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1、一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第七章 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解故原方程的通解即即作变换两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 的解法：的解法：（1）先求对应齐次
2、方程的解）先求对应齐次方程的解（2）常数变易法，然后代入原方程）常数变易法，然后代入原方程（有个简便方法，不用一步步计算，可以直接写出来，设代入方程，得）例例1. 解方程 解解: 先解即积分得即用常数变易法常数变易法求通解. 令代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 即例例2. 求求 的通解的通解例例3. 求求 的通解的通解例例4. 设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解解: 1) 先解定解问题利用通解公式, 得利用得故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用定解条件得因此有3) 原问题的解为机动 目录 上页
3、下页 返回 结束 二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得代回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(一阶线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求方程的通解.解解: 令则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 一阶线性方程方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2. 伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考判别下列方程类型:提示提示: 可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束
