随机数学课件：第1章 概率统计序言

《随机数学课件：第1章 概率统计序言》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机数学课件：第1章 概率统计序言（273页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、概率统计序言概率统计序言 在我们所生活的世界上， 充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化落，到大自然的千变万化，我们无时，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性无刻不面临着不确定性和随机性. 从亚里士多德时代开始，哲学家们从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人

2、们理解能力范围的东西越了人们理解能力范围的东西. . 他们没他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性去测量不定性. . 将将不定性数量化不定性数量化，来尝试回答这些，来尝试回答这些问题，是直到问题，是直到2020世纪初叶才开始的世纪初叶才开始的. . 还还不能说这个努力已经十分成功了，但就不能说这个努力已经十分成功了，但就是那些已得到的成果，已经给人类活动是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命的一切领域带来了一场革命. . 这场革命为研究新的设想，发展自这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道然科学知识，

3、繁荣人类生活，开拓了道路路. . 而且也改变了我们的思维方法，使而且也改变了我们的思维方法，使我们能大胆探索自然的奥秘我们能大胆探索自然的奥秘. . 下面我们就来开始一门下面我们就来开始一门“将不定将不定性数量化性数量化”的的课程的学习，这就是课程的学习，这就是 1654年年,一个名叫一个名叫梅累的骑士就梅累的骑士就“两个赌徒约两个赌徒约定赌若干局定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若在一赌徒若在一赌徒胜胜 a 局局 ( ac ),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止赌博时便终止赌博,问应如何分赌本问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与帕斯

4、卡与费马通信讨论这一问题费马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同建立了概年共同建立了概率论的第一个基本概念率论的第一个基本概念数学期望数学期望.概率论的诞生及应用概率论的诞生及应用1. 概率论的诞生概率论的诞生2. 概率论的应用概率论的应用 概率论是数学的一个分支概率论是数学的一个分支，它研究随机它研究随机现象的数量规律现象的数量规律， 概率论的概率论的应用几乎遍及应用几乎遍及所有的科学领域所有的科学领域，例如天气预报例如天气预报、 地震预地震预报报、产品的抽样调查产品的抽样调查，在通讯工程中概率论在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等分辨率等等.概

5、率论的研究对象概率论的研究对象 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性二、二、 随机试验和随机事件随机试验和随机事件一、一、 必然现象和必然现象和随机现象随机现象 第一节第一节 随机试验随机试验 随机事件随机事件三、三、 随机事件的关系及运算随机事件的关系及运算四、四、 小结小结在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳从东边升起太阳从东边升起”,1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象一、

6、必然现象和随机现象一、必然现象和随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 “在相同条件下在相同条件下掷一枚均匀的硬币掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.2. 随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果结果有可能为结果有可能为:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷

7、一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”. 实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果: “弹落点可能会不同弹落点可能会不同”.实例实例4 “从一批含有正品和次品的产品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品中任意抽取一个产品”.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例5 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命” 可长可可长可短短.随机现象的分类随机现象的分类个别随机现象个别随机现象：原则上不能在相同条件下重：原则上不能在相同条件下重 复出现（例复出现（例5）大量性随机现象大量

8、性随机现象：在相同条件下可以重复出：在相同条件下可以重复出 现（例现（例4）随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果2. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶然性然性, , 但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中, , 这种结果的这种结果的出现具有一定的出现具有一定的统计规律性统计规律性 。 概率论就是研究概率论就是研究随机现象及其统计规律的一门数学学科随机现象及其统计规律的一门数学学科. .随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象

9、如何来研究随机现象?说明说明1. 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系联系 , , 其数量关系无法用函数的形式加以描述其数量关系无法用函数的形式加以描述. . 1.试验试验在相同的条件下在相同的条件下可以可以重复重复地进行地进行;2. 每次试验的每次试验的可能结果不止一个可能结果不止一个,并且能事先并且能事先 明确试验的所有可能结果明确试验的所有可能结果;3. 进行一次试验之前进行一次试验之前不能确切不能确切知道哪一个结果知道哪一个结果 会出现会出现.定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试

10、验随机试验.二、随机试验和随机事件二、随机试验和随机事件说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的也包括对客观事物进行的 “调查调查”、“观察观察”、或、或 “测量测量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反面出现的情况”.分析分析 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;1.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”.2.“从一

11、批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面(H)，反面反面(T);(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. . 故为随机试验故为随机试验.3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人车人 数数.4. 考察某地区考察某地区 10 月份的平均气温月份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取一只从一批灯泡中任取一只,测试其寿命测试其寿命. 样本空间样本空间

12、 样本点样本点定义定义1.1 1.1 对于随机试验对于随机试验E E，它的每一个可，它的每一个可能结果称为能结果称为样本点样本点，由一个样本点组成的，由一个样本点组成的单点集称为单点集称为基本事件基本事件。所有样本点构成的。所有样本点构成的集合称为集合称为E E 的的样本空间或必然事件样本空间或必然事件，用 或S S表示表示我们我们规定规定不含任何元素的空集不含任何元素的空集为不可能事件为不可能事件，用用 表示。表示。 2. 同一试验同一试验 , 若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样则对应的样 本空本空 间也不同间也不同. 例如例如 对于同一试验对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次将一枚硬

13、币抛掷三次”. 若观察正面若观察正面 H、反面、反面 T 出现的情况出现的情况 ,则样本空间则样本空间为为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数 , 则样本空间为则样本空间为说明说明 1. 试验不同试验不同, 对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.随机事件定义随机事件定义 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 的子的子集集(或某些样本点的子集），称为或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件的随机事件, 简称事件简称事件.试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出现出现6点点”,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都

