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1、第二节：极第二节：极 限限n一、极限的概念一、极限的概念n二、无穷小量二、无穷小量n三、极限的四则运算三、极限的四则运算n四、两个重要极限四、两个重要极限n五、无穷小量的比较五、无穷小量的比较本节主要内容有本节主要内容有：1、数列的极限数列的极限定义：定义：对于数列对于数列 an,当当n n无限增大时无限增大时, ,若若a an n无限接无限接近于近于一个确定的常数一个确定的常数A A, ,则称当则称当n n趋于无穷大时趋于无穷大时, ,an收收敛于敛于A(或或极限极限(limit)为为A)为为, , 记为记为例如例如:否则称该数列否则称该数列发散发散.、函数的极限、函数的极限(1)(1)当当
2、 x x 时时, ,函数函数f(x)f(x)的极限的极限; ;(2)(2)当当 x x + + 和和 x x - - 时时, ,函数函数f(x)f(x)的极限的极限; ;(3)(3)当当 x x x x0 0时时, ,函数函数f(x)f(x)的极限的极限; ;(4)(4)当当 x x x x0 0+ +和和x x x x0 0时时, ,函数函数f(x)f(x)的极限的极限. .当当 x x0时时定义定义：设函数：设函数( (x x) )在点在点x x0 0的某邻域内有定义的某邻域内有定义( (x x0 0处处可以没有定义可以没有定义),),若当自变量若当自变量x x以以任意方式任意方式无限趋近
3、无限趋近于定值于定值x x0 0时时, ,若函数若函数( (x x) )无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数A A，则，则A A称为函数称为函数( (x x) )当当x-x- x x0 0时的极限时的极限, ,记为记为 当当 x x0+和和x x0时时定义定义：对于：对于函数函数y=fy=f( (x x),),若自变量若自变量x x仅从仅从x x0 0的左侧的左侧 ( (或仅从或仅从x x0 0的右侧的右侧) )趋近于定值趋近于定值x x0 0时时, ,函数函数f f( (x x) )趋趋近于常数近于常数A,A,则称则称A A为函数为函数f(x)f(x)当当x x x x0 0 时的左极时的左
4、极限限( (右极限右极限),),记作记作 例子例子当当 x 时时 设函数设函数f(x)在在x的绝对值无限增大时的绝对值无限增大时( (记作记作x ),),如果函数如果函数f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数A , ,则称则称A为函数为函数f(x)在在x 时的极限时的极限, ,记为记为当当 x + 或或 x - 时时 若仅当自变量若仅当自变量x x沿沿x x轴正方向无限增大或沿轴正方向无限增大或沿x x轴轴负方向绝对值无限增大时（假设函数有定义）负方向绝对值无限增大时（假设函数有定义）, ,函数函数f(x)f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数A,A,则称则称A A为函数为函数f(
5、x)f(x)的单侧极限的单侧极限, ,记为记为、函数、函数f(x)极限存在的充要条件极限存在的充要条件例题例题4.极限存在的判断准则极限存在的判断准则注意注意：法则：法则1 1对于数列来说也成立对于数列来说也成立. .*单调有界法则单调有界法则注意：准则注意：准则2 2对于函数来说也成立对于函数来说也成立. .例例1616：求极限求极限例例1717：求极限求极限适当放缩适当放缩二、无穷小与无穷大二、无穷小与无穷大1. 1. 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 2. 2. 无穷小量的性质无穷小量的性质主要内容主要内容1.1.无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大的定义注意！2.无穷小量定理无穷小量
6、定理3.无穷小的性质无穷小的性质性质性质1 1：有限个无穷小的代数和或乘积仍是无穷有限个无穷小的代数和或乘积仍是无穷小。小。性质性质2 2：有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小小 ，即：，即：例例1919：求极限求极限无穷小无穷小的性质的性质4.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系5、无穷小量的比较、无穷小量的比较命题：命题：例例2121：已知：已知定理定理1-21-2 极限的四则运算法则极限的四则运算法则注意注意对于两个数列也同样成立对于两个数列也同样成立三、极限的四则运算三、极限的四则运算极限的计算极限的计算(1)分母的极限不为分母的极限不为0 0，可利用商的极限法则可利用商的极限法则分母的极限为分母的极限为0 0，不，不能用商的法则能用商的法则极限的计算极限的计算(2)分子、分母的极限都分子、分母的极限都不存在，利用无穷大不存在，利用无穷大与无穷小的关系与无穷小的关系从以上例子可以得出如下求分式极限的方法：从以上例子可以得出如下求分式极限的方法：极限的计算极限的计算(3)分子、分母的极限分别为0，不能用商的极限法则，可通过有理化变形。不能直接使用乘积的法则，可通过有理化变形例例2828：已知：已知解：由题设不妨令解：由题设不妨令四、两类重要极限四、两类重要极限主要内容主要内容X1思考题思考题:例题例题
