《高等数学课件：4-4函数的极值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：4-4函数的极值（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 4.4 函数的极值 如果f(x0)是函数f(x)在x0的某邻域内的最大值 则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值 如果f(x0)是函数f(x)在x0的某邻域内的最小值 则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值 x1x2x3x4x5首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定义41(极值的概念) 设函数f(x)在点x0的一个邻域(x0 x0)内有定义 如果对任意的x(x0 x0)(x0 x0) 总有f(x)f(x0) 则称f(x0)为函数f(x)的极大值 x0称为函数f(x)的极大值点 如果对任意的x(x0 x0)(x0 x0) 总有f
2、(x)f(x0) 则称f(x0)为函数f(x)的极小值 x0称为函数f(x)的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点 观察与思考 在什么样的点处可能取得极值? x1x2x3x4x5首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理44(取得极值的必要条件) 如 果 函 数 f(x)在 点 x0处 有 极 值 且 f (x0)存 在 则 f (x0)0 说明 函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点 驻点或导数不存在的点都是可能的极值点 驻点 使f (x)0的点称为函数f(x)的驻点 观察与思考 观察曲线的升降与极值之间的关系x1x2x3x4x5c首页
3、上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理45(第一充分条件) 设函数f(x)在点x0的某邻域(x0 x0)内连续并且可导(但f (x0)可以不存在) (1)如果当x(x0 x0)时f (x)0 而当x(x0 x0)时f (x)0 则函数f(x)在x0处取得极大值f(x0) (2)如果当x(x0 x0)时f (x)0 而当x(x0 x0)时f (x)0 则函数f(x)在x0处取得极小值f(x0) (3)如果当x(x0 x0)和x(x0 x0)时 f (x)不变号 则函数f(x)在x0处无极值 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 例1 求f(x)(x1)2(x1)3的单
4、调增减区间和极值 f (x)2(x1)(x1)3+3(x1)2(x1)2 列表判断 f(x) f (x)x( 1)11(1 )0000非极值 0极小值(x1)(x1)2(5x1)首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 令f (x) 0 得驻点x1 不可导点为x0 列表判断 f(x) f (x)无00极大值x( 0) 01(1 )(0 1) 1)首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理46 (第二充分条件) 设f (x0)0 f (x0)存在 (1)如果f (x0)0 则f(x0)为f(x)的极小值 (2)如果f (x0)0 则f(x0)为f(x)的极大值 说明 定理
5、表明 如果函数f(x)在驻点x0处的二阶导数f (x0)0 那么该点x0一定是极值点 并且可以按二阶导数f (x0)的符号来判定f(x0)是极大值还是极小值 但当f (x0)0时 定理失效 证证: (1)存在由第一判别法知(2) 类似可证 .首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 定理46 (第二充分条件) 设f (x0)0 f (x0)存在 (1)如果f (x0)0 则f(x0)为f(x)的极小值 (2)如果f (x0)0 则f(x0)为f(x)的极大值 解 例3 求函数f(x)x33x的极值 f (x)3x233(x1)(x1) f (x)6x 令f (x)0得驻点x1 x1 因为f (1)60 所以f(1)2为极大值 因为f (1)60 所以f(1)2为极小值 作业: p.196 20(2)(3);