14、为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.随机事件的概念随机事件的概念两点说明两点说明例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数. 可设可设 A = “点数不大于点数不大于4”,B = “点数为奇数点数为奇数” 等等等等.(1) 随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母并以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件来表示事件(2) 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就

15、是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随随机机事事件件基本事件基本事件 必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件互为对立事件互为对立事件 写出掷骰子试验的样本点写出掷骰子试验的样本点, , 样本空间样本空间, , 基本事件基本事件, ,事件事件A A出现偶数出现偶数, ,事件事件B B出现奇数出现奇数 基本事件基本事件 解：用解：用 表示掷骰子出现的点数为表示掷骰子出现的点数为 例例1.11.1 1. 包含关系包含关系若事件若事件 A 出现出现, 必然导致必然导致 B 出现出现 ,则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A,记作记作实例实例 “长度不合

16、格长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合产品不合格格”所以所以“产品不合格产品不合格” 包含包含“长度不合格长度不合格”.图示图示 B 包含包含 A. BA三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算I.I.随机事件间的关系及运算随机事件间的关系及运算若事件若事件A包含事件包含事件B,而且事件而且事件B包含事件包含事件A, 则称事则称事件件A与事件与事件B相等相等,记作记作 A=B.2. 事件的和事件的和(并并)实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此 “产品不合格产品不合格”是是“长度长度不合

17、格不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. BA3. 事件的交事件的交 (积积)推广推广图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件. ABAB实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质4. 事件事件的的互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 、B 满足满足则称事件则称事件 A与与B互不相容互不相容.实例实例 抛

18、掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现花面出现花面” 与与 “出现字面出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A与与B互斥互斥 AB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 说明说明 当当A B= 时时,可将可将A B记为记为“直和直和”形式形式A+B. 任意事件任意事件A与不可能事件与不可能事件为互斥为互斥.5. 事件的差事件的差图示图示 A 与与 B 的差的差实例实例 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格”是是“长度合格长度合格” 与与“直径合格直径合格”的差的差. AB B

19、A事件事件 “A 出现而出现而 B 不出现不出现”，称为事件，称为事件 A 与与 B 的差的差. 记作记作 A- - B. 若事件若事件 A 、B 满足满足则称则称 A 与与B 为为互逆互逆(或对立或对立)事件事件. A 的逆记作的逆记作实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立. BA6. 事件的互逆（对立）事件的互逆（对立）对立对立对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 ABABA、B 对立对立A、B 互斥互斥互互 斥斥对对 立立II.事件间的运算规律事件间的运算规律补充几条运算律：补充几条运算律：等价关系：等价关系：

20、例例1.2 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来. .(1) A 出现出现 , B, C 不出现不出现;(5) 三个事件三个事件都不都不出现出现;(2) A, B都出现都出现, C 不出现不出现;(3) 三个事件都出现三个事件都出现;(4) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现; 或或 (7) 不多于两个事件出现不多于两个事件出现;(8) 三个事件至少有两个出现三个事件至少有两个出现;(6) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现;(9) A, B 至少有一个出现至少有一个出现, C 不出现不出现;(10) A,

21、B, C 中恰好有两个出现中恰好有两个出现.例例1.3解解说明说明 一个事件往往有多个等价的表达方式一个事件往往有多个等价的表达方式.例例1.41.4 利用事件关系和运算表达多个事件利用事件关系和运算表达多个事件 的关系的关系A ,B ,C 都不都不发生发生 A ,B ,C 不都不都发生发生逆逆分配律分配律例例1.5四、小结四、小结随机现象的特征随机现象的特征:1.条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.2. 随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的. (1) 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;(2) 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不

22、止一个, 并且能事并且能事 先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现出现.随随机机试试验验3.3.随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件必然事件、不可能事件是两个特殊的必然事件、不可能事件是两个特殊的 随机事件随机事件 必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对立面是不可能事件,不可能事不可能

23、事件的对立面是必然事件件的对立面是必然事件,它们互称为它们互称为对立事件对立事件.4.4.随机事件间的关系随机事件间的关系 包含、相等、互不相容及互逆关系包含、相等、互不相容及互逆关系5.5.事件间的运算及规律事件间的运算及规律 并（和）、交（积）、差事件并（和）、交（积）、差事件 交换律、结合律、分配律、对偶律等交换律、结合律、分配律、对偶律等6 . 概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论样本空间样本空间, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件随机事件随机事件A的对立事件的对立事件A出现必然导致出现必然导致B出现出现事件事件

24、A与事件与事件B相等相等 空间空间(全集全集) 空集空集 元素元素 子集子集 A的补集的补集 A是是B的子集的子集 A集合与集合与B集合相集合相 等等事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素事件事件A与事件与事件B的和的和 A集合与集合与B集合的并集集合的并集 事件事件A与与B的积事件的积事件 A集合与集合与B集合的交集集合的交集一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质三、小结三、小结第二节第二节 随机事件的概率随机事件的概率1. 定义定义 一

25、、频率的定义与性质一、频率的定义与性质 2. 性质性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则试验试验序号序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.波动最小波动最小随随n的增

26、大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性从上述数据可得：从上述数据可得：(2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即即当当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且且逐渐稳定于逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰204810610.5181404020480.5069120006

