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1、1第三章第三章第三章第三章 晶体对称性理论晶体对称性理论晶体对称性理论晶体对称性理论晶体的对称性有宏观对称性与微观对称性之分。宏观对称性指晶体的外形对称性。微观对称性指晶体微观结构的对称性。2第一节第一节第一节第一节第一节第一节 对称性概念，对称操作和对称元素对称性概念，对称操作和对称元素对称性概念，对称操作和对称元素对称性概念，对称操作和对称元素对称性概念，对称操作和对称元素对称性概念，对称操作和对称元素 1.11.11.11.11.11.1基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念知识点：等同图形，对称图形，对称操作，知识点：等同图形，对称图形，对称操作， 对称元素，对称性，阶次对称
2、元素，对称性，阶次1.1.等同图形：等同图形： 几何学上将具有对称形象的物体的各部分叫做等同图形。几何学上将具有对称形象的物体的各部分叫做等同图形。 相等图形：完全迭合的相等图形。如，袜子。相等图形：完全迭合的相等图形。如，袜子。 不相等图形：互成镜像的等同而不相等图形。不相等图形：互成镜像的等同而不相等图形。 如，左右手，鞋。如，左右手，鞋。2.2.对称图形：对称图形： 由二个或二个以上的等同图形构成，并且很有规律的重复着。由二个或二个以上的等同图形构成，并且很有规律的重复着。 （既包括相等图形又包括不相等图形）（既包括相等图形又包括不相等图形）包括3第一节第一节第一节第一节第一节第一节 对
3、称性概念，对称操作和对称元素对称性概念，对称操作和对称元素对称性概念，对称操作和对称元素对称性概念，对称操作和对称元素对称性概念，对称操作和对称元素对称性概念，对称操作和对称元素 1.11.11.11.11.11.1基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念3.3.对称操作：（又叫对称动作）对称操作：（又叫对称动作） 将对称图形某一部分中的任意点带到一个等同部分中的将对称图形某一部分中的任意点带到一个等同部分中的 相应点上去使新图形与原图形重合的操作叫对称操作。相应点上去使新图形与原图形重合的操作叫对称操作。 另一种表述：另一种表述： 使各个原子的位置发生变换的操作，但其结果则是使分使各
4、个原子的位置发生变换的操作，但其结果则是使分 子或晶体的状态与操作前的状态正好相同，即处于子或晶体的状态与操作前的状态正好相同，即处于对称对称 相关位置相关位置。4第一节第一节第一节第一节第一节第一节 对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素 1.11.11.11.11.11.1基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念对称操作的例子，对称操作的例子，苯分子苯分子C6H6。5第一节第一节第一节第一节第一节第一节 对称性概念，对称操作和对称要素对称性概
5、念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素 1.11.11.11.11.11.1基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念基本概念4.4.对称元素（对称要素）：对称元素（对称要素）： 进行对称操作时，必须依据的几何元素（点，线，面）进行对称操作时，必须依据的几何元素（点，线，面） 叫做对称元素。叫做对称元素。5.5.对称性：对称性： 物体中各等同部分在空间排列的特殊规律性叫对称性。物体中各等同部分在空间排列的特殊规律性叫对称性。6.6.对称性的阶次：对称性的阶次： 对称图形中所包括的等同部分的数目
6、称为阶次。对称图形中所包括的等同部分的数目称为阶次。 阶次的大小代表对称程度的高低。阶次的大小代表对称程度的高低。注意，阶次指一次操作后重复的部分。注意，阶次指一次操作后重复的部分。例如，例如，4 4个花瓣的花。花是对称图形，瓣是相等图形（属于个花瓣的花。花是对称图形，瓣是相等图形（属于 等同图形），等同图形），4 4个瓣是个瓣是4 4个相等图形，阶次为个相等图形，阶次为4 4。61.2 1.2 1.2 1.2 对称操作和对称要素对称操作和对称要素对称操作和对称要素对称操作和对称要素分七类：分七类：1.1.对称操作：旋转（也称纯旋转或真旋转），对称操作：旋转（也称纯旋转或真旋转）， 对称元素：
7、旋转轴（是直线），对称元素：旋转轴（是直线）， 符号：符号：n n（国际符号），（国际符号），C Cn n（熊夫利斯符号）（熊夫利斯符号）例子：如果一物体具有绕一个轴旋转例子：如果一物体具有绕一个轴旋转180180的对称操作，的对称操作， 那么在国际符号中记为那么在国际符号中记为2 2，熊夫利斯符号记为，熊夫利斯符号记为C C2 2。 旋转只能使完全相等的图形彼此重合，不可能使左右手重合。旋转只能使完全相等的图形彼此重合，不可能使左右手重合。7（1 1 1 1）旋转（纯旋转或真旋转）旋转（纯旋转或真旋转）旋转（纯旋转或真旋转）旋转（纯旋转或真旋转）如果对称操作是一个如果对称操作是一个 2/n
8、2/n 的旋转，的旋转，那么它的符号记为：国际符号那么它的符号记为：国际符号n n，熊氏符号，熊氏符号C Cn n。 此处，此处，n n 称为旋转轴的轴次，即转一周重复的次数。称为旋转轴的轴次，即转一周重复的次数。 为基转角，为基转角，= 2/n= 2/n， 为能使图形复原的最小旋转角度。为能使图形复原的最小旋转角度。 则，则，n = 2/n = 2/， n n 也为该旋转轴相应的对称性的阶次。也为该旋转轴相应的对称性的阶次。如苯环：如苯环： = 60 = 60，n = 360n = 360/60/60= 6= 6，它具有，它具有6 6次轴，阶次为次轴，阶次为6 6。8（1 1 1 1）旋转轴
