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1、4.2 4.2 系统容量有限制的系统容量有限制的系统容量有限制的系统容量有限制的模型模型模型模型 M/M/1M/M/1：NN/FCFS/FCFS/FCFS/FCFS 当当系系统统容容量量最最大大为为N N时时，排排队队多多于于N N个个的的顾顾客客将将被被拒拒绝绝。当当N=1N=1时时，即即为为损损失失制制，NN时时，即即为为容容量量无限制的情况。无限制的情况。 现在研究系统中有现在研究系统中有n n个顾客的概率个顾客的概率P Pn n(t(t) )。 (2)(2) 对于对于(1)(1)式，当式，当n=1,2,N-1n=1,2,N-1时，也仍能成立。时，也仍能成立。 (1)(1) (n=1,2
2、,N-1)(n=1,2,N-1) 但当但当n=Nn=N时，有下面两种情况：时，有下面两种情况： 对于对于P P0 0(t)(t)，前面的（前面的（2 2）式仍然成立。）式仍然成立。 (8)(8) 其状态转移图为其状态转移图为: 在稳态情况下有：在稳态情况下有： (9)(9) 解（解（9）式得：）式得： 而等比数列而等比数列 ( (1,1,nN)(10)nN)(10) 注：当注：当=1=1时，试讨论其概率时，试讨论其概率P Pn n。 (1) 平均平均队长队长Ls： (1) 练习试证练习试证=1=1时时, ,Ls=N/2Ls=N/2 其运行指标：其运行指标： (2) 有效到达率有效到达率e 系系
3、统统容容量量有有限限，当当满满员员时时，顾顾客客将将被被拒拒绝绝，实实际际的顾客到达率与的顾客到达率与不一样，不一样， 还可验证：还可验证： 此种情况的公式与此种情况的公式与前类似前类似,只有只有Ls不同不同,e与与 不同。求不同。求e必须必须先求得先求得P0或或PN才行。才行。有效到达率为有效到达率为e。 可以证明：可以证明： LsLs例例2某某单单人人理理发发馆馆共共有有六六把把椅椅子子接接待待顾顾客客排排队队，无无座座时时将将离离去去，顾顾客客平平均均到到达达率率为为3人人/h，理理发发时时间间平平均为均为15分钟，求：分钟，求：(1) 求某一顾客到达就能理发的概率求某一顾客到达就能理发
4、的概率;(2) 求需要等待的顾客数的期望值求需要等待的顾客数的期望值;(3) 求有效到达率求有效到达率;(4) 求求一一顾顾客客在在系系统统中中的的逗逗留留时时间间和和排排队队时时间间平均值平均值;(5) 在在可可能能到到来来的的顾顾客客中中，有有百百分分之之几几不不等等待待就离开？就离开？解：解： N=?N=?N=6+1=7，=3=3，=4=4(1) 求某一顾客到达就能理发的概率求某一顾客到达就能理发的概率:(2) 求需要等待的顾客数的期望值求需要等待的顾客数的期望值:(3) 求有效到达率求有效到达率:(4) 求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值
5、值:P0=0.27780P1=0.20836P2=0.15627P3=0.11720 = 0.9629=96.29%P4=0.08790 故拒绝的概率为故拒绝的概率为3.71%P5=0.06593P6=0.04944(5) 在在可可能能到到来来的的顾顾客客中中，有有百百分分之之几几不不等等待待就就离离开开？ 顾客为何不等待顾客为何不等待就离去？就离去？ 因为系统已因为系统已经满员经满员4.3 顾客源有限的模型顾客源有限的模型 M/M/1/m/m 以以机机器器修修理理模模型型为为例例，设设有有m台台机机器器(总总体体)，故故障障待待修修表表示示机机器器到到达达，修修理理工工是是服服务务员员。机机