27、0190.501624000120120.5005重要结论：重要结论：频率当频率当 n n 较小时波动幅度比较大，当较小时波动幅度比较大，当 n n 逐渐逐渐增大时增大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的件的概率概率概率的统计定义概率的统计定义 根根据据这这一一定定义义，可可以以把把由由大大量量重重复复试试验验所所得得到到的事件的频率作为事件概率的近似值的事件的频率作为事件概率的近似值 医医生生在在检检查查完完病病人人的的时时候候摇摇摇摇头头：“你你的的病病很很重重，

28、在在十十个个得得这这种种病病的的人人中中只只有有一一个个能能救救活活.” 当当病病人人被被这这个个消消息息吓吓得得够够呛呛时时，医医生生继继续续说说：“但但你你是是幸幸运运的的因因为为你你找找到到了了我我，我我已已经经看看过过九个病人了，他们都死于此病九个病人了，他们都死于此病.”医生的说法对吗医生的说法对吗?请同学们思考：请同学们思考： 1933年年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义，给出了概率的严格定义 ，使，使概率论有了迅速的发展概率论有了迅速的发展.二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质概率的可列

29、可加性概率的可列可加性1. 概率的定义概率的定义证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得2. 性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得证明证明（4）对任意两个事件）对任意两个事件A与与B，都有，都有证明证明:这就是概率的这就是概率的减法公式减法公式.证明证明证明证明证明证明由图可得由图可得又由性质又由性质 3 得得因此得因此得推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况n 个事件和的情况个事件和的情况解解ABAB1. 频率频率 (波动波动) 概率概率(稳定稳定).2. 概率的主要性质概率的主要性质三、小结三、小结Born: 25 Apr.

30、1903 in Tambov, Tambov province,RussiaDied: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia柯尔莫哥洛夫资料Andrey NikolaevichKolmogorov基本计数原理基本计数原理 下面我们先简要复习一下计算古典概率下面我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的所要用到的1. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,； 第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，

31、则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1 + n2 + + nm 种方法种方法 .例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船.火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3 + 2 种方法种方法回答是回答是基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 .2. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,； 第第

32、m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？背心，问他可以有多少种打扮？可以有可以有 种打扮种打扮 加法原理和乘法原理是两个很重加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础面常用排列组合公式的基础 .排列和组合的区别：排列和组合的区别：顺序不同是顺序不同是不同的排列不同的排列3把不同的钥匙的把不同的钥匙的6种排列种排列而

33、组合不管而组合不管顺序顺序1、排列排列: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：k = n时称全排列时称全排列排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式从从n个不同元素取个不同元素取 k个（允许重复）个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k =3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法2、组合组合: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同组合

34、总数为：的不同组合总数为：常记作常记作，称为组合系数。，称为组合系数。组合系数组合系数 又常称为二项式系数，因为又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：它出现在下面的二项式展开的公式中：3、组合系数与二项式展开的关系、组合系数与二项式展开的关系令令 a=-1,b=1利用该公式，可得到许多有用的组合公式：利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令令 a=b=1,得得4、n个不同元素分为个不同元素分为k组，各组元素数目组，各组元素数目分别为分别为r1,r2,rk的分法总数为的分法总数为r1个个元素元素r2个个元素元素rk个个元素元素n个个元素元素因为因为环排列：环排列：从从 n个不

35、同元素中，任选个不同元素中，任选m个排成个排成一个圈，共有一个圈，共有 种排法种排法n个不同元素的环形排列数有个不同元素的环形排列数有 例如，例如，N个人随机排成一圈，则甲乙两人相邻个人随机排成一圈，则甲乙两人相邻的排法共有的排法共有概率的计算1-2节节 随机事件的概率（随机事件的概率（2） .ppt一、等可能概型一、等可能概型二、典型例题二、典型例题三、几何概率三、几何概率四、小结四、小结第二节（续）第二节（续） 等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)1. 定义定义一、等可能概型一、等可能概型(古典概型古典概型) 1812年，由法国数学家年，由法国数学家Laplace最早提出。最早提出。

36、设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成， A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件，且包含且包含 m 个样本点个样本点，则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义. 3.3.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:一、摸球模型一、摸球模型(1) 无放回地摸球无放回地摸球问题问题1 设袋中有设袋中有4 只白球和只白球和 2只黑球只黑球, 现从袋中无现从袋中无放回地依次摸出放回地依次摸出2只球只球,求这求这2只球都是白球的概率只球都是白球的概率.解解基本事件

37、总数为基本事件总数为A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为(2) 有放回地摸球有放回地摸球问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2次摸到次摸到黑球黑球、第第3次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球基本事件总数为基本事件总数为A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为课堂练习课堂练习1o 电话号码问题电话号码问题 在在7

38、位数的电话号码中位数的电话号码中,第一位第一位不能为不能为0，求数字，求数字0出现出现3次的概率次的概率. 2o 骰子问题骰子问题 掷掷3颗均匀骰子颗均匀骰子,求点数之和为求点数之和为4的的概率概率.二、二、球放入杯子模型球放入杯子模型（设球可分辨）（设球可分辨）(1)杯子容量无限杯子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球. 4个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法因此第因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有

39、两个球的概率为(2) 每个杯子只能放一个球每个杯子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球, 求第求第1 至第至第4个杯子各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率. .解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为（1）若球可分辨，每盒至多放一个球，则为）若球可分辨，每盒至多放一个球，则为n个盒子里放入个盒子里放入r个球，样本空间基本事件数个球，样本空间基本事件数=？（2）若球可分辨，每盒球的容量不限，则为）若球可分辨，每盒球的容量不限，则为（3）若球不可分辨，每盒至多放一个球，则为）若球不可分辨，每盒