9、的方向）旋转轴的方向）旋转轴的方向）旋转轴的方向 由于旋转轴是一条具有一定方向的直线，因而可以相对由于旋转轴是一条具有一定方向的直线，因而可以相对于于a a, ,b b, ,c c轴用一个矢量：轴用一个矢量： s s=u=ua a+v+vb b+w+wc c来描述，此处矢量来描述，此处矢量s s的长度要调整到使的长度要调整到使u,v,wu,v,w为互质整数。为互质整数。按照结晶学中表示方向的规则，这个方向被写为按照结晶学中表示方向的规则，这个方向被写为uvwuvw。旋转操作，在国际符号中被写为旋转操作，在国际符号中被写为nuvw,nuvw, 在熊夫利斯符号中被写为在熊夫利斯符号中被写为C Cn
10、 nuvw uvw 。9（1 1 1 1）旋转）旋转）旋转）旋转我们只讨论我们只讨论 n = 1,2,3,4,6 n = 1,2,3,4,6 五种轴次的旋转。五种轴次的旋转。恒等操作：国际符号恒等操作：国际符号1 1，熊氏符号，熊氏符号E E。 虽然恒等操作似乎是无关紧要的，但最重要的对称操作虽然恒等操作似乎是无关紧要的，但最重要的对称操作正是这种能描述所有物体的操作。这是一种随物体没有做任正是这种能描述所有物体的操作。这是一种随物体没有做任何操作的操作。何操作的操作。10（1 1 1 1）旋转）旋转）旋转）旋转：2 2 2 2（C C C C2 2 2 2）在投影图上描述对称操作的方法：用圆
11、圈代表任何一般物体。两个圆两个圆圈处于圈处于对称相对称相关位置关位置表示表示2次轴垂直次轴垂直于纸面。轴的于纸面。轴的符号为符号为2001或或C2001”+”号表示圆圈号表示圆圈在纸面上方，在纸面上方，”-”号表示圆圈号表示圆圈在纸面下方。在纸面下方。注意，这两只注意，这两只手都是掌心向手都是掌心向上的右手。上的右手。带箭头的直线带箭头的直线表示纸面内的表示纸面内的2次轴。这个次轴。这个2次次轴在轴在010方向方向.11（1 1 1 1 1 1）旋转：）旋转：）旋转：）旋转：）旋转：）旋转：3 3 3 3 3 3（C C C C C C3 3 3 33 3）关于操作乘法的规则：如果对一个物体关
12、于操作乘法的规则：如果对一个物体进行两次操作进行两次操作AB，那么我们规定物体先，那么我们规定物体先受右边的受右边的B作用，然后再受作用，然后再受A的作用。的作用。对于旋转操作，我们选定右手规则，或者说反时针规则。对于旋转操作，我们选定右手规则，或者说反时针规则。对称操作：对称操作：33（C3C3）。通常写成）。通常写成32（C32），表示算符的自乘。），表示算符的自乘。 于是于是n2=nn，表示的就是，表示的就是n与与n相乘的积。相乘的积。12（1 1 1 1）旋转：）旋转：）旋转：）旋转：4 4 4 4（C C C C4 4 4 4）如果如果4(C4(C4 4) )是某一个特定晶体的对称操
13、作，那么它就隐含有是某一个特定晶体的对称操作，那么它就隐含有2(C2(C2 2) )这个对称操作。这个对称操作。4(C4(C4 4) )还隐含有还隐含有4 43 3(C(C4 43 3) )。同样的，同样的，3(C3(C3 3) )就隐含有就隐含有3 32 2(C(C3 32 2) )。42（C42）=2（C2）这个实例说明：一定的这个实例说明：一定的对称操作会隐含有另一对称操作会隐含有另一些对称操作。些对称操作。13（1 1 1 1）旋转：）旋转：）旋转：）旋转：6 6 6 6（C C C C6 6 6 6）6m（C6m）也都是对称操作，）也都是对称操作，m=1，2，3，4，5，6。其中，其
14、中，m=2 的的 62（C62）= 3（C3）m=3 的的 63（C63）= 2（C2），），m=6 的的66（C66）= 1（E），即恒等操作。），即恒等操作。14一般等效位置一般等效位置一般等效位置一般等效位置 对称操作就是物体（手或者圆对称操作就是物体（手或者圆圈）围绕这种对称元素按照要求而圈）围绕这种对称元素按照要求而完成的运动。完成的运动。 手或者圆圈总是取在手或者圆圈总是取在一般位置一般位置上，即它在空间并不是正好处于某上，即它在空间并不是正好处于某个对称元素上。个对称元素上。 对称操作的作用效果就在于产生一组手或者一组圆圈，对称操作的作用效果就在于产生一组手或者一组圆圈，他们全都
15、处于一般位置，但彼此对称相关，于是由此导出一他们全都处于一般位置，但彼此对称相关，于是由此导出一组组一般等效位置一般等效位置。15第一节第一节第一节第一节第一节第一节 对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素对称性概念，对称操作和对称要素知识点：等同图形，对称图形，对称操作，知识点：等同图形，对称图形，对称操作， 对称元素，对称性，阶次，对称元素，对称性，阶次， 恒等操作恒等操作1（E），）， 旋转轴符号旋转轴符号n (Cn)，图形符号，图形符号， 国际符号，熊夫利斯符号，国际符号，熊
16、夫利斯符号， 操作乘法的规则，操作乘法的规则， 一般位置，一般等效位置，一般位置，一般等效位置， 对称相关位置。对称相关位置。16（2 2 2 2）反映（平面反映，镜像反映）反映（平面反映，镜像反映）反映（平面反映，镜像反映）反映（平面反映，镜像反映）对空间给定的某一个点（对空间给定的某一个点（x,y,zx,y,z）做镜像操作的方法是：由）做镜像操作的方法是：由这一点向镜面作一条垂直线并延长到镜面的另一边，在延长这一点向镜面作一条垂直线并延长到镜面的另一边，在延长线上取一点，使其到镜面的距离等于原来点到镜面的距离。线上取一点，使其到镜面的距离等于原来点到镜面的距离。这个点就是（这个点就是（x,
17、y,zx,y,z）的镜像。）的镜像。国际符号：国际符号：m m 熊夫利斯符号：熊夫利斯符号：反映的平面就是镜像反映的平面就是镜像操作的对称元素，称操作的对称元素，称为镜面。为镜面。表示表示m垂直于投影面垂直于投影面m010是镜面的法线方向是镜面的法线方向m平行于投影面平行于投影面以纸面为反映面以纸面为反映面17（2 2 2 2）反映（平面反映，镜像反映）反映（平面反映，镜像反映）反映（平面反映，镜像反映）反映（平面反映，镜像反映）对空间给定的某一个点（x,y,z）做镜像操作的方法是：由这一点向镜面作一条垂直线并延长到镜面的另一边，在延长线上取一点，使其到镜面的距离等于原来点到镜面的距离。这个点