6、器器修修好好后后有有可可能能再再坏坏，形形成成循循环环。虽虽然然系系统统没没有有容容量量限限制制，但但系系统统中中的的顾顾客客也也不不会会超超过过m，故故又又可可写写成成：M/M/1/m/mm/m 对于有限源应按每个顾客单独考虑，求出其有效对于有限源应按每个顾客单独考虑，求出其有效到达率到达率e。 这样这样e是随系统内顾客数而变化的。其状态转是随系统内顾客数而变化的。其状态转移图为：移图为： 设系统内顾客数为设系统内顾客数为Ls，则系统外的顾客为则系统外的顾客为m-Ls。 设每个顾客的平均到达率是相同的设每个顾客的平均到达率是相同的。 ( (这里这里的含义是单台机器在单位时间里发生故的含义是单
7、台机器在单位时间里发生故障的概率或平均次数障的概率或平均次数) ) 1nm-1 0 0状态状态 n n状态状态 m m状态状态 这样这样e是随系统内顾客数而变化的。其状态转是随系统内顾客数而变化的。其状态转移方程为：移方程为： 用递推方法解此差分方程，并注意条件，用递推方法解此差分方程，并注意条件， 可以得到如下公式：可以得到如下公式： 1 0 = = m i i P (1nm) 各项运行指标为：各项运行指标为：例例3 某车间有某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布。平均连续运转时间从负指数分布。平均连续运转时间15分钟，有一个修分钟，有一个修理
8、工，修理时间服从负指数分布，平均每次理工，修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。分钟。求：求：(1) 修理工空闲时间修理工空闲时间 解解:(1) m=5,=1/15,=1/12,=4/5=0.8m=5,=1/15,=1/12,=4/5=0.8 台台 台台(3) 出故障的平均台数出故障的平均台数(4) 等待修理的平均台数等待修理的平均台数(5) 平均停工时间平均停工时间 分钟分钟(2) 五台机器都出现故障的概率五台机器都出现故障的概率 分钟分钟 机器等待过长，忙期长，应增加维修工人机器等待过长，忙期长，应增加维修工人或提高效率。或提高效率。(6) 平均等待修理时间平均等待修理时间(7) 评价
9、这些结果评价这些结果例某工厂为职工设立了例某工厂为职工设立了2424小时都能看病的医疗室（按小时都能看病的医疗室（按单服务台处理）。有两把椅子供病人等候，如果没有椅单服务台处理）。有两把椅子供病人等候，如果没有椅子就站立等候，病人到达的平均间隔时间为子就站立等候，病人到达的平均间隔时间为1515分钟，平分钟，平均看病时间为均看病时间为12 12 分钟，且服从负指数分布，因为工人看分钟，且服从负指数分布，因为工人看病每小时给工厂造成的损失为病每小时给工厂造成的损失为30 30 元。元。(1)(1)病人到达医务病人到达医务室就能看病的概率；（）病人需要站立等候的概率；室就能看病的概率；（）病人需要
10、站立等候的概率；（）试求工厂每天损失期望值；（）平均服务率提（）试求工厂每天损失期望值；（）平均服务率提高多少，方可使上述损失减少一半？高多少，方可使上述损失减少一半？ 标准的标准的 M/M/1 M/M/1 模型模型 每天的期望损失每天的期望损失 =24 =24L LS S30=2430=24 W WS S3030例例 某只有一名服务员的排队系统，等待空间总共可某只有一名服务员的排队系统，等待空间总共可容纳容纳3名顾客。已知对每名顾客的服务时间服从负指名顾客。已知对每名顾客的服务时间服从负指数分布，平均为数分布，平均为5min,顾客到达服从泊松分布，平均顾客到达服从泊松分布，平均10人人/h.。 求求（1)系统中顾客分别为系统中顾客分别为0，1，2，3，4的概率的概率;（2）系统中平均顾客数；）系统中平均顾客数；（3）1名新到的顾客需要排队等待的概率；名新到的顾客需要排队等待的概率；（4）1名新到的顾客未能进入该排队系统的概率。名新到的顾客未能进入该排队系统的概率。 医院的心电图室只有一台心电图机为病人做检查。设病人按泊松流到达，检查时间服从负指数分布，且=3，=4。医院为了改善工作条件，研究(1)是否增加一台心电图机(2) 为了病人站着等候的概率不多于0.01，心电图室应设多少个座位？