40、至多放一个球，则为（4）若球不可分辨，每盒装球容量不限，则为）若球不可分辨，每盒装球容量不限，则为小结盒子模型：小结盒子模型：用排队来理解这个问题用排队来理解这个问题: 把把n个相同的盒子和个相同的盒子和r个不同的球排个不同的球排队队,但第一位必须是盒子但第一位必须是盒子 (要知道要知道,我们把球放入盒子中我们把球放入盒子中,表示表示为球必须排在盒子的后面为球必须排在盒子的后面) n*P(n+r-1,n+r-1); 现在的问题是现在的问题是小球是相同的小球是相同的,我们给小球在做这个方法的时候全排过我们给小球在做这个方法的时候全排过 结果结果应该是应该是 n*P(n+r-1,n+r-1)/P(

41、r,r) =n*C(r-1,n+r-1) =C(r,n+r-1)2o 生日问题生日问题 某班有某班有20个学生都个学生都是同一年出生的是同一年出生的,求有求有10个学生生个学生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10个学生生日是个学生生日是12月月31日的概率日的概率. 课堂练习课堂练习1o 分房问题分房问题 将张三、李四、王五将张三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 间房中去间房中去,试求每个房间恰有试求每个房间恰有1人的概率人的概率. “等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以中，我们需要根据实际情况去判断是否可

42、以认为各基本事件或样本点是等可能的认为各基本事件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件.需要注意的是：需要注意的是： 在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，我我们就可以认为基本事件是等可能的并在此们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率基础上计算事件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏要重复计数，也不要遗漏.例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子中只鞋子中“至少有两只配

43、成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少）的概率是多少？ 下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？错在同样的错在同样的“4只配只配成两双成两双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只正确的答案是：正确的答案是：请思考：请思考： 还有其它解法吗？还有其它解法吗？（请参见习题课教程（请参见习题课教程P316例例13）3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：一类型： 有有n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 间房的每一间中

44、，求指定的间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率间房中各有一人的概率.人人房房 有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N个车站，设每个车站，设每个人在每站下车的概率为个人在每站下车的概率为1/ N(N n) ，求指，求指定的定的n个站各有一人下车的概率个站各有一人下车的概率.旅客旅客车站车站 某城市每周发生某城市每周发生7次车祸，假设每天发生次车祸，假设每天发生车祸的概率相同车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸求每天恰好发生一次车祸的概率的概率.车祸车祸天天你还可以举出其它例子，请自己课下练习你还可以举出其它例子，请自己课下练习. 有有n个人，设每个人的生日是任一天的概个人，设

45、每个人的生日是任一天的概率为率为1/365. 求这求这n (n 365)个人的生日互不相个人的生日互不相同的概率同的概率.人人任一天任一天解解二、典型例题二、典型例题 例例2 将将一一颗颗匀匀称称的的骰骰子子抛抛掷掷两两次次，(1)求求两两次次出出现现的点的点 数之和等于数之和等于8的概率；的概率；(2)求两次出现的点数相同的概率求两次出现的点数相同的概率 解 用用 表表示示事事件件“第第一一次次出出现现 点点，第第二二次次出出现现 点点” 则该试验的基本空间为则该试验的基本空间为 共有共有 个基本事件个基本事件 设设 表表示示事事件件“两两次次出出现现的的点点数数之之和和等等于于8”，B表表

46、示事件示事件“两次出现的点数相同两次出现的点数相同”，则，则 =(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)， 事件事件 包含有包含有 =6 个基本事件个基本事件 (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)，所以所以 例例3 设设某某城城市市共共有有 辆辆汽汽车车，车车牌牌号号码码从从1到到 ，有有一一个个人人将将他他所所遇遇到到的的该该城城市市的的 辆辆汽汽车车的的车车牌牌号号码码(可可能能有有重重复复的的号号码码)全全部部抄抄下下来来，假假设设每每辆辆汽汽车车被被遇遇到到的的机机会会相相同同，求求抄抄到到的的最最大大号号码码恰恰好

47、好为为 (1 )的概率的概率 解解 这种抄法可以看作是从这种抄法可以看作是从 个不同的号码中允许重个不同的号码中允许重复地抽取复地抽取 个号码的排列，共有个号码的排列，共有 种可能的取法，这是种可能的取法，这是基本事件的总数基本事件的总数 因为最大车牌号码不大于因为最大车牌号码不大于 的取法共有的取法共有 种，而最种，而最大车牌号码不大于大车牌号码不大于 的取法共有的取法共有 种，因此种，因此最大车牌号码正好是最大车牌号码正好是 的取法共有的取法共有 种种 设设 表表示示事事件件“抄抄到到的的最最大大车车牌牌号号码码正正好好为为 ”，则有，则有 例例4 设设某某一一箱箱子子装装有有同同种种类类

48、型型的的电电子子元元件件100个个，其其中中有有95个个合合格格品品，5个个不不合合格格品品从从箱箱子子中中任任取取4个个电电子子元元件件，问其中恰有问其中恰有1个不合格品的概率是多少？个不合格品的概率是多少？ 解解 设设 表示事件表示事件“取出的取出的4个元件中恰有个元件中恰有1个不合格个不合格品品” 基本事件总数为基本事件总数为 所包含的基本事件数所包含的基本事件数为为 ， 则由古典概率得则由古典概率得 例例5 5 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1) 每一个班每一个班级各分配到一

49、名优秀生的概率是多少级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优名优秀生分配在同一个班级的概率是多少秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解解:15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有因此所求概率为因此所求概率为(2)将将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种,对于每一种分法对于每一种分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有因此因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为因此所求概

