AC CA AC C解法解法解法解法3 3：l lA AC C若：系统若：系统则：则： 例例2 2 如图示，均匀直杆质量为如图示，均匀直杆质量为m m，长为长为l l，初始水初始水平静止。轴光滑，平静止。轴光滑， 求杆下摆到求杆下摆到 角时，角时，角速度角速度 解解：取（杆取（杆+ +地球），只有重地球），只有重力作
22、功，力作功，E E 守恒。守恒。 初态：初态： 末态：末态： 则：则： （1 1） 由平行轴定理由平行轴定理 有：有： （2）(1)(1)、(2) (2) 解得：解得： 例例： 一质量为一质量为M M，半径为半径为R R的圆柱，可绕一无摩擦的的圆柱，可绕一无摩擦的水平轴水平轴O O转动。绳索一端在圆柱的边缘上，另一端悬挂转动。绳索一端在圆柱的边缘上，另一端悬挂质量为质量为m m的物体。问物体的物体。问物体m m由静止下落高度由静止下落高度h h时，其速度时，其速度为多大？设绳的质量可以忽略，且绳不伸长。为多大？设绳的质量可以忽略，且绳不伸长。解法一：解法一：解法一：解法一：取取m末位置为重力势
23、能零点，末位置为重力势能零点，代入代入解得解得hTTmgM R忽略摩擦外力力矩非保守内力矩力解法二：解法二：解法二：解法二：对对m与圆盘分别应用动能定理与圆盘分别应用动能定理解得解得hTTmgM R考虑到考虑到外力对外力对m作功：作功：力矩对力矩对M作功：作功： angular momentum in rotation of a rigid body 回顾: 质点的角动量质点的角动量xzyod=Lmvr=Lpp sinL=rjm=vr sinjLmrdjjprpLj定义定义定义定义 大小大小大小大小: : : 方向方向: : 右手法则右手法则单位单位: : kgkg m m2 2/s /s 或
24、或 J J s s LI=一一. 刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量转轴ZLz质元质元刚体刚体二二. 角动量定理角动量定理1. 1. 1. 1. 角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式t: 角动量定理：角动量定理：作用在刚体的合外力的冲量作用在刚体的合外力的冲量矩等于在作用时间内，刚体角动量的增量。矩等于在作用时间内，刚体角动量的增量。 冲量矩冲量矩 2. 2. 2. 2. 角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律
25、合外力矩：合外力矩：合外力矩：合外力矩：三三. 角动量守恒定律角动量守恒定律 当刚体所受的合外力矩 等于零时， 刚体的角动量 保持不变。 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守守 恒条件恒条件若若 不变，不变， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.讨论讨论 在在冲击冲击等问题中等问题中常量常量变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘
26、后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花 样 滑 冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小合外力矩为零时，系统总角动量不变。合外力矩为零时，系统总角动量不变。合外力矩为零时，系统总角动量不变。合外力矩为零时，系统总角动量不变。3. 3. 复杂系统复杂系统复杂系统复杂系统共轴（质点共轴（质点共轴（质点共轴（质点+ +刚体）刚体）刚体）刚体）合外力矩合外力矩总总角角动动量量共轴系统若外则恒矢量(1). (1). 如何求角动量？如何求角动量？ 若质点速度不变若质点速度不变, , 则质点在则质点在不同的点，角动量相同。不同的点，角动量相同。 角动量与转轴有关，与点有关。角动量与转轴有关，与点有关。认定转轴认
27、定转轴取逆时针为转动取逆时针为转动“+”+”方向，有方向，有 碰前碰前: : 碰后碰后: : 例例: : 碰前后瞬时碰前后瞬时m m在点在点A A，设，设OAOA = = x x (2).(2).角动量定理和角动量守恒定理解题步骤角动量定理和角动量守恒定理解题步骤 (1) (1) 隔离物体，受力分析隔离物体，受力分析 (2) (2) 认定转轴，建立坐标系，确定转动正方向。认定转轴，建立坐标系，确定转动正方向。 (4) (4) 分别写出系统在初、末态的总角动量。分别写出系统在初、末态的总角动量。 (5)(5)列方程，求结果。列方程，求结果。 (3) (3) 计算合外力矩的冲量矩，若计算合外力矩的
28、冲量矩，若 ，则用，则用 守恒律，否则，用角动量定理。守恒律，否则，用角动量定理。 例1 一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅直状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。 试求：试求：1. 碰撞后系统的角速度碰撞后系统的角速度 2. 碰撞后杆子能上摆的碰撞后杆子能上摆的最大角度。最大角度。Lv4mM3L碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒 , , 得：得：得：得：mvmM34IIL=)(+MM3IL2=1mm34IL2=)(mv4916LLL22=+133mM916=+13mM4mvLL3
29、3LL4vmM解：解： 上摆过程机械能守恒上摆过程机械能守恒3LL4vmMcos2(+ MLg1)cosI22()(+1m43IM=mgL 1M34916L222=)(+1m4MLggmax(3mm+119163M)m vcos21得：得：段，外力矩作正功段，外力矩作负功合外力矩的功从水平摆至垂直由得转轴对质心轴的位移 代入得摆至垂直位置时杆的水平位置静止释放例例4 有一均质细直杆在一个粗糙的水平面上可绕一条有一均质细直杆在一个粗糙的水平面上可绕一条通过其一端的竖直轴旋转，它与平面之间的摩擦系数通过其一端的竖直轴旋转，它与平面之间的摩擦系数为为m 。设杆子质量为设杆子质量为m, ,长度为长度为 l ，其初始转速为其初始转速为0 0 。试求当它的转速为原来的一半时所用的时间。试求当它的转速为原来的一半时所用的时间。looldxoox=dmmldxgm=dfdm=dMdfx=xgmdxmlM0l12=gmm l=xgmdm =xgmdxml解：解：tdMI=dI13ml=212gmm ltd=d13ml232gmtd=dl32gmt=l0023gmt=l012gmm ltd=d13ml232gmtd=dlt0020