18、就是（x,y,z）的镜像。国际符号：国际符号：m m 熊夫利斯符号：熊夫利斯符号：反映的平面就是镜像反映的平面就是镜像操作的对称元素，称操作的对称元素，称为镜面。为镜面。对称操作：反映对称操作：反映对称元素：反映面对称元素：反映面 符号：符号：m m（ ） 阶次：阶次：2 2反映能使等同而不相等的图形重合，反映能使等同而不相等的图形重合，一次反映不能使相等图形重合。一次反映不能使相等图形重合。18（2 2 2 2）反映（平面反映，镜像反映）反映（平面反映，镜像反映）反映（平面反映，镜像反映）反映（平面反映，镜像反映）国际符号：国际符号：m m 熊夫利斯符号：熊夫利斯符号：定义定义c轴为主轴，轴
19、为主轴，h就是垂直于这个主轴的镜面；就是垂直于这个主轴的镜面；镜面镜面v包含的是主轴和包含的是主轴和a轴；轴；d除包含主轴以外通常还包含除包含主轴以外通常还包含a轴轴b轴夹角的分角线。轴夹角的分角线。例如在苯分子中，例如在苯分子中，h通过这个分子平面的全部原子，通过这个分子平面的全部原子， v通过隔中心相对的一对原子，通过隔中心相对的一对原子， d通过隔中心相对的一对通过隔中心相对的一对c-c键的中心。键的中心。19（3 3 3 3）反演（中心反演，对称中心，中心，倒反）反演（中心反演，对称中心，中心，倒反）反演（中心反演，对称中心，中心，倒反）反演（中心反演，对称中心，中心，倒反）反演操作就
20、是将反演算符反演操作就是将反演算符 ( (i) )作用于空间每一个位置（作用于空间每一个位置（x,y,zx,y,z）, ,使之变换到（使之变换到（-x,-y,-z-x,-y,-z）。）。如果两只手是像图示这样放置的，那么如果两只手是像图示这样放置的，那么 ( (i) )就是将它们联系起来就是将它们联系起来的对称操作。的对称操作。国际符号：国际符号： 熊夫利斯符号：熊夫利斯符号：i反演的对称元素是一反演的对称元素是一个点。个点。20（3 3 3 3）反演（中心反演，对称中心，中心，倒反）反演（中心反演，对称中心，中心，倒反）反演（中心反演，对称中心，中心，倒反）反演（中心反演，对称中心，中心，倒
21、反）反演操作就是将反演算符(i)作用于空间每一个位置（x,y,z）,使之变换到（-x,-y,-z）。如果两只手是像图示这样放置的，那么(i)就是将它们联系起来的对称操作。国际符号：国际符号： 熊夫利斯符号：熊夫利斯符号：i反演的对称元素是一反演的对称元素是一个点。个点。对称操作：反演对称操作：反演对称元素：对称中心对称元素：对称中心 符号：符号： （i） 阶次：阶次：2 2反演能使等同而不相等的图形重合，反演能使等同而不相等的图形重合，一次反演不能使相等图形重合。一次反演不能使相等图形重合。21（4 4）旋转反演（非真旋转）旋转反演（非真旋转）旋转反演（非真旋转）旋转反演（非真旋转）在国际系统
22、中，在国际系统中，对称操作：旋转反演（或旋转倒反）对称操作：旋转反演（或旋转倒反）对称元素：旋转反演轴（简称反轴）对称元素：旋转反演轴（简称反轴）在熊夫利斯系统中，在熊夫利斯系统中，对称操作：非真旋转对称操作：非真旋转对称元素：非真旋转轴对称元素：非真旋转轴 复合操作复合操作：它是另外两个操作的乘积。：它是另外两个操作的乘积。对于特定的晶体或分子，组合成这种复合操作的每一个操作本对于特定的晶体或分子，组合成这种复合操作的每一个操作本身并不是对称操作，而两者的乘积却是对称操作。身并不是对称操作，而两者的乘积却是对称操作。（先旋转再反演）（先旋转再反演）（先旋转再反映）（先旋转再反映）22（4 4
23、）旋转反演）旋转反演）旋转反演）旋转反演在国际系统中，在国际系统中，对称操作：旋转反演（或旋转倒反）对称操作：旋转反演（或旋转倒反）对称元素：旋转反演轴（简称反轴）对称元素：旋转反演轴（简称反轴）符号：符号：操作进行时，先绕一直线旋转一定角度，然后再通过该直线上操作进行时，先绕一直线旋转一定角度，然后再通过该直线上某一点进行反演，或先反演再旋转。某一点进行反演，或先反演再旋转。整个操作进行中有一点不动。进行一次旋转反演操作只能使左整个操作进行中有一点不动。进行一次旋转反演操作只能使左右手重合。右手重合。阶次：轴次为偶数时，阶次阶次：轴次为偶数时，阶次= =轴次轴次 轴次为奇数时，阶次轴次为奇数
24、时，阶次= =轴次轴次2 2（先旋转再反演）（先旋转再反演）23（4 4）旋转反演）旋转反演）旋转反演）旋转反演对于原子的某种排列方式，如果其位置由这些圆圈描述，我对于原子的某种排列方式，如果其位置由这些圆圈描述，我们就可以说们就可以说 全部都是它的对称操作。全部都是它的对称操作。对称操作对称操作 隐含着隐含着2次旋转对称操作的。次旋转对称操作的。24（4 4）旋转反演）旋转反演）旋转反演）旋转反演复合操作复合操作 确实是一种新的对称操作，确实是一种新的对称操作，而组成这个复合操作的两个分操作却不是对称操作。而组成这个复合操作的两个分操作却不是对称操作。对于这种由手对于这种由手( (或圆圈或圆
25、圈) )组成的体系，组成的体系，既没有单独的既没有单独的4(C4(C4 4) )对称操作，对称操作，也没有单独的也没有单独的 (i)(i)对称操作。对称操作。25（4 4）旋转反演）旋转反演）旋转反演）旋转反演如果一个晶体或分子有这种原子排列方式，如果一个晶体或分子有这种原子排列方式，那么这个晶体或分子就有那么这个晶体或分子就有 的对称操作。的对称操作。26（4 4）旋转反演）旋转反演）旋转反演）旋转反演27（4 4）旋转反演）旋转反演）旋转反演）旋转反演28（4 4）非真旋转）非真旋转）非真旋转）非真旋转在熊夫利斯系统中，在熊夫利斯系统中，对称操作：非真旋转对称操作：非真旋转对称元素：非真旋
26、转轴对称元素：非真旋转轴 符号：符号：（先旋转再对垂直于旋转轴的平面进行反映）（先旋转再对垂直于旋转轴的平面进行反映）29（4 4）非真旋转）非真旋转）非真旋转）非真旋转按反时针顺序依次导出图示中的各个圆圈所对应的操作符号：按反时针顺序依次导出图示中的各个圆圈所对应的操作符号：30（4 4）非真旋转）非真旋转）非真旋转）非真旋转按反时针顺序依次导出图示中的各个圆圈所对应的操作符号：按反时针顺序依次导出图示中的各个圆圈所对应的操作符号：31（4 4）非真旋转）非真旋转）非真旋转）非真旋转按反时针顺序依次导出图示中的各个圆圈所对应的操作符号：按反时针顺序依次导出图示中的各个圆圈所对应的操作符号：3