50、率为解解例例6 在在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数，求中不重复地任取四个数，求它们能排成一个四位偶数的概率它们能排成一个四位偶数的概率.设设 A为为“能排成一个四位偶数能排成一个四位偶数” 四位四位偶数的末位为偶数偶数的末位为偶数, 故有故有 种可能种可能而前三位数有而前三位数有 种取法种取法,由于首位为零的由于首位为零的四四 位数有位数有 种取法种取法,所以有利于所以有利于A发生的取发生的取 法共有 种.（书（书P35第第9题）题）例例 7（分分房房问问题题） 有有 n 个个人人，每每个个人人都都以以同同样样的的概概率率 1/N 被被分分配配在在 间间房房中中的的每每一一间间中中

51、，试试求求下列各事件的概率：下列各事件的概率：(1)(1)某指定某指定 间房中各有一人间房中各有一人 ;(2)(2)恰有恰有 间房，其中各有一人；间房，其中各有一人； (3) (3) 某指定一间房中恰有某指定一间房中恰有 人。人。 解解 先求样本空间中所含样本点的个数。首先，把先求样本空间中所含样本点的个数。首先，把 n 个人分到个人分到N间房中去共有间房中去共有 种分法，其次，求每种情种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。形下事件所含的样本点个数。(2)(2)恰有恰有n n间房中各有一人，所有可能的分法为间房中各有一人，所有可能的分法为 (1)(1)某指定某指定n n间房中各有一人

52、，所含样本点的个间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为数，即可能的的分法为 (3)(3)某指定一间房中恰有某指定一间房中恰有m m人，可能的分法为人，可能的分法为 进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :（1） （2） （3） 上述分房问题中，若令上述分房问题中，若令 则可演化为则可演化为生日问题生日问题. .全班学生全班学生30人，人， (1) (1) 某指定某指定30天，每位学生生日各占一天的概率；天，每位学生生日各占一天的概率； (2) (2) 全班学生生日各不相同的概率；全班学生生日各不相同的概率； (3) (3) 全

53、年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。 利用上述结论可得到概率分别为利用上述结论可得到概率分别为 : 由（由（2）立刻得出，全班）立刻得出，全班30人至少有人至少有2 人人生日相同的概率等于生日相同的概率等于1 10.294=0.706, 0.294=0.706, 这个值这个值大于大于70%。（1） （2）（3）例例8 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待

54、时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从从而可知接待时间是有规定的而可知接待时间是有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进

55、行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为 若若P(A) 0.01 , 则称则称A为小概率事件为小概率事件.小概率事件 一次试验中小概率事件一般是不一次试验中小概率事件一般是不会发生的会发生的. 若在一次试验中居然发生了若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件则可怀疑该事件并非小概率事件.小概率原理( 即实际推断原理即实际推断原理 ) 对有的问题，直接求解可能非常繁琐，对有的问题，直接求解可能非常繁琐， 若能出逆事件的概率，再利用概率的若能出逆事件的概率，再利用概率的有关性质来计算就会容易得多。有关性质来计算就会容易得多。例例9 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机

56、地取一个数,问取到问取到的整数既不能被的整数既不能被6整除整除, 又不能被又不能被8整除的概率是整除的概率是多少多少 ? 设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”，则所求概率为，则所求概率为解解于是所求概率为于是所求概率为解解 设设 A 表示事件表示事件 “n 次取到的数字的乘积次取到的数字的乘积能被能被10整除整除” 设设 A1 表示事件表示事件 “n 次取到的数字中有偶数次取到的数字中有偶数” A2表示事件表示事件 “n 次取到的数字中有次取到的数字中有5”A = A1 A2例例1010 在在1,2,3, , 9中重

57、复地任取中重复地任取 n ( )个数个数, 求求 n 个数字的乘积能被个数字的乘积能被10整除的概率整除的概率.(习题课教程习题课教程P315例例12）设设Ai =第第i封信装入第封信装入第i个信封个信封 i =1,2,3 A=没有一封信装对地址没有一封信装对地址 某人将三封写好的信随机装入三个写好地址某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？少？直接计算直接计算P(A)不易，我们先来计算不易，我们先来计算例例11（配对问题）（配对问题） =至少有一封信装对地址至少有一封信装对地址则则代入计算代入计算 的公式中的公

58、式中应用加法公式应用加法公式 于是于是推广到推广到n封信封信,用类似的方法可得用类似的方法可得:把把n 封信随机地装入封信随机地装入n个写好地个写好地址的信封中址的信封中, 没有一封信配对的没有一封信配对的概率为概率为:（参见习题课教程（参见习题课教程P317例例14）实际中的各种配对问题：实际中的各种配对问题：学生和学习证配对学生和学习证配对;球箱号码配对球箱号码配对人和自己的帽子配对人和自己的帽子配对;两副扑克牌配对两副扑克牌配对; 你还可以举出其它配对问题，并提出其中要你还可以举出其它配对问题，并提出其中要回答的概率问题，请课下自行练习回答的概率问题，请课下自行练习. . 早在概率论发展

59、初期，人们就认识到，早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的够的. 把等可能推广到无限个样本点场合把等可能推广到无限个样本点场合,人们人们引入了引入了几何概型几何概型. 由此形成了确定概率的另由此形成了确定概率的另一方法一方法几何方法几何方法.定义定义 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域，并且并且任意一点落在度量任意一点落在度量 (长度长度、 面积面积、体积体积) 相同的相同的子区域是等可能的子区域是等可能的，则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷

