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1、第四节幂级数 第八八章 一一、函数、函数项级数的一般概念项级数的一般概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三三、幂级数、幂级数的运算与性质的运算与性质 一、一、 函数项级数的一般概念函数项级数的一般概念收敛点收敛点（发散点）（发散点）的全体的全体.收敛收敛（发散）（发散）;收敛点收敛点函数项级数函数项级数: （发散点）（发散点）x0:收敛域收敛域（发散域（发散域 ）U:和函数和函数:(收敛域收敛域)部分和：部分和：余项：余项：区间区间 I 上上的函数的函数例例1 (1)收敛域：收敛域：发散域：发散域：(2)级数发散级数发散 ;故级数的故级数的收敛域收敛域:和函数和函数 等比级数等比级
2、数公比公比:收敛域一般不一定为区间收敛域一般不一定为区间二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 例如例如, 等比级数等比级数 为幂级为幂级数数1. 定义定义 问题问题 一般幂级数的收敛域是否为区间？一般幂级数的收敛域是否为区间？发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散2. 幂级数收敛域的结构幂级数收敛域的结构 绝对收敛绝对收敛.定理定理 8.11 ( Abel定理定理 ) 发散发散.证证 (1) 设设收敛收敛,故有故有 M 0, 使使xOx0收敛收敛当当 时时, 收敛收敛,故原幂级数绝对收敛故原幂级数绝对收敛 .也也收敛收敛,(2) （反证法）（反证法）xOx0发散发散若有收敛点若有
3、收敛点收敛收敛x1则由则由 (1) 知，知，也收敛也收敛, 矛盾矛盾!发散发散.幂级数在幂级数在 (, +) 收敛收敛 ;幂级数收敛与发散的幂级数收敛与发散的分界点分界点: R 的收敛域：的收敛域：(1) R = 0 时时, 幂级数幂级数仅在仅在 x = 0 收敛收敛 ;(2) R = + 时时,幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛 ;(R , R ) 加加上收敛区间的上收敛区间的收敛端点收敛端点：收敛域收敛域.R ：收敛半径收敛半径 ， 在在R , R 可能收敛可能收敛(发散发散) .外外发散发散; 在在(R , R ) ：收敛区间收敛区间.发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发
4、散发散结论结论:以原点为中心的区间以原点为中心的区间.3. 收敛半经收敛半经 R 的求法的求法证证定理定理8.12 2) 若若则由比值法知则由比值法知,绝对收敛绝对收敛 ,3) 若若故故故故 的的收敛半径：收敛半径：当当原级数收敛原级数收敛;当当原级数发散原级数发散.即即时时,即即时时,故收敛半径故收敛半径结论：结论：证毕证毕.例例2解解的的收敛域收敛域.(1) 收敛半径收敛半径例例3解解x-1的幂级数的幂级数例例4解解缺项幂级数，缺项幂级数，直接用比值法直接用比值法原级数为原级数为发散发散三、幂级数的运算与性质三、幂级数的运算与性质 设设及及收敛半径分别为收敛半径分别为令令则则其中其中1.
5、幂级数的四则运算性质幂级数的四则运算性质两幂级数两幂级数可在公共可在公共收敛域上收敛域上相加减相加减, 相乘相乘(1)加减法加减法:(2)乘法乘法:2. 幂级数的分析运算性质幂级数的分析运算性质的收敛半径的收敛半径则其和函则其和函（1）在收敛域）在收敛域 I上上连续连续;（2）在收敛区间内）在收敛区间内 逐项积分逐项积分:性质性质 若若收敛半径收敛半径不变不变可可逐项求导逐项求导、 例例5解解0由和函数由和函数的连续性的连续性注注 1 幂级数逐项求导幂级数逐项求导, 逐项积分逐项积分收敛半径不变收敛半径不变, 但区间端点的敛散性可能变化，即但区间端点的敛散性可能变化，即收敛域收敛域 可能可能发
6、生变化发生变化. 求导求导 (去分母去分母) 求和求和 积分积分 积分积分 (去分子去分子) 求和求和 求导求导2 求幂级数和函数的方法求幂级数和函数的方法:例例6求求下列幂级数的收敛域及和函数：下列幂级数的收敛域及和函数：解解 (1) 例例7解解 设设则则而而故故注注1. 设设处条件收敛处条件收敛 , 求收敛半径求收敛半径.解解 由由Abel 定理知定理知, 级数在级数在处收敛处收敛 ,处发散处发散 .故收敛半径为故收敛半径为n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数2. 能否确定能否确定 的收敛半径不存在的收敛半径不存在 ? 不能思考题思考题当 x =1时, 求收敛半径及收敛域求收敛半径及收敛域.解
7、解当当 x = 1时时, 级级数数收敛收敛; 级数级数发散发散 . 故收敛域为故收敛域为备用题备用题例例2-1 例例2-2解解例例2-3 求收敛域求收敛域 :解解 (1)所以收敛域为所以收敛域为(2)所以级数仅在所以级数仅在 x = 0 处收敛处收敛 .规定规定: 0 ! = 1例例3-1的收敛域的收敛域.解解 令令 级数为级数为当当 t = 2 时时, 级数级数发散发散;当当 t = 2 时时, 级级数数条件收敛条件收敛;收敛域为收敛域为即即例例3-2解解例例4-1的收敛半径的收敛半径 .分析分析 级数缺奇次项级数缺奇次项,时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径：故收敛半径：
8、故故直接用比值审敛法求收敛半径直接用比值审敛法求收敛半径.解解例例4-2解解例例5-1解解例例5-2 求求(1)的和函数的和函数解解 (1) 联想联想（需去分母）（需去分母）故故由和函数的连续性由和函数的连续性:而而及及例例6-1解解发散发散收敛收敛( (变量代回变量代回) )例例7-1 求极限求极限其中其中解解 令令设其和为设其和为易知其易知其收敛半径为收敛半径为 1,则则解解 易知收敛半径易知收敛半径 R+.备例备例10则则故得故得的和函数的和函数S(x) .因此因此作业作业1证明证明级数收敛，级数收敛，与已知矛盾，与已知矛盾，作业作业2解解作业作业3证明证明例例16解解例例17解解例例18解解例例19解解解解例例20