27、2逆操作逆操作逆操作逆操作每一个对称操作的逆操作也一定是对称操作。逆操作逆操作：就是有另外一个操作，使两个操作之积为恒等操作。(如果A、B、C是对称操作，且AC=E为恒等操作，那么A就是C的逆操作，或者也可以说C是A的逆操作。)33逆操作逆操作逆操作逆操作用熊夫利斯符号列出每一种对称操作的逆操作：对称操作逆操作n为偶数，m为任何数n为奇数，m为奇数n为奇数，m为偶数的逆操作是其本身。34（5 5）平移）平移）平移）平移对称操作：平移对称操作：平移对称元素：点阵对称元素：点阵 阶次：阶次：平移只能使相等的图形重合，而不能使左右手重合。平移只能使相等的图形重合，而不能使左右手重合。 进行平移操作时
28、，每一个点都动。进行平移操作时，每一个点都动。35（6 6 6 6）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转对称操作：螺旋旋转对称操作：螺旋旋转对称元素：螺旋轴对称元素：螺旋轴 符号符号: R: Rq q （旋转（旋转+ +分数平移）分数平移）螺旋旋转整个操作中每一点都动了。螺旋旋转整个操作中每一点都动了。一共有一共有1111种螺旋轴：种螺旋轴：按国际符号，螺旋轴对称操作表示为按国际符号，螺旋轴对称操作表示为R Rq q，其中平移的分数单位其中平移的分数单位 是是q q除以旋转除以旋转R R的阶次的阶次n n。即：平移分数单位即：平移分数单位 ，n n是旋转轴是旋转轴R R的阶次。的阶次。36（
29、6 6 6 6）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转例如：例如：4 41 1 次螺旋轴，次螺旋轴，R=4,q=1, ,4R=4,q=1, ,4次轴的阶次为次轴的阶次为4 4。一个在一个在(x,y,z)(x,y,z)的位置的一般点，的位置的一般点，由标记为的由标记为的4 41 1螺旋轴作第一次螺旋操作，螺旋轴作第一次螺旋操作，变换到变换到(-y,x,1/4+z)(-y,x,1/4+z)。第二次螺旋操作第二次螺旋操作4 41 12 2又把这个点又把这个点变换到变换到(-x,-y,1/2+z)(-x,-y,1/2+z)。第三次螺旋操作第三次螺旋操作4 41 13 3又把这个点又把这个点变换到变换到
30、(y,-x,3/4+z)(y,-x,3/4+z)。最后，第四次螺旋操作最后，第四次螺旋操作4 41 14 4把这个一般点把这个一般点从投影看来转回到出发位置，从投影看来转回到出发位置，但沿但沿C C方向平移了一个单位的重复距离。方向平移了一个单位的重复距离。37（6 6 6 6）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转例如：41 次螺旋轴，R=4,q=1, ,4次轴的阶次为4。一个在(x,y,z)的位置的一般点，由标记为的41螺旋轴作第一次螺旋操作，变换到(-y,x,1/4+z)。第二次螺旋操作412又把这个点变换到(-x,-y,1/2+z)。第三次螺旋操作413又把这个点变换到(y,-x,3/
31、4+z)。最后，第四次螺旋操作414把这个一般点从投影看来转回到出发位置，但沿C方向平移了一个单位的重复距离。注意：作了n 次旋转操作之后，得到一倍或几倍单胞的平移。于是，每次的平移量是一个或n个单位重复距离的1/n倍。38（6 6 6 6）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转39（6 6 6 6）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转40（6 6 6 6）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转41（6 6 6 6）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转）螺旋旋转42（7 7 7 7）滑移反映）滑移反映）滑移反映）滑移反映对称操作：滑移反映 对称元素：滑移面 （反映加平移） 轴向滑移 a, b, c晶
32、体中有三种不同类型的滑移面： 对角线滑移 n “金刚石”滑移 d在所有滑移中，都是对平面进行反映后再平移单胞周期的某一分数距离。在这里，两步操作的先后次序也是不重要的。43（7 7 7 7）滑移反映）滑移反映）滑移反映）滑移反映轴向滑移轴向滑移轴向滑移轴向滑移 在轴向滑移中，平移矢量 平行于平行于反映面，大小是单胞轴长的一半。 按照进行平移的轴向，把轴向滑移分为a滑移，b滑移和c滑移。至于伴随这种平移的反映面，可以是ab, bc, ca中的某一个平面。确切地说，究竟哪一个平面包含在某个一定的轴向滑移之中，这与所考虑的空间群有关，通常由空间群符号可以弄清楚这一点。44（7 7 7 7）滑移反映）
33、滑移反映）滑移反映）滑移反映轴向滑移轴向滑移轴向滑移轴向滑移注意，轴向滑移中的反映面不可能与滑移方向垂直。注意，轴向滑移中的反映面不可能与滑移方向垂直。例如，反映面垂直于a轴的a滑移图形，实际是镜面操作。右图是反映面垂直于a轴的b滑移。同反映操作一样，滑移操作产生原来物体的对形体，所以在图中用加逗点的圆圈表示。45（7 7 7 7 7 7）滑移反映）滑移反映）滑移反映）滑移反映）滑移反映）滑移反映对角线滑移对角线滑移对角线滑移对角线滑移对角线滑移对角线滑移对角线滑移，通常称为n滑移。它包括两个或三个方向合成的滑移。一般说来，平移是(a+b)/2,(b+c)/2或(c+a)/2。但是，在四方晶系
34、和立方晶系中，n滑移也可能包括(a+b+c)/2的滑移。需要指出的是，在n滑移操作中，(以及在后面讨论的d滑移中)，滑移方向可能有一个垂直于反映面的分量。这种情况只在四方晶系和立方晶系中出现。右图是反映面垂直于c轴的n滑移。这里，点(x,y,z)平移了a/2+b/2后再对滑移面反映。46（7 7 7 7）滑移反映）滑移反映）滑移反映）滑移反映金刚石滑移金刚石滑移金刚石滑移金刚石滑移金刚石滑移或d滑移。在这种滑移中，平移是四方和立方晶系中的：47晶体中可能存在的全部对称操作晶体中可能存在的全部对称操作晶体中可能存在的全部对称操作晶体中可能存在的全部对称操作晶体中可能存在的全部对称操作晶体中可能存