60、多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型就归结为几何概型.三、几何概型三、几何概型 那么那么 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为例例12 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内, 在预在预定地点会面定地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人, 经过时间经过时间 t( t0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为b( b 0 , 则则称称 为事件为事件 A 发生的条件下事件发生的条件下事件 B 发生的条件概率，记为发生的条件概率，记为定义定义3.1条件概率也是概率条件概率也是概率, ,

61、 故具有概率的性质：故具有概率的性质：2. 性质性质(请自行证明）请自行证明）说明：说明：1.条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别：的区别： 每一个随机试验都是在一定条件下进行每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设的，设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在是在该试验条件下事件该试验条件下事件A发生的可能性大小发生的可能性大小. P(A)与与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不的区别在于两者发生的条件不同同,它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同. 而条件概率而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添

62、加“B发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小，发生的可能性大小，即即P(A|B)仍是概率仍是概率.（1） 古古 典典 概概 型型 可用缩减样本空间法可用缩减样本空间法（2） 其其 他他 概概 型型 用定义与有关公式用定义与有关公式条件概率的计算方法 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 1) 用定义计算用定义计算:P(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数例例1 掷两颗均匀骰子掷两

63、颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1: 解法解法2: 解解: 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算例例2 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8, 活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物岁的这种动物, 问它能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少? 设设 A 表示表示“

64、能活能活 20 岁以上岁以上 ” 的事件的事件; B 表表示示 “ 能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有则有解解 掷两颗骰子掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为求其中有一颗为1点的概率点的概率.解解设事件设事件A 为为“ 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 ”, 事件事件 B为为 “ 一颗点数为一颗点数为1 ”.故所求概率为故所求概率为掷骰子试验掷骰子试验 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 的种数为的种数为 6,其中有一颗为其中有一颗为 1 点的种数为点的种数为2,课堂练习：课堂练习：4. 4. 乘法定理乘法定理( (公式）公式）例例3 3

65、一一批批零零件件共共100100件件，次次品品率率10%10%，接接连连两两次次从从这这批批产产品品中中任任取取一一个个，不不放放回回，求求第第二二次次才才取取得得正正品品的的概概率率 解解 设设 表表示示事事件件“第第一一次次取取次次品品”， 表表示示事事件件“第第二二次次取取正正品品”，则则 表表示示事事件件“直直到到第第二二次次才取得正品才取得正品”其概率为其概率为 五个阄五个阄, 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字字, 三个阄内不写字三个阄内不写字 , 五人依次抓取五人依次抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相字阄的概率是否相同同?解解则有则有课堂练习：课堂练习：抓

66、阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关? 依此类推依此类推故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.1. 样本空间的划分样本空间的划分完备事件组完备事件组二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式2. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式图示图示证明证明化整为零化整为零各个击破各个击破* 全概率公式可由以下框图表示：全概率公式可由以下框图表示：设设 P(AP(Aj j)=p)=pj j, P(B|A, P(B|Aj j)=q)=qj j, j=1,2, j=1,2,n,n易知：易知：SP1P2Pn.A2A1An.q2q1qnB说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将全概率公式的主要用途在于

67、它可以将一个复杂事件的概率计算问题一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个分解为若干个简单事件的概率计算问题简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可最后应用概率的可加性求出最终结果加性求出最终结果.例例4 4 设袋中有设袋中有4只白球只白球, 2只红球只红球 , (1) 无放无放回随机地抽取两次回随机地抽取两次, 每次取一球每次取一球, 求在两次求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率抽取中至多抽到一个红球的概率? (2) 若无若无放回的抽取放回的抽取 3次次, 每次抽取一球每次抽取一球, 求求 (a) 第第一次是白球的情况下一次是白球的情况下, 第二次与第三次均第二次与第三次均是白球的概率是白球

68、的概率? (b) 第一次与第二次均是白第一次与第二次均是白球的情况下球的情况下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?解解则有则有例例5 5 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产已知其中由一厂生产的占的占 30% , 二厂生产的占二厂生产的占 50% , 三厂生产的占三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,解解由全概率公式得由全概率公式得30%20%50%2%1%

69、1%例例6 设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品, 其中其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这从这 10箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 设设 A 为事件为事件“取得的产品为正品取得的产品为正品”, 分别表示分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知由题设知解解故故称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公

70、式贝叶斯公式证明证明证毕证毕Bayes中概率中概率 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做做先验概率先验概率.条件概率条件概率叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率例例7 7解解(1) 由由全概率公式得全概率公式得(2) 由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得解解例例8 8由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为若用于普查，若用于普查，100100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有有8.78.7个，所以不宜用于普查。个，所以不宜用于普查。若若P(C)较大，不妨设较大，不妨设P(C)=0.8推出推出P(C|A)=0.987

71、说明这种试验方法可在医院用说明这种试验方法可在医院用解解例例9 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为 例例10 在在电电报报通通讯讯中中，发发送送端端发发出出的的信信号号是是由由“ ”和和“-” 两两种种信信号号组组合合的的序序列列由由于于受受到到随随机机干干扰扰，接接收收端端收收到到 的的是是“ ”、“-”和和“不不清清”三三种种信信号号假假设设发发送送“ ”、“-”的的概概率率分分别别为为0.6和和0.4；在在发发“ ”时时，收收到到“ ”、“-”和和“不不清清” 的的概概率率分分别别为为0.7、0.1和和0.2；在在发发“-”时时，收收到到“ ”、“-”和和“不不清清”的的概

