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1、二二.一维一维 连续型随机变量和密度函数的概念连续型随机变量和密度函数的概念例例1 1 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该盘的面积成正比，并设同心圆盘上的点的概率与该盘的面积成正比，并设射击都能中靶。以射击都能中靶。以X表示弹着点与圆心的距离，表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量试求随机变量X的分布函数的分布函数解：（解：（1）由题意知）由题意知当当x2时时故随机变量故随机变量X的分布函数为的分布函数为易知易知F(x)为连续函数，对分布函数求导数得为连续函数，对分布函数求导数得且容易看出有下式成立且容易看出有下式成立在这种
2、情况我们称在这种情况我们称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，下面给出一般定义下面给出一般定义即即F(x)恰是非负连续函数恰是非负连续函数f(x)在区间在区间 上的积分上的积分连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 定定义义3.2 设设随随机机变变量量 X 的的分分布布函函数数为为F(x), 如如果果存存在在一一个个非非负负可可积积函函数数 f(x), 使使对对任任意意的的实实数数x，均有均有则则称称X是是连连续续型型随随机机变变量量，称称 f(x)是是X的的概概率率密密度度或或密密度度函函数数，简简称称密密度度。连连续续型型随随机机变变量量X的的分分布布函函数数F(x)和和密
3、密度度函函数数 f(x) 统统称称为为X的的概概率率分分布布，简简称称X的分布。的分布。 概率密度函数的性质概率密度函数的性质（1） （2） 这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.v. X的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件. f (x)xo面积为面积为1(3) P a 0且较小时且较小时,则有则有 Px X x+ x = F(x+ x)-F(x) =密度函数密度函数 f (x)在某点在某点 x处处 的值，的值，反映了反映了 X 在在x附近附近单位区间内取值的概率的大小。反映了概率在单位区间内取值的概率的大小。反映了概率在x点的点的密集程度。
4、密集程度。f(x)较大，说明了较大，说明了X在在x点的概率密集程度点的概率密集程度较大，随机变量在较大，随机变量在x点的附近取值的概率较大；反之，点的附近取值的概率较大；反之，若若f(x)较小，说明较小，说明X在在x点的密集程度较低，随机变量点的密集程度较低，随机变量在在x点附近取值的概率较小。点附近取值的概率较小。(6) PX=x0=F(x0) F(x0 0) =0对连续型对连续型 r.v X,有有进一步有进一步有如如注意：注意： 是一个概率为是一个概率为0的事件，的事件， 而不一定是不可能事件而不一定是不可能事件例例2 设随机变量设随机变量X 的概率密度为的概率密度为求求(1)(1)常数常
5、数k； （2 2）X 的分布函数；的分布函数； （3 3）P1 X 7/2.解：解：（1）由）由密度函数的性质密度函数的性质（2）当当x4时时，故随机变量故随机变量X的分布函数为的分布函数为（3）例例3 3 设连续型随机变量设连续型随机变量X 的分布函数为的分布函数为求求 （1）常数）常数C值；值； （2）X 取值于（取值于（0.3，0.7）内的概率；）内的概率； （3）X 的密度函数的表达式的密度函数的表达式。解：（解：（1）由连续性知：）由连续性知：即即 C=1（2）（3）由分布函数与密度函数的关系知由分布函数与密度函数的关系知三三. . 几种常几种常见的分布的分布 (1) 若随机变量若随
6、机变量X 的概率密度为的概率密度为 1. 均匀分布（均匀分布（Uniform） 则称则称 X 在在a, b上服从均匀分布，记为上服从均匀分布，记为XUa, b（3 3）对于）对于a c 00 ，则称，则称X 服从参数为服从参数为 的指数的指数分布，相应的分布函数为分布，相应的分布函数为 指数分布的一个最常见的应用是使用它来做各种寿命指数分布的一个最常见的应用是使用它来做各种寿命分布的近似。例如：电子元件的寿命，动物的寿命分布的近似。例如：电子元件的寿命，动物的寿命都可以近似的用指数分布来描述。都可以近似的用指数分布来描述。服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X有下面的性质有下面的性质对
7、任意的对任意的s,t这个性质称为指数分布的这个性质称为指数分布的“永远年青性永远年青性”或或“无记忆性无记忆性”比如说；某元件的寿命服从指数分布，那么已知它比如说；某元件的寿命服从指数分布，那么已知它使用了使用了s小时无损坏的条件下，在使用小时无损坏的条件下，在使用t小时以上的小时以上的概率，和从一开始使用时算起，它能使用概率，和从一开始使用时算起，它能使用t小时以上小时以上的概率是一样的。指数分布描述了无老化时的寿命的概率是一样的。指数分布描述了无老化时的寿命分布。分布。指数分布的性质：指数分布的性质： 无记忆性无记忆性 s 0，t 0：例例例例4 4 某种晶体管的寿命服从参数为某种晶体管的