35、在的全部对称操作对称元素符号对称操作阶次特点1、旋转轴n(Cn)旋转n完全相等图形重合，左右手不重合。2、反映面m()反映2左右手重合，一次反映不能使完全相等图形重合。两个等同图形中相应点连线垂直反映面。3、对称中心(i)反演2左右手重合，一次反演不能使完全相等图形重合。两个等同图形中相应点连线通过对称中心。4、点阵t(整数)平移 只能使相等图形重合，左右手不重合。48对称元素符号对称操作阶次特点5、反轴旋转反演非真旋转n(n偶数)2n(n奇数)只能使左右手重合。6、螺旋轴Rq螺旋旋转相等图形重合，左右手不重合。7、滑移面 a，b，c，n，d滑移反映左右手重合，相等图形不重合。总结：（1）1，
36、2，3，4是简单操作。5，6，7是复合操作。（2）1，2，3，5点式操作，至少有一点没动。4，6，7非点式操作，所有点都动，阶次为。（3）含反演、反映的，左右手重合。不含反演、反映的，相等图形重合。（4）对称轴：旋转轴，反轴，螺旋轴统称为对称轴。对称面：反映面，滑移面统称为对称面。49对称元素在晶体点阵中的取向要受到点阵的限制对称元素在晶体点阵中的取向要受到点阵的限制对称元素在晶体点阵中的取向要受到点阵的限制对称元素在晶体点阵中的取向要受到点阵的限制对称元素在晶体的点阵中的取向一定要受到点阵的限制。(即晶体的点阵结构使晶体的宏观对称性受到了限制。)这种限制有两方面的含义：在晶体的空间点阵结构中
37、，任何对称轴(包括旋转轴、螺旋轴 及反轴)都与一组直线点阵平行，除一重轴外，任何对称轴还 必与一组平面点阵垂直；任何对称面(包括反映面和滑移面)都 必与一组平面点阵平行，而与一组直线点阵垂直。 “晶体中对称轴(包括旋转轴、反轴和螺旋轴)的轴次n并不是 可以有任意多重，而是仅限于n=1,2,3,4,6.” 这一原理称为“晶体的对称性定律”。501.31.31.31.3对称元素在点阵中的取向对称元素在点阵中的取向对称元素在点阵中的取向对称元素在点阵中的取向现在将向量T1,T2和T3各分解为与三次轴垂直的部分a1,a2,a3和平行的部分c1,c2,c3,则a1+a2+a3=0，c1+c2+c3=3c
38、1，于是可知，T1+T2+T3=3c1根据平移群的性质，T1,T2,T3是平移群中的向量，则它们的和3c1也应是平移群中的向量；也就是说，在c1的方向上，每隔3c1就有一个阵点，即有一组直线点阵与三次轴平行。设在晶体结构中有一个3次旋转轴和一个属于平移群的向量T1，此向量与3次旋转轴既不平行也不垂直。这样，晶体结构的平移群中还应该包括向量T2和T3，它们和T1可以通过3次旋转轴的对称动作彼此重合。图 3次旋转轴与点阵的关系511.31.31.31.3对称元素在点阵中的取向对称元素在点阵中的取向对称元素在点阵中的取向对称元素在点阵中的取向现在将向量T T1,T T2和T T3各分解为与三次轴垂直
39、的部分a a1,a a2,a a3和平行的部分c c1,c c2,c c3, 则a a1+a a2+a a3=0,c c1+c c2+c c3=3c c1, 于是可知：T T1-T T2=a a1-a a2，T T2-T T3=a a2-a a3，根据平移群的封闭性，这两个向量也应该属于平移群。但这两个向量彼此不平行，而又都在与三次轴垂直的平面上。这两个向量就决定了有一组平面点阵与三次轴垂直。图 3次旋转轴与点阵的关系521.41.41.41.4晶体中对称轴和反轴的轴次晶体中对称轴和反轴的轴次晶体中对称轴和反轴的轴次晶体中对称轴和反轴的轴次由于晶体内部结构是以点阵结构为基础的，受到点阵结构的限
40、制，晶体中对称轴和反轴的轴次不能是任意的，下面将证明它只有1，2，3，4，6这五种轴次。53证明：证明：证明：证明：两个阵点A和A，相距一个平移单位t。将一定的旋转算符R和它的逆算符R-1分别作用在这两个点上，从而得到两个新的点B和B。(每个对称操作的逆操作也是对称操作)B和B也应该是阵点，因此， t=mt (m是整数) （1）另外，从图中得到 t=-2tcos+t （2）联立（1）（2）得cos=(1-m)/254证明：证明：证明：证明： t=mt (m是整数) （1） t=-2tcos+t （2）cos=(1-m)/2m是整数，那么1-m也是整数。在给定的R操作下，为了使结果具有封闭性，角
41、必定在0度和180度之间，即cos在+1和-1之间。|cos|1, |1-m|2, 1-m=-2,-1,0,1,2。55第二节第二节第二节第二节 晶体的宏观对称性及晶体的宏观对称性及晶体的宏观对称性及晶体的宏观对称性及32323232个点群个点群个点群个点群晶体在宏观观察中所表现的对称性称为宏观对称性。晶体宏观对称性就是指晶体外形的对称性。一般地讲就是指晶体的界限要素：晶面、晶棱、晶顶之间的对称关系。562.12.12.12.1晶体宏观对称元素晶体宏观对称元素晶体宏观对称元素晶体宏观对称元素与点式操作相应的对称元素称为宏观对称元素，它包括旋转轴，反映面，对称中心和反轴四类。独立存在的有8种：1
42、，2，3，4， 6，m，i， 。 572.22.22.22.2宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及32323232种对称类型种对称类型种对称类型种对称类型描述晶体宏观对称性的宏观对称元素独立的只有8种。一个具体的晶体外形所具有的宏观对称元素不外乎是这8种对称元素中的一种或者几种的组合。一、例子。（书P54）(a)1个3,3个m(b)3个2,3个m,i(c)1个4,4个2(d)3个2,3个m,I结论：不同外形具有相同的对称性。582.22.22.22.2宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及32323232种对
43、称类型种对称类型种对称类型种对称类型二、8种宏观对称元素存在多少种组合方式？（32种） 对称元素的一种组合，就对应着一种对称类型。对晶体外形而言组合要符合如下两个条件：对称元素之间是有相互作用的，两个对称元素相结合，必 须要产生出新的对称元素来。对称元素之间的组合不是任意的，它是遵守两种原则： A参加组合的对称元素必须至少相交于一点。 （相交于一点） B晶体是一种点阵结构，对称元素的组合结果，不容许产生 与点阵结构不相容的对称元素。例如产生5次或7次以上的 旋转轴的组合是不允许的。（保持点阵结构）592.22.22.22.2宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元