72、概率率分别为分别为0.1、0.8和和0.1求：求：(1) 在在任任意意发发出出一一个个信信号号后后，收收到到“ ”、“-”和和“不不清清”的概率；的概率；(2) 在在已已知知收收到到“不不清清”的的条条件件下下，问问原原发发送送信信号号是是“ ”或或“-”的概率各为多少？的概率各为多少？（书（书P26例例3.8） 解解 设设 和和 分分别别表表示示事事件件“发发送送 和和-”， 表表示示收收到到“ ”， 表表示示“收收 到到”“-”， 表表示示收收到到“不清不清”(1) (2) 条件概率条件概率全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式三、小结三、小结乘法定理乘法定理一、事件的相互独立性一、事件

73、的相互独立性二、独立试验序列二、独立试验序列 1.4-1.5 事件的独立性事件的独立性三、小结三、小结 显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发发生的概率生的概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 由乘法公式知，当事件由乘法公式知，当事件A、B独立时，独立时，有有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用P(A|B) = P(

74、A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它它不受不受P(B)0或或P(A)0的制约的制约.P(AB)=P(B)P(A|B)定义定义4.1注注: 1说明说明 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性（一）（一）. 两个事件的独立性两个事件的独立性2 独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事独立是事件间的概件间的概率属性率属性互斥是事

75、互斥是事件间本身件间本身的关系的关系11由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.又如：又如：两事件两事件相互独立相互独立.两事件两事件互斥互斥可以证明：可以证明：A、B 独立独立 与与A、B 互斥不能同时成立互斥不能同时成立证证若若A与与B 独立独立, 则则 即即 A与与B 不互斥不互斥(相容相容).性质：性质：(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.证证 A=A, P( )=1 P( A) = P(A)=1

76、 P(A)= P( ) P(A)即即 与与A独立独立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即即 与与A独立独立.(2) 若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事件则以下三对事件也相互独立也相互独立.证证 注注: :称此为二事件的独称此为二事件的独立性关于逆运算封闭立性关于逆运算封闭. .（见教材（见教材P28例例4.2）且且A与与B相互独立相互独立甲甲, 乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击中已知甲击中敌机的概率为敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.解解设设 A= 甲击

77、中敌机甲击中敌机 B= 乙击中敌机乙击中敌机 C=敌机被击中敌机被击中 依题设依题设,例例1 1由于由于 甲，乙甲，乙同时同时射击，甲击中敌机并不影射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以响乙击中敌机的可能性，所以 A与与B独立独立,进而进而= 0.81. 三事件两两独立的概念三事件两两独立的概念( (二二) ) 多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义4.22. 三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定义定义4.3 设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 3. 3. n n 个事件的独立性个事件的独立性

78、定义定义4.4 若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对于一切 1 i j n, 有有定义定义4.5注注: 设一个口袋里装有四张形状相同的卡片设一个口袋里装有四张形状相同的卡片.在这四张卡片上依次标有下列各组数字：在这四张卡片上依次标有下列各组数字：110，101，011，000 从袋中任取一从袋中任取一张卡片，记张卡片，记证明：证明：例例2 2证证 (1)110，101，011，000补充结论：补充结论：n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则 也相互独立也相互独立即即 n个独立事件

79、至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.结论的应用结论的应用则则“ 至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-pn )若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出：类似可以得出：至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“=1- - p1 pn 对独立事件，许多概率计算可得到简化：对独立事件，许多概率计算可得到简化：例例3 3 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为的概率分别为

80、1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？将密码译出的概率是多少？ 4.独立性的概念在计算概率中的应用独立性的概念在计算概率中的应用解：将三人编号为解：将三人编号为1，2，3，所求为所求为 P(A1+A2+A3)记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3（教材（教材P35第第21题）题）已知已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎假设每个人血清

81、中是否含有肝炎病毒相互独立，混合病毒相互独立，混合100个人的血清，个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率求此血清中含有肝炎病毒的概率.解解则则例例4 4依题设，依题设，若若Bn 表示表示 n 个人的血清混合液中含有肝个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则炎病毒，则 不能忽视小概率事件不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生小概率事件迟早要发生注：注： 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落问击落飞机的概率是多少飞机的概率是多少?课堂练习：课堂练习：解解事件事件 B 为为“击落

82、飞机击落飞机”, 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.解解 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机分别表示甲、乙、丙击中敌机 , 例例5 5（参见教材（参见教材P30例例4.6）因而因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为由全概率公式得飞机被击落的概率为 要验收一

83、批要验收一批(100件件)乐器乐器.验收方案如下验收方案如下:自自该批乐器中随机地取该批乐器中随机地取3件测试件测试(设设3件乐器的测试是件乐器的测试是相互独立的相互独立的),如果如果3件中至少有一件在测试中被认件中至少有一件在测试中被认为音色不纯为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为概率为0.01.如果已知这如果已知这100件乐器中恰有件乐器中恰有4件是音件是音色不纯的色不纯的.试问

84、这批乐器被接收的概率是多少试问这批乐器被接收的概率是多少?解：解：例例6 6(参见习题课教程参见习题课教程P332例例17)纯的乐器纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为经测试被认为音色纯的概率为 0.99 ,已知一件音色已知一件音色而一件音色不纯的乐器而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的经测试被认为音色纯的概率为概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的并且三件乐器的测试是相互独立的,于是有于是有事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：一个元件的可靠性：一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性：一个系统的可靠性：由