8、寿命服从参数为某种晶体管的寿命服从参数为某种晶体管的寿命服从参数为=1/1000=1/1000=1/1000=1/1000的的的的指数分布（单位：小时），电子仪器装有指数分布（单位：小时），电子仪器装有指数分布（单位：小时），电子仪器装有指数分布（单位：小时），电子仪器装有5 5 5 5个个个个这样的晶体管，每个晶体管是否损坏相互独立，这样的晶体管，每个晶体管是否损坏相互独立，这样的晶体管，每个晶体管是否损坏相互独立，这样的晶体管，每个晶体管是否损坏相互独立，试求此仪器在试求此仪器在试求此仪器在试求此仪器在1000100010001000小时内恰好有两个晶体管损小时内恰好有两个晶体管损小时内恰
9、好有两个晶体管损小时内恰好有两个晶体管损坏的概率。坏的概率。坏的概率。坏的概率。但但“无老化无老化”是不可能的，因而只是一种近似，是不可能的，因而只是一种近似，对于一些寿命长的元件，在初期阶段老化现对于一些寿命长的元件，在初期阶段老化现象很小，这一阶段指数分布比较确切地描述象很小，这一阶段指数分布比较确切地描述了其寿命分布情况。比如人的寿命，一般，了其寿命分布情况。比如人的寿命，一般，在在5050岁以前，由于生理的老化而死亡的因素岁以前，由于生理的老化而死亡的因素是次要的。若排除意外因素的影响，人的寿是次要的。若排除意外因素的影响，人的寿命在这个阶段接近指数分布命在这个阶段接近指数分布若考虑老
10、化，则若考虑老化，则X服从威布尔分布服从威布尔分布 4. 正态分布的定义正态分布的定义 若若r.v X 的的概率密度为概率密度为记作记作 其中其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， 0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. X 的分布函数为的分布函数为 a. . 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. .f (+ +c)=f (- -c)4. 正态分布正态分布密度函数图形的特点密度函数图形的特点b. b. 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心
11、位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. .称为位置参数称为位置参数称为形状参数称为形状参数c. c. 在在x=处达到最大值处达到最大值: :d. d. 这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来向左右伸展时，越来越贴近越贴近x轴。即轴。即f (x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。 当当x 时，时，f(x) 0, ,e.e.为为f (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x = 年降雨量、同龄人身高、在正常条件下年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标各种产品的质量指标如零件的尺寸；纤如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗维的强度和张力、
12、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布正态分布. . 设设X ,X的分布函数是的分布函数是5. 5. 正态分布的分布函数正态分布的分布函数6. . 标准正态分布标准正态分布的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：注意：注意：(0)=0.5 ( x)=1 (x) 若若 XN(0, 1)7. . 正态分布的计算正态分布的计算 对任意的实数对任意的实数x1， x2 (x1
13、x2)，有，有例例5设设 X N( , 2), 求求 P( |X- | 8.562, 故故n=9一般地对于一般地对于X N(0, 1)， 如如 z 满足：满足：PX z = ，0 1则称则称 z 为标准正态分布的为标准正态分布的上上 分位点分位点。z PX z =1，几个常见的标准正态分布的上侧几个常见的标准正态分布的上侧几个常见的标准正态分布的上侧几个常见的标准正态分布的上侧 分位点分位点分位点分位点: : 高斯与正态分布高斯与正态分布高斯与正态分布高斯与正态分布 高斯是一个伟大的数学家高斯是一个伟大的数学家高斯是一个伟大的数学家高斯是一个伟大的数学家, ,一生中的贡献不一生中的贡献不一生中的贡献不一生中的贡献不胜枚举胜枚举胜枚举胜枚举, ,前德国的前德国的前德国的前德国的1010马克纸币上印有高斯的马克纸币上印有高斯的马克纸币上印有高斯的马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线头像和正态分布曲线头像和正态分布曲线头像和正态分布曲线, ,它传递了一个重要信息它传递了一个重要信息它传递了一个重要信息它传递了一个重要信息, ,在高斯的科学贡献中在高斯的科学贡献中在高斯的科学贡献中在高斯的科学贡献中, ,对人类文明影响最大的对人类文明影响最大的对人类文明影响最大的对人类文明影响最大的, ,是正态分布。是正态分布。是正态分布。是正态分布。