44、素的组合及32323232种对称类型种对称类型种对称类型种对称类型三、介绍三条组合定理： 1.轴与轴的组合a.一个n次轴及与之垂直的一个二次轴存在时，则必有n个二次轴存在，且都与此n次轴垂直。602.22.22.22.2宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及32323232种对称类型种对称类型种对称类型种对称类型三、介绍三条组合定理： 1.轴与轴的组合b.2次轴与2次轴相交，交角为a，则必产生一个n次轴，其基转 角为2a，且n次轴垂直于这两个2次轴。612.22.22.22.2宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组
45、合及32323232种对称类型种对称类型种对称类型种对称类型三、介绍三条组合定理： 2.面与轴的组合a.一个反映面包含着n次轴，则必有n个反映面都包含这n次轴，这些反映面的夹角为360度/2n。622.22.22.22.2宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及32323232种对称类型种对称类型种对称类型种对称类型三、介绍三条组合定理： 2.面与轴的组合b.2个反映面交角为a，则交线为一个n次轴，基转角为2a。632.22.22.22.2宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及32323232种对称类型种对称类型
46、种对称类型种对称类型三、介绍三条组合定理： 3.轴、面、心的组合偶次轴，与偶次轴相垂直的反映面，对称中心三者之中任何两者组合都产生第三者。642.22.22.22.2宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及32323232种对称类型种对称类型种对称类型种对称类型四、按照上述原则，将8种宏观对称要素进行组合，得到32种组合类型 即32种对称类型 即32个点群。32个结晶学点群：“结晶学”指n=1，2，3，4，6，无n=5及以上。另：8种宏观对称要素组合得32种组合方式，每一种组合表示晶体得一种对称类型，称为点群。“点”指所有对称元素有一个公共点，它在全部对
47、称操作过程中，始终保持不动。这个点被称为原点。所以点群只有32种。652.22.22.22.2宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及宏观对称元素的组合及32323232种对称类型种对称类型种对称类型种对称类型从宏观上看，晶体是有限的封闭的。所以描述晶体宏观对称性的点群不能包含平移对称的操作。(因为平移后就不能保证自身重合。)。从微观上看，晶体是无限的，为了描述晶体结构的对称性，应加上平移对称操作，这样便得到230种对称类型，称为空间群。32种点群：是晶体的宏观对称性。（外形）32种点群+平移=230种空间群 662.32.32.32.32.32.3点群按特征对称元素分类及
48、点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号1.特征对称元素与7个晶系定义：特征对称元素是晶体微观结构中的平行六面体晶胞的类型在整个晶体外型上的反映，是能够直接观察的宏观对称元素。根据特征对称元素及数目的不同，可将32个点群分为7类，正好对应于7类不同形状的晶胞，亦即7个晶系。表3.3，表3.4（书P57、58、59）所以，可在晶体的宏观对称元素中找出相应的特征对称元素，作为实际划分晶体的依据。在每个晶系包含的几个点群中，含有对称中心i
49、的那个点群，其对称性在该晶系中是最高的，可为这个晶系的代表。672.32.32.32.32.32.3点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号7个晶系按照对称性的高低可归并为3个晶族。即；高级晶族，指立方晶系；中级晶族，包括六方，四方和三方三个晶系；低级晶族，包括正交晶系，单斜晶系和三斜晶系。“对称性的高低”，实际上是指晶胞的“规则性的强弱”。把二重以上的对称轴叫做高次轴；具有不止一个高次轴的晶体，属于高次晶族
50、（或高级晶系），属于立方晶系。六方、四方、三方晶系，有一个共同特点，就是它们都有（而且也只有）一个高次轴。它们的规则性较弱，对称性较低于立方晶系，属于中级晶族（或统称为中级晶系）。至于另外三个晶系，统称为低级晶系。682.32.32.32.32.32.3点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号692.32.32.32.32.32.3点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点
51、群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号2.点群的表示符号点群的国际符号是按照一定的顺序排列的数字和字母，这种排列的先后顺序叫“位序”，大多记三位，也有二位或一位的。“位序”在不同晶系中代表不同方向，但都与正当晶胞的a,b,c三个向量形成确定的关系，其具体规定见表3.5（书P61）。“位序”上的数字或字母则表示与这个方向有关系的对称元素。在某一方向出现的旋转轴和反轴是指与这一方向平行的，而在某一方向出现的反映面则是与这一方向垂直的，如在某一方向同时出现旋转轴或反轴和反映面时，可用分数的
52、形式表示，即将对称轴记在分子的位置，而将反映面记在分母的位置上。例如：2/m702.32.32.32.32.32.3点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号71国际符号中国际符号中国际符号中国际符号中国际符号中国际符号中3 3 3 3 3 3个位置代表的方向个位置代表的方向个位置代表的方向个位置代表的方向个位置代表的方向个位置代表的方向晶系国际符号中位序相应的方向选择晶轴的方法立方a，a+b+c，a+b4个3