85、元件组成的系统正常由元件组成的系统正常工作的概率工作的概率.设一个系统由设一个系统由2n 个元件组成，每个元件个元件组成，每个元件的可靠性均为的可靠性均为 r，且各元件能否正常工作，且各元件能否正常工作是相互独立的是相互独立的.(1) 求下列两个系统求下列两个系统和和的可靠性；的可靠性；(2) 问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？例例7 7系统系统.系统系统.解解设设 B1= 系统系统正常工作正常工作n+22nn+112nn+22nn+112n B2= 系统系统正常工作正常工作考察系统考察系统：设设 C = 通路通路正常工作正常工作 ， D= 通路通路正常工作正常工作 每条通路

86、正常工作每条通路正常工作通路上各元件通路上各元件都正常工作都正常工作而而 系统系统正常工作正常工作两条通路中两条通路中至少至少有一条正常工作有一条正常工作 系统系统正常工作的概率：正常工作的概率：考察系统考察系统：系统系统正常工作正常工作通路上的每对并通路上的每对并联元件正常工作联元件正常工作 B2= 系统系统正常工作正常工作所以，系统所以，系统正常工作的概率：正常工作的概率：(2) 问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？即系统即系统的可靠性比系统的可靠性比系统的大的大.例如，例如，教材教材P35第第20题中，题中，n=3,故有故有二、独立试验序列概型二、独立试验序列概型1. 定

87、义定义1.12 (独立试验序列独立试验序列) 设设Ei (i=1,2,)是一列随机试验是一列随机试验,Ei的样本空的样本空间为间为 i ,设设Ak 是是Ek 中的任一事件中的任一事件,Ak k , 若若Ak出出现现的概率都不依赖于其它各次试验的概率都不依赖于其它各次试验Ei (i k)的结果的结果, 则称则称Ei 是是相互独立相互独立的随机试验序列试验序列,简称简称独立试独立试验验序列序列.则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n重贝努里试验，简称为重贝努里试验，简称为贝努里概型贝努里概型.若若n 次重复试验具有下列次重复试验具有下列特点：特点：2. n 重贝重贝努利努利(Bernoulli)

88、试验试验1) 每次试验的可能结果只有两个每次试验的可能结果只有两个A 或或2) 各次试验的结果相互独立，各次试验的结果相互独立，( 在各次试验中在各次试验中p是常数，保持不变）是常数，保持不变）实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将若将 硬币抛硬币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.例例8 8 袋中有袋中有3个白球个白球,2个红球个红球,有放回地取球有放回地取球 4 次次,每次一只每次一只,求其中恰有求其中恰有2个白球的概

89、率个白球的概率.解一：解一： 古典概型设设 B 表示表示4个球中恰有个球中恰有2个白球个白球解二解二: 每取一个球看作是做了一次试验每取一个球看作是做了一次试验记取得白球为事件记取得白球为事件 A ，有放回地取有放回地取4个球看作做了个球看作做了 4 重重Bernoulli 试验试验, 记第记第 i 次取得白球为事件次取得白球为事件 Ai感兴趣的问题为感兴趣的问题为:4次试验中次试验中A 发生发生2次的概率次的概率一般地，一般地，对于贝努里概型，有如下公式：对于贝努里概型，有如下公式：定理定理如果在贝努里试验中，事件如果在贝努里试验中，事件A出现的出现的概率为概率为p (0p 0 , 则称则称

90、 1. 条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.四、条件概率四、条件概率 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 2. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:P(B)0若若 P(B) 0 , 则则 P(AB)=P(B)P(A|B)五、五、 乘法公式乘法公式若若 P(A) 0 , 则则 P(AB)=P(A)P(B|A) 六、六、 全概率公式全概率公式七、七、 贝叶斯公式贝叶斯公式为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分 , B 为为 S 中的任一事件中的任一事件 ,且且P(B) 0 , 则有则

91、有八、独立性八、独立性5. 二项概率二项概率6. 几何分布几何分布4.独立随机试验序列、贝努利试验独立随机试验序列、贝努利试验例例1 1 某某市市有有甲甲, ,乙乙, ,丙丙三三种种报报纸纸, ,订订每每种种报报纸纸的的人人数数分分别别占占全全体体市市民民人人数数的的30%,30%,其其中中有有10%10%的的人人同同时时定定甲甲, ,乙乙两两种种报报纸纸. .没没有有人人同同时时订订甲甲丙丙或或乙乙丙丙报报纸纸. .求求从该市任选一人从该市任选一人, ,他至少订有一种报纸的概率他至少订有一种报纸的概率.解解 设设A , B , C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲 , 乙乙 , 丙

92、报丙报例例2解解（习题课教程（习题课教程P313例例9）方法方法1 1方法方法2 2方法方法3 3例例3 3 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一只，个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从同的球，若从盒盒中连续取球中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得白次取得白球、第球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解解 设设Ai 为第为第 i 次取球时取到白球，则次取球时取到白球，则例例4 4 商店论箱出售玻璃杯商店论箱出售玻璃杯, ,每箱每箱2

93、020只只, ,其中每箱含其中每箱含0 0，1 1，2 2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.10.8, 0.1, 0.1，某顾客选中，某顾客选中一箱，从中任选一箱，从中任选4 4只检查，结果都是好的，便买下了只检查，结果都是好的，便买下了这一箱这一箱. .问这一箱含有一个次品的概率是多少？问这一箱含有一个次品的概率是多少？解解 设设A: :从一箱中任取从一箱中任取4 4只检查只检查, ,结果都是好的结果都是好的. . B0 0, , B1 1, , B2 2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品（书（书P35第第 18题）题）已知已知: :P( (B0 0)=0.8, )=0.8, P( (B1 1)=0.1, )=0.1, P( (B2 2)=0.1)=0.1由由Bayes 公式公式: :