53、次轴4条体对角线，立方体的三边即为a，b，c六方c，a，2a+bc6，a、b2或m四方c，a，a+bc4，a、b2或m三方c，a注：三方晶系中是以六方点阵的a，b，c来确定c3，a、b2或ma+b+c，a-b3次轴体对角线，平行六面体的三边即为a，b，c72国际符号中国际符号中国际符号中国际符号中国际符号中国际符号中3 3 3 3 3 3个位置代表的方向个位置代表的方向个位置代表的方向个位置代表的方向个位置代表的方向个位置代表的方向晶系国际符号中位序相应的方向选择晶轴的方法正交c，a，ba、b、c2或m单斜bb2或m，a a、c cb b轴的晶棱三斜aa，b，c选三个不共面的晶棱73三方晶系和
54、六方晶系三方晶系和六方晶系三方晶系和六方晶系由于六方晶系和三方晶系都可以划出六方晶胞的点阵单位，它既满足三方晶系的对称性，也满足六方晶系的对称性。不同的称呼是由于历史原因造成的。六方晶系按六方点阵单位表达，均为素单位。三方晶系按六方晶系表达时，一部分是素单位，另一部分为包含3个阵点的复单位，右图是同一点阵的两种划分，三方晶系的这两种点阵符号在空间群一直沿用着。742.32.32.32.32.32.3点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特
55、征对称元素分类及点群的表示符号点群的熊氏符号： （书P60）符号符号的意义点群数目Cn一个n次旋转轴C1C2C3C4C65Ci一个对称中心Ci1Cs一个对称面Cs1C3i一个3次旋转轴和一个对称中心C3i1Cnh除n次轴外还有通过该轴的水平对称面（h表示水平的对称面）C2hC3hC4hC6h（C1h=Cs）4752.32.32.32.32.32.3点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号符号符号的意义点群数目
56、Cnv除n次轴外还有通过该轴的垂直对称面（v表示垂直的对称面）C2vC3vC4vC6v4Dn有n次轴及n个与之垂直的2次轴D2D3D4D64Dnh除Dn外还有通过n个2次轴的水平对称面D2hD3hD4hD6h4Dnd除Dn外还有一个平分两个2次轴夹角的对称面（d表示垂直的对称面，但它位于对角线位置上，亦即位于相邻的两个水平2次轴交角的等分线位置上）D2dD3d2762.32.32.32.32.32.3点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按
57、特征对称元素分类及点群的表示符号符号符号的意义点群数目Snn次反轴S4S2=CiS3=C3hS6=C3i1T4个3次轴和3个2次轴T1Th除T外还有垂直于2次轴的水平对称面Th1Td除T外还有一个平分两个2次轴夹角的对称面Td1O3个4次轴，6个2次轴，4个3次轴O1Oh除O外还有一个垂直于2次轴的水平对称面Oh1772.32.32.32.32.32.3点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号表述点群时，一般
58、将两种符号同时标出，以互相补充理解，熊夫利斯符号在前，国际符号在后。例如，Ohm3m值得注意的是晶体的宏观对称性和组成晶族晶体的分子对称性是两个不同层次的对称性问题，两者不一定必须一致。例如，晶态苯的正交结构为D2h群， 而苯分子的正六边形结构则为D6h群，两者显然不同。782.32.32.32.32.32.3点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号点群按特征对称元素分类及点群的表示符号总结：7个晶系+有心化14种布拉菲格子（即14种点阵类型）8
59、个基本对称操作+14种布拉菲点阵32个点群（即点操作）（即空间点阵）基本对称操作+点阵a,b,c,的限制=定为7个晶系32个点群+平移对称操作230种空间群79第三节第三节第三节第三节第三节第三节 晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及230230230个空间群个空间群个空间群个空间群个空间群个空间群 a.一方面，由于晶体外形的对称性是其内部点阵结构（微观）对称性的宏观表现，所以晶体所有的宏观对称元素也应该是宏观对称元素也应该是 晶体的微观对称元素晶体的微观对称元素。1.晶体的微观对称元素b.另一方面，与有限的晶体外形不同，
60、空间点阵是无限图形，存在平移这样的空间对称操作，因此，晶体微观上还存在与空间对称操作相应的一些对称元素。这类对称元素是有限大小的图形中不可能有的。所以，晶体的点阵结构使晶体的微观对称性在宏观对称元素基础上还增加了下述三种类型增加了下述三种类型：平移操作平移操作点阵点阵， 螺旋旋转操作螺旋旋转操作螺旋轴螺旋轴， 滑移反映操作滑移反映操作滑移面滑移面。晶体的微观对称性就是晶体内部点阵结构的对称性。晶体的微观对称性就是晶体内部点阵结构的对称性。80第三节第三节第三节第三节第三节第三节 晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及2302
61、30230个空间群个空间群个空间群个空间群个空间群个空间群2.晶体的微观对称类型与230个空间群 如前所述，晶体的微观对称性是晶体点阵结构的对称性晶体的微观对称性是晶体点阵结构的对称性，它与宏观对称性的根本差别是在宏观对称操作的基础上增加了点阵结构特有的平移操作，从而使晶体的微观对称性不再具有不再具有点对称性质点对称性质。 如果在表示晶体宏观对称性的32个点群中增加平移操作个点群中增加平移操作，则点对称性便失去使其不再是点群，而成为空间群而成为空间群；同时，平移操作的加入可能使点群中的一个旋转轴变为好几个轴性对称一个旋转轴变为好几个轴性对称元素，镜面亦然。元素，镜面亦然。81第三节第三节第三节
62、第三节第三节第三节 晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及230230230个空间群个空间群个空间群个空间群个空间群个空间群 表示空间群的国际符号与点群的国际符号相似，只是在位序前增加了点阵形式在位序前增加了点阵形式。基于230个空间群是在32个点群的基础上增加了平移操作而派生出的，故而属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间群。例如点群为C2h的各种晶体可分属下列6个不同的空间群。这种群元素的增加必然引起群的数目的增加。正是这个原因，在将晶体的微观对称元素进行组合时，不同的组合情况不要遗漏，也不要重复，可得到230种不同
63、的微观对种不同的微观对称元素系列称元素系列，与这些微观对称元素系列对应的对应的230个空间群个空间群也就是晶体可能具有的微观对称类型（即可能有的空间点也就是晶体可能具有的微观对称类型（即可能有的空间点阵结构类型）阵结构类型）。82点群为点群为C C2h2h的各种晶体可分属下列的各种晶体可分属下列6 6个不同的空间群个不同的空间群空间群点阵类型：简单格子n=1,2,3,4,5,6n表示属于C2h点群的第n空间群21次螺旋轴c滑移点阵类型：底心格子C2h点群属于单斜晶系，b轴为主轴，则b2且bm点群宏观反映面在微观可能是反映面也可能是滑移面；宏观旋转轴在微观可能是旋转轴也可能是螺旋轴。83第三节第
64、三节第三节第三节第三节第三节 晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及晶体的微观对称性及230230230个空间群个空间群个空间群个空间群个空间群个空间群空间群在具体测定晶体结构，或从测得的晶体结构区分不同的晶体物质方面有着重要的意义，它是x-ray晶体结构分析的基础。事实上，已经测知的晶体结构的类型远没有230种，大部分晶体的结构仅属于其中的100多种。晶体结构中的对称性指晶体的微观对称性。32个点群+平移230个空间群230种空间群总结了晶体内部结构所有可能的类型。即：晶体结构的对称性不能超出230种空间群的范围。而由晶体结构微观对称性决定
65、晶体的外形和各种宏观性质的对称性，不能超出32个点群范围。84晶体的对称性晶体的对称性晶体的对称性晶体7种形状7种晶体14种空间点阵230个空间群32个点群点阵结构内部结构宏观对称性八种对称元素组合按平行六面体形状划分晶格型式按特征对称元素划分微观对称元素组合对应关系素、复单位区分85基本概念基本概念基本概念（1）晶体，准晶体，玻璃体（2）点阵，阵点 （3）平移群 （4）直线点阵，平面点阵，空间点阵（5）素向量，复向量，素单位，复单位（6）平面格子，平面正当格子（7）空间格子（晶格），空间正当格子（7种形状，14种型式）（8）结构单元 （9）晶胞，素晶胞，复晶胞（10）晶胞参数，原子坐标 （1
66、1）晶面，晶轴，晶棱（12）晶面指数，晶向指数（13）晶体宏观对称性，宏观对称要素， 晶体对称性定律，宏观对称类型（14）微观对称性，微观对称要素，微观对称类型（15）熊夫利斯符号，国际符号（说明符号C2h5的含义)86习题习题习题1 1 11、分别写出晶体中可能存在的独立的宏观对称元素和微观对称元素，并说明它们之间的关系。87习题习题习题1 1 1答：宏观对称元素有：1，2，3，4，6，i，m，。微观对称元素有：1，2，21，3，31，32，4，41，42，43，6，61，62，63，64，65，i，m，a，b，c，n，d，点阵。微观对称元素比宏观对称元素多相应轴次的螺旋轴和相同方向的滑移面
67、，而且通过平移操作其数目是无限的。88习题习题习题2 2 22、晶体不可能属于的点群是_。A.C6vB.Oh C.D5hD.Td答：C89习题习题习题3 3 33.根据宏观对称元素知道某晶体属D2d点群，由此可判断此晶体属于什么晶系？A.四方 B.立方 C.正交 D.单斜答：A90习题习题习题4 4 44.国际符号 相对应的点群的熊夫利斯符号是_。 A.D3h B.C6v C.Oh D.D4h答：A91习题习题习题5 5 55、层状石墨分子中C-C键长为142pm，根据它的结构画出层状石墨分子的原子分布图，画出二维六方素晶胞，用对称元 素的图示记号标明晶胞中存在的全部六重轴，并计算每一 晶胞的
68、面积、晶胞中包含的C原子数和C-C键个数。92习题习题习题5 5 5(a)石墨层状分子结构的原子分布图； 由图(a)可见，在层状石墨分子结构中，六元环中心具有六重轴对称性，而每个C原子则具有六重反轴对称性。晶胞边长a和b为：a=b=2*142pm*cos30=246pm晶胞面积为：a*b*sin60=5.24*104pm2晶胞中含2个C原子，3个C-C键。(b)晶胞；(c)全部六重轴；93习题习题习题6 6 66、画出层状石墨分子的点阵素单位，及石墨晶体的空间点阵素单位，分别说明它们的结构基元。94习题习题习题6 6 6答：层状石墨分子的 (a)晶胞结构； (b)点阵素单位， 结构基元中含2个
69、C原子。 石墨晶体的(c)晶胞结构；(d)点阵单位，结构基元中含4个C原子。95习题习题习题7 7 77、晶体宏观外形中的对称元素可有,四种类型；晶体微观结构中的对称元素可有,七种类型；晶体中对称轴的轴次（n）受晶体点阵结构的制约，仅限于n=；晶体宏观外形中的对称元素进行一切可能的组合，可得个晶体学点群；分属于个晶系，这些晶系总共有种空间点阵型式，晶体微观结构中的对称元素组合可得个空间群。答：旋转轴，反映面，对称中心，反轴；旋转轴，反映面，对称中心，反轴，点阵，螺旋轴，滑移面；n=1,2,3,4,6；32个；七个晶系；14种空间点阵型式；230个空间群。96习题习题习题8 8 88、从某晶体中
70、找到C3,3C2,h和3d等对称元素，则该晶体所属的晶系和点群各是什么？97习题习题习题8 8 88、从某晶体中找到C3,3C2,h和3d等对称元素，则该晶体所属的晶系和点群各是什么？答：六方晶系，因为。点群是D3h。评注：D3h和D3d两种点群的判别容易混淆，注意，这两个点群最基本的差别是D3h有h，它垂直于C3轴，而D3d没有h。而且由于，所以D3h和C3h都属于六方晶系，而D3d则为三方晶系。98习题习题习题9 9 9有一晶体属于单斜晶系，空间群记号为说明该记号中各符号的意义。画出空间群对称元素的分布，推出晶胞中和原子（0.15，0.25，0.10）属于同一等同点系的其它3个原子的坐标，并作图表示。（提示：C2h的全部对称元素为2，m，i，1）99习题习题习题9 9 9C2h为点群的熊夫利斯符号， 为该点群的第5号空间群，“”是空间群的国际符号。P为简单点阵，对单斜晶系，平行b轴有21螺旋轴，垂直b轴有c滑移面。该空间群对称元素分布如下：1（0.15，0.25，0.10）； 2（0.85，0.75，0.40）；3（0.15，0.25，0.60）；4（0.85，0.75，0.90）。b轴从纸面向上100习题习题习题101010
